Пособие 09

Таблица 5.5 - Уровень цен на CD-диски и характеристики CD-дисков

51

Оценка модели (5.13) дает результат

Pr ice _ CD 2,33 0,03* Vol _ D 16,62* Type

Коэффициент детерминации совпадает с оценкой полученной из матрицы

значение F - критерия для уровня значимости 1% составляет всего Fкритич=5,27, m=2, n=35) (см. таблицу значений Приложения 2). Коэффициент ДарбинаУотсона DW =1,4. Значение статистики Дарбина-Уотсона указывает на слабую коррелированность остатков регрессии. Следовательно в модели не учтены все существенные факторы, влияющие на уровень цен на CD-диски. Значения t - статистик указывают на значимость объясняющих переменных на уровне 1%. Свободный член регрессии не значим, но решающего значения на качество модели это не оказывает.

На основании статистических свойств МНК-оценок параметров уравнения регрессии модель можно признать удовлетворительной. Т.к. дополнительная информация о факторах, влияющих на уровень цен не доступна, то уточнить модель не представляется возможным.

На основании построенной аналитической зависимости уровня цен от характеристик CD-диски получаем следующий прогноз: при увеличении емкости диска на 1 Mb цена возрастет в среднем на 0,03 руб.; диски типа «чтение и запись» стоят в среднем на 16,61 руб. дороже, чем диск той же емкости предназначенный только для чтения информации.

На рисунках 5.1 и 5.2 , представленных ниже, на странице 53 , приведены окна исходных данных и результатов оценки параметров модели уровня цен на дискеты в пакете Stadia.

Построение уравнения множественной регрессии, оценивание его параметров, оценка качества и значимости полученной модели представляют собой этапы эконометрического моделирования.

Рассмотренные модели регрессии наглядно иллюстрируют этапы построения эконометрической модели и интерпретации её результатов.

Моделирование для экономических объектов и процессов имеет большое практическое значение. Выявление аналитической зависимости между экономическими, финансовыми, социальными показателями позволяют выявить внутреннюю логику функционирования экономических и социальных объектов. Прогнозирование на основании моделей регрессии позволяет учитывать существующие риски при принятии финансовых решений

52

Рисунок 5.1 Окно исходных данных для оценивания модели множественной регрессии уровня цен на CD-диски с помощью статистического пакета Stadia.

Рисунок 5.2 Результат расчетов коэффициентов модели и оценивания значимости модели множественной регрессии уровня цен на CD-диски в статистическом пакете Stadia

53

6. Системы одновременных уравнений (краткие сведения)

Сложные экономические процессы описывают с помощью систем одновременных уравнений.

Различают следующие типы эконометрических систем уравнений:

системы внешне не связанных уравнений и системы взаимосвязанных (совместных) уравнений.

Уравнения системы (6.1) можно оценивать и по отдельности, однако для того, чтобы учесть влияние одного и того же набора факторов следует рассматривать систему уравнений. Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов.

6.2 Система взаимосвязанных (совместных) уравнений

Одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую 1 часть, а в других - в правую

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

54

Yjt - эндогенные переменные - взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели.

определяются вне модели.

Главное отличие между эндогенными и экзогенными переменными:

экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии; эндогенные переменные могут коррелировать с ошибками регрессии.

Предопределенные переменные - экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты и при переменных называют структурными коэффициентами модели.

Уравнения системы (6.2) могут быть преобразованы к так называемой приведенной форме модели. В уравнениях приведенной формы модели все эндогенные переменные зависят от всех предопределенных переменных входящих в модель:

Однако экономический смысл отражает именно структурная форма модели. Поэтому интерес для анализа представляют именно параметры структурной формы модели. В связи с этим возникает вопрос о возможности оценок параметров структурной формы – проблема идентификации.

Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:

D 1 H - уравнение идентифицируемо;

D 1 H - уравнение неидентифицируемо;

D 1 H - уравнение сверхидентифицируемо:

где Н - число эндогенных переменных в уравнении, D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации - определитель матрицы,

составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицируемых -

двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

 составляют приведенную форму модели и определяют численные

55

значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

56

7. Модели экономической динамики

Модели экономической динамики или, как их иначе называют, модели временных рядов рассматривают изменения экономических, финансовых и др. показателей во времени. Для изучения временных рядов разработаны специальные статистические методы и модели. Каждому типу моделей соответствуют методы оценки параметров модели.

Ниже рассмотрена модель тренда и методы выявления, анализа и оценивания параметров модели.

показателей в различные моменты времени будем называть уровнями динамического (временного) ряда. Ряд динамики представляется двумя векторами данных - интервалов (или моментов) времени и уровней изучаемого показателя (признака) – между компонентами которых установлено однозначное соответствие. Ряд, в котором время задано в виде промежутков

(лет, месяцев, дней и т.д.) называют интервальным динамическим рядом.

Ряд, в котором время задано конкретными датами или моментами времени называют моментным динамическим рядом.

Динамические ряды, для которых уровни наблюдаются через равные промежутки времени, являются равномерными динамическими рядами. Динамика абсолютного большинства экономических и финансовых показателей описываются равномерными рядами.

Для статистического изучения динамического ряда необходимо разделить два основных элемента – тенденцию и колеблемость. Под тенденцией

временного ряда понимаются закономерные однонаправленные изменения уровней динамического ряда. Тенденция динамики экономических показателей связана с действием долговременно существующих причин и условий. Колебания уровней динамического ряда связаны с действием случайных краткосрочных или циклических факторов. Случайные факторы, действующие ограниченный интервал времени, вызывают отклонение уровней временного ряда то в родном, то в другом направлении.

Для построения адекватной модели временного ряда необходима количественная оценка тенденции и колеблемости с помощью специальных показателей [10].

Тренд - выражение тенденции динамики в форме достаточно простого уравнения. Понятие об уравнении тенденции динамики – тренде – было введено в статистику в 1902 английским ученым Гукером.

Основной задачей для построения модели тренда является выявление типа тенденции динамики.

57

Выявление типа тенденции динамики

Наличие колебаний усложняет выявление тенденции и построение тренда. Прежде чем применить математические методы для вычисления параметров тренда, необходимо выявить наличие тенденции, устойчивость тенденции динамики и ее определить ее тип.

Задача выявления типа тенденции динамики не является чисто математической. Для выявления типа тренда необходимо оценить следующие факторы:

однородность внешних условий функционирования субъектов экономики;

характер воздействия факторов;

присутствие качественных изменений внутренних условий развития объекта.

Внешние условия функционирования однородны, если отсутствуют резкие изменения законодательной базы, темпов инфляции, уровня применяемых технологий, резкие колебания уровней цен и т.д.

Примером качественных изменений внутренних условий функционирования объекта являются техническое перевооружение предприятия, смена собственника, изменения условий сбыта и т.д.

Во всех указанных случаях, характер тенденции скорее всего будет изменяться в течение всего наблюдаемого периода. Поэтому при изучении динамического ряда показателей необходимо дробление периода на подпериоды. Чем крупнее и сложнее изучаемый субъект экономики, тем больше факторов влияют на динамику изучаемого показателя. Тем меньше возможны его резкие колебания. Сложные системы обладают значительной

инерционностью.

Типы тренда определяются характером воздействия случайных факторов. Выявление типа тенденции тренда часто осуществляется на «гуманитарном» этапе моделирования. Рассмотрим основные применяемые типы уравнений тренда и качественные условия развития, которые они отражают.

Линейная форма тренда:

Хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества независимых случайных факторов, изменяющихся по различным закономерностям.

Параболическая форма тренда:

где c - параметр тренда равный половине ускорения.

Отражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер изменения уровней динамического ряда можно

58

ожидать при прогрессивном развитии субъекта (инвестиции, освоении новой техники и технологии), при снятии каких-либо ограничений.

Логарифмическая форма тренда:

Применяют для формализации тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного значения. Замедление роста уменьшается и по мере приближения к предельному значению, линия тренда неотличима от прямой. Примеры применения логарифмических трендов: рост спортивных достижений, рост производительности труда, рост производительности агрегатов и т.д.

Логистическая форма тренда:

где Ymin , Ymax - минимальное и максимальное значения уровней временного

ряда соответственно.

В соответствии со своим названием логистическая форма тренда используется для отражения тенденций потребительского рынка.

Кроме перечисленных типов тренда при моделировании тенденции динамики используются также экспоненциальная форма тренда,

гиперболическая форма тренда. Выбор нелинейных функций,

аппроксимирующих фактическую тенденцию, кроме качественных условий развития определяется еще и на стадии моделирования исходя из условия минимизации ошибок модели.

Показатели, характеризующие тенденцию динамики

Показателями, которые позволяют выявить тенденцию временного ряда, являются абсолютные изменения уровней ряда и относительные изменения уровней ряда.

Абсолютные изменения разделяют на цепные и базисные и определяют выражениями:

цепное i Yi Yi 1 , базисное 0i Yi Y0 ,

где Y0 - уровень периода принятого за базисный.

Абсолютные цепные изменения имеют смысл скорости изменения показателя за интервал времени.

Если абсолютное изменение уровня временного ряда возрастает или убывает со временем, то уровни ряда изменяются с ускорением

'i i i 1 .

Показатель абсолютного ускорения определяется только в цепном варианте, но не в базисном.

59

Относительные изменения уровня временного ряда также разделяют на цепные и базисные и определяют выражениями:

Y

цепное Ki / i 1 Y i ,

i 1

Если цепные относительные изменения от отсчета к отсчету превышают 1, то имеется тенденция роста наблюдаемого экономического показателя. Если цепные относительные изменения от отсчета к отсчету меньше 1, то имеется тенденция падения уровня наблюдаемого экономического показателя.

Показатели, характеризующие устойчивость тенденции динамики

По отношению к статистическому изучению динамики под устойчивостью будем понимать устойчивость тенденции.

В качестве показателя устойчивости используют коэффициент корреляции рангов Спирмена (Spearman) – rs

N

6 k2

rs 1 Nk3 1 N ,

где N - число уровней, k - разность рангов уровней временного ряда и рангов

периодов времени.

При полном совпадении рангов уровней временного ряда и рангов номеров периодов времени коэффициент корреляции рангов rs =1. Это значение

соответствует полной устойчивости тенденции возрастания уровней временного ряда. При противоположности рангов уровней временного ряда и рангов номеров периодов времени rs =- 1. Это значение соответствует полной устойчивости тенденции убывания уровней временного ряда.

При хаотическом чередовании рангов уровней rs 0. Это означает

отсутствие какой-либо тенденции изменения уровней временного ряда. Значения коэффициентов корреляции рангов могут быть выражены в

процентах.

Следует иметь ввиду, что даже при 100% устойчивости тенденции

какая-либо тенденция в изменении наблюдаемого параметра, уравнение тренда не может быть построено. В этом случае необходимо использовать более сложные модели временных рядов.

60