Пособие 09

1. Задачи экономической практики, исторические сведения1

Существуют различные определения для научной дисциплины, называемой эконометрикой, некоторые из них:

ЭКОНОМЕТРИКА – наука, связанная с эмпирическим выводом экономических законов;

ЭКОНОМЕТРИКА - приложение к экономической статистике, наука, моделирующая статистические связи в экономике.

Эконометрика зародилась в начале 30-х годов как новая самостоятельная дисциплина на стыке экономической практики и математической статистики, расположена где-то между экономикой, статистикой и математикой. Под статистическими данными в экономике, эконометрике, понимают систематизированные и группированные однородные количественные сведения об экономической деятельности за прошлые периоды времени.

Задача построения эконометрической модели может быть сформулирована следующим образом.

Имеются эмпирические (т.е. экспериментальные, статистические) данные: экономические, социальные, финансовые показатели. Необходимо подобрать и оценить формализованную зависимость изменения изучаемого экономического (социального, финансового) показателя при изменении других показателей (факторов). Факторы (или объясняющие переменные), являются независимыми переменными. Изучаемый показатель (или объясняемая переменная), напротив зависит от факторов. Цель построения модели – получить функциональную зависимость, наиболее близко описывающую реально наблюдаемые показатели.

Процедуру построения эконометрической модели можно разделить на три основных этапа:

1)выбор функциональной зависимости - задача не формализуемая. Требования к математической модели: простота, компактность, интерпретируемость аналитического описания. На этом этапе основной задачей является выделить причинно следственные связи изучаемых экономических объектов (субъектов) и их показателей. В определенном смысле выбор зависимостей и объясняющих параметров можно считать искусством.

2)подбор аппроксимирующей функции для функциональной зависимости.

3)расчет по экспериментальным данным параметров выбранной аппроксимирующей функции. Определение параметров может быть сделано графоаналитическим (преимущественно, в модели с зависимостью от одного фактора) или аналитическим методом. Наиболее мощным аналитическим методом является метод, разработанный в 1795-1805 гг. Лежандром и Гауссом

иполучивший название регрессионного анализа или метода наименьших квадратов (МНК).

1 Содержание данного модуля заимствовано из различных источников перечисленных в рекомендуемой литературе и изложено в сжатой форме

11

По конечной цели построения эконометрических моделей могут быть разделены на две основные:

1)выявление закономерностей и взаимосвязей для экономических явлений

иобъектов на основе эмпирических данных;

2)подтверждение и проверка экономических теорий. Здесь эконометрические модели играют роль «экспериментальной части исследования», аналогично естественнонаучным направлениям.

Вэкономической практике эконометрические модели нашли наибольшее применение в анализе макроэкономических процессов, исследовании финансовых рынков.

Эконометрическое моделирование является сложным аналитическим методом. До недавнего времени, в силу сложности вычислительного процесса этот метод был доступен только узкому кругу профессионалов. Любая задача требовала не только получения аналитических выражений, но и составления программ, позволяющих провести расчеты параметров модели.

С развитием компьютерной техники, информационных систем появились прикладные программы, позволяющие проводить статистический анализ экономических данных. Расширение рынка программных продуктов сделало доступным такие программы широкому кругу экономистов-практиков. На сегодняшний день эконометрические модели занимают все большее место в методах экономического анализа и прогноза.

Эконометрика и физика2

Особенностью исследований в экономике заключается в том, что групповое поведение индивидуумов, семей, корпораций мало предсказуемо. Поэтому трудно предположить существование какого-либо закона, претендующего на универсальность. Это сильное утверждение, но оно верно.

Давайте коротко обсудим последствия одного универсального закона. Это знаменитый пример, взятый из физики и показывающий, как один верный закон может быть использован для открытия другого. Наблюдая спутники Юпитера, можно заметить, что иногда они на восемь минут впереди, а иногда на восемь минут отстают от времени, рассчитанного по законам Ньютона. Можно также заметить, что спутники опережают расчетное время, когда Юпитер ближе к Земле, и отстают, когда Юпитер удален. Если мы доверяем теории Ньютона, то должны заключить отсюда, что свет имеет конечную скорость, и то положение спутников, которое мы наблюдаем, является вовсе не их текущим положением, а тем, в котором они находились некоторое время назад, необходимое, чтобы свет дошел от Юпитера до Земли. Олаф Ремер таким образом показал в 1675 г., что свет имеет конечную скорость, и годом позже он привел оценку скорости света 214 000 км/с, что было замечательным достижением — лишь на 30% меньше истинного значения.

Ничего подобного этой строгой красоте невозможно в эконометрике. Люди, фирмы, организации, их взаимодействие на различных уровнях

2 данная, и изложенная ниже информация приведена [2]

12

агрегирования настолько богаче и интереснее планет, что неизбежно являются гораздо более сложными объектами для моделирования и прогноза.

Эконометрика и математическая статистика

Данные в эконометрике никогда не являются экспериментальными, в прямом смысле этого слова.

Все параметры изменяются одновременно. Данные, с которыми мы должны работать, не являются результатом контролируемого эксперимента. Они — не экспериментальные.

Вфизике, химии, биологии, медицине можно проводить контролируемые эксперименты, но только не в экономике. (Астрономические данные также не являются экспериментальными: мы не можем изменить орбиту Марса, чтобы посмотреть, как это повлияет на орбиту Земли. Однако, объекты изучения астрономов не измены за многие и многие человеческие жизни. Поэтому множество наблюдений, проведенных разными исследователями, вполне заменяют контролируемый эксперимент.) Отсюда следуют серьезные последствия для эконометрической теории. Традиционные методы математической статистики — теория оценивания и проверки гипотез — были развиты для экспериментальных наук, но не для экономики. Эти методы, таким образом, не могут быть без какой-либо модификации применены в эконометрике.

Эконометрист не может получить больше данных, чем у него имеется. Физики-экспериментаторы и представители других естественных наук могут поступать так, как предписывают книги по статистике. У них есть теория, они собирают данные и формируют новую теорию, основанную на этих данных, затем они выбрасывают старые данные и собирают новые данные, затем проверяют новую теорию и так далее. Эконометрист не может поступать таким образом. Если он выбросит старые данные, у него ничего не останется.

Втрадиционной математической статистике проверка гипотез и оценивание являются двумя разными темами, излагаемыми в разных главах разных томов. Прикладной статистик либо проверяет гипотезу, либо оценивает некоторые параметры, но никогда не делает и то и другое одновременно. Эконометрист, напротив, вынужден оценивать параметры и проверять гипотезу одновременно.

Методологическая особенность эконометрики заключается в применении достаточно общих гипотез о статистических свойствах экономических параметров и ошибок их измерения. Универсальным аппаратом эконометрических исследований является математическая статистика, а именно такие разделы как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод наименьших квадратов, прогнозирование.

Корреляционный анализ позволяет количественно оценить связь между различными взаимодействующими экономическими явлениями как случайными величинами.

13

Различают два типа связей между явлениями и признаками: функциональную (или жестко детерминированную) и статистическую.

Если при изменении величины x другая величина y изменяется так,

что каждому значению каждому значению x соответствует совершенно определенное значение y , то такую связь называют функциональной.

Однако на практике наблюдаются влияние случайных величин. Рассмотрим ситуацию, когда на графике экспериментальных данных явно просматривает линейная связь, но строго соответствия между x и

с изменением значения одной из переменных вторая может принимать в определенных пределах любые значения с некоторыми вероятностями, но при этом среднее значения или иные статистически с характеристики изменяются по определенному закону – связь является статистической.

Понятия корреляционной связи и коэффициента корреляции излагаются во многих курсах теории вероятностей, однако эти понятия долгое время еще остаются для человека достаточно туманными.

Корреляционной связью называют важнейший частный случай статистической связи - разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения

закономерно изменяется другая характеристика, то связь не корреляционная хотя и статистическая.

При корреляционной связи одному и тому же значению x в разных реализациях могут соответствовать различные значения y в интервале L .

Пути возникновения корреляционной связи

причинная зависимость (например: уменьшение стоимости материалов и комплектующих;

взаимосвязь между показателями, которые являются и причиной и следствием (например: производительность труда и тарифная ставка являются и причиной и следствием изменения друг друга)

оба показателя – следствия (например: число пожаров и число пожарников являются следствием численности городского населения)

Регрессионный анализ - тесно связан с корреляционным – устанавливает зависимости между экономическими показателями путем наблюдения за характером их изменения. Одним из основных методов регрессионного анализа является метод наименьших квадратов – МНК. Модели, полученные с помощью регрессионного анализа, позволяют прогнозировать варианты развития экономических процессов.

14

2. Типы моделей, типы данных

Типы моделей

Можно выделить три основных типа эконометрических моделей, применяемых для анализа и прогноза.

Модели временных рядов

Общим для моделей временных рядов всех видов является рассмотрение изменения экономических, финансовых и др. показателей во времени – рядов статистической динамики. В зависимости от характера поведения динамических рядов используются следующие виды моделей.

Модели тренда

Y (t) T (t) t ,

где T (t) - временной тренд динамического ряда, t - случайная компонента.

Модели сезонности

Y( t ) S( t ) t

где S(t) - периодическая (сезонная) компонента динамического ряда, t -

случайная компонента.

Модели тренда сезонности

Y (t) T (t) S(t) t -аддитивная;

Y (t) T (t)S(t) t - мультипликативная.

К моделям временных рядов также относятся множество более сложных моделей: модели авторегрессии (AR), модели скользящего среднего (MA), модели авторегрессии и скользящего среднего (ARMA) и др. Общей чертой моделей не являющихся моделями тренда, является объяснение поведение временного ряда его «историей» - предыдущими значениями.

Модели регрессии с одним уравнением

В таких моделях исследуемый экономический показатель - объясняемая

В зависимости от вида функции f ( X , b) модели делятся на линейные и нелинейные.

Область применения таких моделей значительно шире, чем моделей временных рядов. Модели регрессии используются при решении задач

15

верификации, отбора значимых параметров, прогноза уровней экономических показателей, оценки эластичности экономических показателей.

Системы одновременных уравнений

Модели представляют собой системы эконометрических уравнений. Системы могут состоять из тождеств, регрессионных уравнений, регрессионных уравнений с лаговыми переменными (авторегрессии). Особенностью системы является то, что каждое уравнение может включать в себя также объясняемые переменные из других уравнений системы. Часто системы одновременных уравнений строятся для анализа микро и макро экономических моделей, проверки экономических теорий.

Типы данных

При математическом моделировании экономических процессов мы встречаемся с двумя типами данных:

пространственные данные (cross-sectional data)

временные ряды (time-series data).

Пространственные данные (cross-sectional data) представляют собой выборки экономических (социальных, финансовых) показателей,

зафиксированных для различных субъектов экономики в один и тот же момент времени или за один и тот же период времени. При этом за период наблюдений внешние условия для субъектов экономики не изменяются существенным образом.

Для экономических объектов такими условиями могут быть, например, неизменная законодательная база, неизменный (или незначительный уровень инфляции), неизменные тенденции макроэкономических показателей, технологическая база одного поколения и т.п. Разумеется, что для конкретного случая формируются и условия. Данные получены в один и тот же момент времени (период) для разных объектов, например, территорий, фирм, домохозяйств.

Примерами пространственных данных являются - прожиточный минимум для разных регионов России, зафиксированный в один и тот же месяц; цены на ГСМ на разных автозаправочных стациях, зафиксированные в один и тот же день; производительность труда для предприятий одной отрасли за отчетный период; данные по курсам купли-продажи наличной валюты по обменным пунктам; депозитные ставки в разных кредитных организациях в один день и т.д.

Временные ряды представляют собой выборку экономических (социальных, финансовых) показателей, зафиксированных для конкретного субъекта экономики за период времени. Временные данные оценивают динамику изменения показателей, упорядочены во времени, в близкие моменты времени часто бывают зависимыми.

Примерами временных данных являются изменения за рассматриваемый промежуток времени об инфляции, средней заработной плате и т.д.

16

3. Метод наименьших квадратов (МНК)

Методом наименьших квадратов (МНК) называют специальную процедуру, позволяющую оценить параметры построенной на основании эмпирических данных зависимости. Пусть исследователь располагает рядом

с экономической точки зрения, причинно-следственные зависимостями.

результате построения такой зависимости, называют «модельными»

t

3.1 Оценка параметров парной модели методом наименьших квадратов

Пусть существует ряд наблюдений Yt (объясняемая переменная), X t

(объясняющая переменная),объем выборки n . Для эконометрической модели, связывающей два экономических показателя (модели парной регрессии) выражение (3.1) имеет вид (см. 1.1)

где Yt - модельные значения, Yt - наблюдаемые значения.

17

Предполагая, что между наблюдаемыми показателями существует линейная зависимость

найдём a и b .Учитывая предполагаемый вид функциональной зависимости выражение (3.1) можем переписать в виде

Необходимые условия экстремума

F 0 ,a

F 0;

b

откуда

Раскрыв скобки получим систему нормальных линейных уравнений с двумя неизвестными a и b

18

учитывая ограниченность наблюдений, мы получаем лишь оценку значений коэффициентов истиной зависимости. Из первого уравнения (3.4) следует, что полученное уравнение прямой проходит через точку со средними значениями

Yt и X t по выборке. Путем несложных преобразований второго уравнения (3.4)

^

можем получить другие выражения для b

3.2 Оценка параметров модели множественной регрессии методом наименьших квадратов

При влиянии на изучаемый экономический параметр нескольких факторов необходимо оценивать параметры уравнения множественной регрессии. Предполагая, что линейную зависимость между наблюдаемыми показателями

Раскрыв скобки получим систему линейных уравнений с неизвестными bk

19

или в матричной форме (подробнее см. например в [1] или [2])

b X X T Y X T .

Для уравнения регрессии с двумя объясняющими переменными (факторами)

Yt b1 X1t b2 X 2t ,

система уравнений соответственно принимает вид

Если предполагается использовать уравнение регрессии со свободным членом a

Yt a b1 X1t b2 X 2t ,

20