Пособие 09
.pdfОТВЕТЫ И КОММЕНТАРИИ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
ОТВЕТЫ НА ПОСТАВЛЕННЫЕ ВОПРОСЫ
1. |
b); |
10. c) |
19. b) |
2. |
a); |
11. b) |
20. b) |
3. |
a), b), d) |
12. a) |
21. b) |
4. |
a), b) |
13. a) |
22. b) |
5. |
c) |
14. b) |
23. c) |
6. |
c) |
15. b) |
24. d) |
7. |
a) |
16. b) |
25. b) |
8. |
a) |
17. a), b) |
26. b) |
9. |
b) |
18. a), d) |
|
Комментарий. Правильных ответы на вопросы 1- 26 следуют из основных понятий и расчетных формул. За правильный ответ на каждый вопрос дается 1 балл.
27. |
b) |
30. |
c) |
33. |
a) |
28. |
a) |
31. |
a) |
34. |
a) |
29. |
c) |
32. |
c) |
35. |
c) |
Комментарий. Вопросы 27-35 представляют собой микрозадачи. За правильный ответ на каждый вопрос дается 2 балла
36.a)
37.b)
38.c)
39.c)
40.c)
Комментарий. Правильных ответы на вопросы 36 - 40 следуют из основных понятий и расчетных формул. За правильный ответ на каждый вопрос дается 1 балл.
Если вы ответили правильно на все поставленные вопросы, добавьте себе еще один балл.
Максимальная сумма баллов за 40 вопросов составляет 50. Если Вы набрали менее 25 баллов, вам не следует переходить к задачам. Перечитайте лекции.
81
ОТВЕТЫ НА ЗАДАНИЯ
1. Последовательность рассуждений для задачи следующая:
|
_ |
M xt |
|
|
|
|
|
|
_ |
_ |
_ |
_ |
|
||||
xt X t X |
M X t X |
= M X t M X |
= X |
X , откуда |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M [ xt |
] 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Значение |
коэффициента |
корреляции |
yx |
для |
линейной зависимости |
|||||||||||
|
yt bxt a можно получить исходя из выражения |
|
|||||||||||||||
|
xy |
|
|
cov( x, y ) |
|
|
. (В 2.1) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
D( x ) |
|
D( y ) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ковариацию x, y |
|
можно определить из выражения |
|
||||||||||||||
cov( x, y ) M |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
_ |
|
|
|
|
||||
( x x )( y y ) . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда для функциональной линейной зависимости |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cov( x, y ) bM ( x x ) |
|
|
, (В 2.2) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
, (В 2.3) |
|
|
|
|
||||||
D( x ) M x x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
_ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (В 2.4) |
|
|
|
|
|||||
D( y ) bM x x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив (В 2.2) – (В 2.4) |
в выражение (В 2.1) |
получаем коэффициент |
|||||||||||||||
корреляции yx |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.Решаем задачу в следующем порядке:
Определяем t -статистики коэффициентов уравнения регрессии
Yt 0.75X t 1.72 |
, |
|
|
|
|
по формулам tb |
|
b |
, ta |
a |
, откуда tb =7, ta =0,82. |
|
|
|
|||
|
|
Sb |
S a |
||
Из рассчитанных значений делаем вывод – коэффициент регрессии значим, свободный член не значим.
Для модели парной регрессии выполняется равенство
tb 
Fфакт , откуда следует Fфактич =49. Для выборки объемом n =25 ( 23) критическое значение F -статистики на уровне значимости 1%
Fкритич ~7,7. Следовательно, модель значима.
Доверительный интервал для коэффициентов регрессии определяются выражениями
a a a , a tкрит * Sa ,
b b b , b tкрит * Sb ,
Для выборок объемом n =25 ( 23) tкритич =2,79, откуда
a 1.72 2.53, |
b 0.75 0.69 |
4.Рассуждения следует вести также, как для модели парной регрессии (см. подраздел 4.2)
Рекуррентную формулу можно получить из выражения
Ryx x ..x |
|
= |
1 |
yx |
|
, |
|
xx |
|||||
1 2 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где xx , yx определители матриц парных коэффициентов корреляции:
|
1 |
|
yx |
|
|
yx |
2 |
yx = yx1 |
1 |
|
|
||||
1 |
|
|
x1x2 ; |
||||
|
yx |
2 |
x x |
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
xx = |
1 |
x x |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x x |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Комментарий. За каждый правильный ответ на задание дается 8 баллов Если вы правильно сделали все задания, добавьте себе еще десять
баллов.
83
Таким образом, если все контрольные задания Вы выполнили правильно, то Вы набирает 100 баллов.
Удовлетворительным можно считать результат от 70 до 100 балов. Если вы набрали менее 70 баллов, то к экзамену вы не готовы
84
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1.Кремер, Н.Ш. Эконометрика: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2002. –
2.Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс: Учебное пособие / Я.Р Магнус, П.К Катышев, А.А. Пересецкий. - 3-е изд., испр. - М.: Дело, 2002. – 247 с.
3.Катышев, Ю П.К Сборник задач к начальному курсу эконометрики / Я.Р Магнус, П.К Катышев, А.А. Персецкий. -3-е изд., испр. - М.: Дело, 2003. – 208 с.
4.Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. - 192 с.
5.Тюрин, Ю.Н. Анализ данных на компьютере: Учебное пособие / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров.- М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995.- 384 с.
6.Жариков, Е.П. Математико-статистические модели в экономике: Учеб. пособие / Е.П. Жариков. – Владивосток: Изд-во Дальневосточ. ун-та, 2001. – 42 с.
7.Кригер, А.Б. Эконометрические модели. Учебное пособие – Владивосток: Изд-во Дальневост. Ун-та, 2003. - 66 с.
Дополнительная
8. Багриновский, А.К. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика): Учеб. пособие / А.К. Багриновский, В.М. Матюшок – М.: изд-во РУДН, 1999.- 183 с.
9.Вентцель, Е.С. Теория вероятностей : Учебник / Е.С. Вентцель - 8-е изд.
-М.: Наука,2002. - 392 с.
10.Елисеева И.И Общая теория статистики: Учебника / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев; Под ред. И.И. Елисеевой. – 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1999, - 480 с.
11.Замков, О.О. Математические методы в экономике: Учебник / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, изд-во «Дело и Сервис», 1999.- 368 с.
12.Доугерти, К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. / К. Доугерти. – М.:
ИНФРА-М, 1997. – 390 с.
85
ИСТОЧНИКИ. ЭЛЕКТРОННЫЕ РЕСУРСЫ
1.Официальный сайт Министерства Финансов Российской Федерации/ -
Доступно из URL: http://www.minfin.ru
2.Официальный сайт Государственного комитета по статистике Российской Федерации/ - Доступно из URL: http://www.gks.ru
3.Официальный сайт Центрального Банка Российской Федерации (ЦБ РФ)/
- Доступно из URL: http://www.cbr.ru
4.Официальный сайт Министерства по налогам и сборам / - Доступно из
URL: http://www.nalog.ru
5.Информационный, аналитический сайт «Бюджетная система Российской Федерации» / - Доступно из URL: http://www.budgetrf.ru
6.Официальный сайт Администрации Приморского края/ - Доступно из
URL: http://www.primorsky.ru
7.Сайт агентства экономической информации «Прайм-ТАСС». Аналитические материалы по макроэкономическим показателям / -
Доступно из URL: http://www.prime-tass/macro
8.Информационный сайт Дальневосточных информационных ресурсов
«Форпост»/ - Доступно из URL: http://www.farpost.ru
86
Приложение 1
Статистические свойства МНК-оценок параметров моделей регрессии
t - статистика |
|
Оценка значимости коэффициентов регрессии |
осуществляется путем |
^ |
^ |
оценивания гипотез о совпадения МНК-оценок ( b |
и a ) коэффициента |
регрессии и свободного члена, с их истинными значениями. Проверяем гипотезы
^
H 0 : b b (П 1.1), или
^
H 0 : a a . (П 1.2)
Проверка гипотез (П 1.1), (П 1.2) осуществляется с помощью t -статистик
^ |
|
^ |
|
||
t |
b b |
, |
t |
a a |
. ( П 1.3) |
|
sb |
|
|
sa |
|
Если |
выполняются условие нормального распределения ошибок |
||||
N( 0, 2 ), то t -статистика коэффициентов регрессии распределена по закону Стьюдента.
Для t -статистики коэффициента регрессии можем записать
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
||||
|
b b |
|
|
|
|
|
|||
P |
|
|
|
|
t |
, |
|
||
sb |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
b b |
|
|
|
P |
t |
|
|
|
|
t |
. |
||
|
sb |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. определяем вероятность попадания t -статистики коэффициента регрессии в интервал t ;t .
Так как истинные зависимости между наблюдаемыми экономическими величинами неизвестны, в эконометрике проверяют гипотезу b 0
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
t |
. ( П 1.4) |
|
sb |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Откуда |
|
|
|
t -статистики для коэффициентов регрессии свободного члена |
||||
определяются выражением
^^
tb b , ta a . (П 1.5)
sb sa
87
Проверка «нулевой» гипотезы дает возможность оценить существование зависимости объясняемой переменной регрессии (признака) от объясняющей переменной (фактора). Если выполняются условия выражение (П 1.4), то гипотеза b 0 не может быть отвергнута. Если выполняется условие
^
b t , sb
то событие b 0 становится маловероятным. Тогда заданной вероятностью коэффициенты регрессии не нулевые, следовательно, функциональная модельная зависимость действительно существует и объясняющая переменная значима.
Вид выражения (П 1.4) позволяет сформулировать простые числовые оценки значимости модели (см. Приложение 2):
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
b |
|
2 - |
гипотеза b 0 |
не может быть отвергнута, т.к. критическое значение |
|||||||||
sb |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределение Стьюдента t =1 соответствует вероятности 0,6 0,7. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
2 |
- гипотеза b 0 может быть отвергнута для выборок большого объема |
||||||||||
|
sb |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( n 20 30 ). |
Критическое |
значение |
распределение |
Стьюдента |
для |
t 2 |
||||||||
соответствует |
вероятности |
0,95.П |
1.В этом |
случае говорят, |
что |
|||||||||
объясняющая переменная значима на уровне 5%. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
3 |
- |
гипотеза b 0 |
может быть |
отвергнута |
практически |
для любой |
|||||
|
sb |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выборки. |
Критическое |
значение |
распределение |
Стьюдента |
для |
t 3 |
||||||||
соответствует вероятности 0,99. В этом случае говорят, что объясняющая переменная значима на уровне 1%.
Коэффициент детерминации. Анализ вариации зависимой переменной регрессии
Оценим полную дисперсию наблюдаемых экономических показателей Yt (объясняемой переменной)
_
~ ( Yt Y )2 . (П 1.6)
t
Выражение (П 1.6) можем переписать в виде
~ ( Yt |
_ |
= (( Yt |
^ |
^ |
_ |
2 |
|
||||||
Y )2 |
Yt |
) ( Yt |
Y )) , откуда |
|||
t |
|
t |
|
|
|
|
88
~ ( Yt |
_ |
^ |
^ |
^ |
_ |
^ |
_ |
2 |
|
||||||||
Y )2 = ( Yt |
Yt )2 + ( Yt |
Yt |
)( Yt |
Y ) + ( Yt |
Y ) , (П 1.7) |
|||
t |
t |
t |
|
|
|
t |
|
|
Преобразуем полученное выражение. Т.к. ошибка регрессии определяется
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
выражением et |
Yt Yt , первое слагаемое в (П 1 .7) принимает вид |
|||||||
( Yt |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
Yt )2 = et2 . |
|
|
|
|
||||
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
Второе слагаемое выражения (П 1.7) можем преобразовать к виду |
||||||||
( Yt |
^ |
|
^ |
_ |
^ |
_ |
|
|
Yt |
)( Yt Y ) = ( Y Y )et |
. (П 1 .8) |
||||||
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
^ |
^ |
^ |
_ |
^ |
^ _ |
^ ^ |
Учитывая, что Yt |
a b X t |
и Yt |
a b X t |
, где a и b оценка значений |
||||
коэффициентов регрессии, получаем |
|
|||||||
^ |
_ |
^ |
|
|
|
|
|
|
( Y t Yt ) b xt . |
|
|
|
|
|
|||
Тогда выражение ( .3) принимает вид |
|
|||||||
^ |
_ |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
= b et xt |
|
|
|
|
|||
( Yt |
Y )et |
, ( П 1.9) |
|
|
||||
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
но в соответствии с условиями МНК et |
xt 0 . Таким образом, полная сумма |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
квадратов отклонений Yt |
определяется как сумма |
|||||||
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
Dост2 ( Yt Yt |
)2 , |
|
|
|
|
|||
t
и сумма квадратов отклонений объясненной части регрессии
^ |
_ |
2 |
|
||
Dрег2 ( Y t |
Y ) - |
|
t |
|
|
_ |
|
^ |
( Yt Y )2 = ( Yt Yt )2 |
||
t |
t |
|
|
|
|
TSS |
|
ESS |
^_ 2
+( Yt Y ) , (П 1 .10)
t
RSS
где принятые в литературе обозначения TSS - total sum of square; sum of square; RSS - regressions sum of square.
С учетом введенных аббревиатур выражение (П 1.10) часто представляется в виде
TSS ESS RSS ,
а соотношение, полученное из выражения для полной дисперсии
|
|
ESS |
|
RSS |
R2 |
, (П 1.11) |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
|
TSS |
|
TSS |
|
|
|
носит название коэффициента детерминации и обозначается R 2.
ESS - error
Yt
89
Коэффициент детерминации является важнейшим показателем качества эконометрической модели и как следует их ( .11) может быть определен одним из двух выражений
( Y t Y )2
R 2 |
|
t |
|
|
|
, (П 1.12) |
|
||
( Yt |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Yt |
)2 |
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Yt |
|
^ |
|
|
||
|
|
|
|
Y t )2 |
|
||||
R 2 |
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
( Yt |
|
|
. (П 1.13) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Yt )2 |
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Коэффициент детерминации принимает значения - 0 R2 |
1 . |
||||||||
Как следует из выражений (П 1.12) и (П 1.13) коэффициент детерминации принимает значение 1, в том случае если модельные значения полностью
^
совпадают с наблюдаемыми - Yt Yt . Наблюдаемые значения экономического показателя (значения объясняющей переменной) располагаются вдоль линии
^
регрессии и соответственно et Y t Yt 0 .
Коэффициент детерминации принимает значение 0, в том случае если, модельные значения совпадают с математическим ожиданием значения
|
^ |
_ |
^ |
_ |
2 |
экономического показателя по выборке - |
Yt |
Y , |
( Yt |
Y ) |
=0. В этом случае |
|
|
|
t |
|
|
регрессионное уравнение ничего не дает кроме оценки средней. Доля дисперсии, объясняемой регрессией равна нулю, и модель не соответствует наблюдаемым показателям, т.е. не значима.
При анализе качества построенной модели величину
^
( Yt Yt )2 = et2 ,
t |
t |
еще называют необъясненной частью регрессии.
F -статистика
Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли эконометрическая модель экспериментальными данным и достаточно ли включенных в уравнения объясняющих переменных для описания объясняемой переменной.
Проверка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе дисперсионного анализа.
В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического оценивания. F -статистика
90