Пособие 09

то система будет включать три уравнения

Таким образом, для оценки параметров множественной регрессии МНК необходимо решить систему уравнений ( k 1) * (k 1) или k * k .

Вычисления МНК чрезвычайно громоздки, поэтому метод получил широкое распространение и, по существу, второе рождение благодаря развитию вычислительной техники и информационных технологий.

4.Эконометрическая модель с двумя переменными – модель парной регрессии

4.1 Основные гипотезы

зависимость. В геометрическом смысле - необходимо провести некую кривую (прямую) таким образом, чтобы она наиболее близко подходила ко всем точкам построенной эмпирической зависимости. Эту процедуру часто называют

^

«подгонкой кривой». Значения Y f ( X t ) обычно называют модельными.

Наиболее мощным аналитическим методом, позволяющим решить эту задачу, является метод наименьших квадратов (далее МНК) . Для этого метода мерой «близости» наблюдаемых значений экономических показателей и «модельных» значений является функционал

21

F ( Yt f ( X t ))2 .

t

Откуда условием «хорошей подгонки кривой» будет являться

F ( Yt f ( X t ))2 min .

t

Рассмотрим ситуацию, когда предполагается линейная зависимость между наблюдаемыми экономическими показателями X t и Yt

Yt a bXt .

Для этой зависимости Yt является объясняемой (или зависимой) переменной, X t - объясняющей переменной (или фактором).

предполагается, что ошибка для каждого наблюдения является нормально распределенной величиной, описываемой стандартным распределением

носит название спецификации модели. Модель (4.1) имеет название

классической нормальной регрессионной модели. Уравнение связывающие

Однако реально функциональной зависимости для показателей не наблюдается. Это происходит потому, что реальные экономические объекты (субъекты) функционируют в неодинаковых условиях. Возникающие в следствии этих

неодинаковых условий ошибки, t приводят к случайности наблюдаемой

22

наблюдаема (т.е. мы не можем определить их величину) и определяется множеством независимых друг от друга факторов. Поэтому мы можем предположить, что ошибка является случайной нормально распределенной величиной. Влияние ошибки вызывает отклонение значения Yt от их

реального представления, как в сторону уменьшения, так и в сторону возрастания. Поэтому среднее значение (математическое ожидание) ошибки логично предположить равным нулю. Условие (4.5) предполагает, что ошибки для разных наблюдений статистически не связаны друг с другом. Т.е. значение пары X 1 и Y1 не влияют на значение пары X 2 и Y2 . Применительно к экономике такое допущение означает, что все наблюдаемые объекты функционируют в едином экономическом пространстве и испытывают сходное влияние. Но экономические (социальные, финансовые) показатели одного объекта не зависят от тех же показателей другого объекта.

полученные по методу наименьших квадратов МНК, являются наиболее эффективными.. В соответствии с теоремой Гаусса-Маркова (см. теорему например в [1], [2]) они являются несмещенными и имеют наименьшую дисперсию:

^

M [ a ] a ,

23

завершения эконометрического моделирования. Необходимо оценить качество построенной модели. Для этого определяют насколько вероятно, что полученная модель близка к истинному виду зависимости изучаемых экономических показателей. Для оценки «качества» эконометрической модели используют три основных расчетных показателя: t - статистику ( t - критерий), R 2 - коэффициент детерминации; F - статистику ( F - критерий). Все указанные показатели реализованы в любом из статистических программных пакетов.

Оценка t -статистики основывается на проверке гипотезы b =0, a =0 т.е.

считать, что с заданной вероятностью коэффициенты регрессии не нулевые и, следовательно, функциональная модельная зависимость действительно

существует. Причем если tb , ta > 2 , то коэффициенты регрессии не равны 0 с вероятностью 90-95%. Уже в этом случае можно считать модель является качественной, или значимой. Если tb , ta > 3, то коэффициенты регрессии не равны 0 с вероятностью 99%.

Может случиться так, что значение ta меньше указанных критических значений. Тогда можно осуществлять оценивание уравнение регрессии без свободного члена. Однако если tb -статистика не превышает критических значений, то невозможно отклонить гипотезу b =0, и модель не значима.

F -статистика (другое название - F -критерий Фишера) – показатель дисперсионного анализа. При статистической обработке серий данных (серий экспериментов, выборок данных) F - критерий оценивает соотношение дисперсий двух выборок. Если фактическое значение Fфактич - критерия выше

некого критического значения Fкритич , то считают, что обе рассматриваемые выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

24

Для эконометрического моделирования F - статистика оценивается как соотношение факторной дисперсии и остаточной дисперсии

t

где m – число переменных в регрессионной модели, n – общее объем выборки. Для парной регрессионной модели m=1 и

Важнейшим показателем оценки качества эконометрической модели является коэффициент детерминации. Обозначается этот показатель R 2 и может быть определен любым из двух выражений

( Y t Y )2

t

Коэффициент детерминации может принимать значения 0 R2 1. Если коэффициент детерминации равен 1, то модельные значения полностью совпадают с наблюдаемыми. Наблюдаемые значения экономического показателя (значения объясняющей переменной) располагаются вдоль линии

объясняемой регрессией равна нулю, и модель не соответствует наблюдаемым показателям, т.е. не значима.

25

Теперь, когда мы определили параметры эконометрической модели, провели статистическим методами оценку качества построенной модели – ее значимость, нашу задачу можно считать завершенной. Следующий этап – экономическая интерпретация полученных результатов и выводы.

4.2 Уравнение регрессии в логарифмической форме

Особое значение в эконометрике имеет экономическая интерпретация результатов моделирования. При использовании экономических показателейX t и Yt в абсолютном значении каждая из объясняющих переменных

(факторов) является именованной величиной (измеряются в соответствующих единицах). Коэффициенты эконометрической модели (регрессии) имеют смысл изменения объясняемого параметра от среднего значения при изменения фактора на единицу измерения от среднего значения, иными словами «скорости изменения объясняемого параметра при изменении объясняющего на единицу». Однако в экономике принято оценивать показатели в относительных величинах – процентах. Поэтому многие аналитики используют логарифмическую форму исходных экономических данных. Рассмотрим парную линейную регрессию в логарифмической форме

собой ничто иное, как процентное изменение объясняемого экономического

(«чуткости») одной переменной в ответ на изменение другой. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется величина y при изменении величины x на один процент. Таким образом, в случае построения линейных моделей модель в логарифмической форме наилучшим образом соответствует экономическим задачам.

26

результате действия множества независящих друг от друга случайных факторов не определяющих значение Yt . Существенное отклонение DW от значения 2, говорит о проявлении статистической связи между ошибками t и t 1 . В

этом случае можно говорить, что величину t определяют один или

несколько не включенных в модель факторов, существенно влияющих на значение наблюдаемого экономического показателя Yt . Для улучшения

качества модели следует перейти от парной эконометрической модели к множественной модели или динамической модели.

4.5 Нелинейная регрессия. Линеаризация

При построении эконометрических моделей возможна следующая ситуация. Очевидно, что экономические показатели взаимосвязаны, значения t - статистики и F -статистики подтверждает значимость коэффициентов. Однако коэффициент детерминации существенно меньше 1, и соответственно, модель не может считаться качественной. Остается предположить, что зависимость

Yt от X t не линейна. Тогда необходимо подобрать нелинейную функцию f ( Xt ), учитывая требование к простоте формы модели. Полученное модельное

уравнение носит название нелинейной регрессии. Нелинейные регрессии делятся на два типа: нелинейные по объясняющим переменным (факторам) и нелинейные по объясняемым переменным. В качестве зависимостей нелинейных по объясняющим переменным обычно выбираются:

 полиномы различных степеней Yt a bX t cX t 2 dX t 3 t ;

гипербола Yt a Xbt t ;

Примеры нелинейные зависимостей по объясняемым переменным:

степенная Yt a* X t b ;

показательная Yt a* b Xt * t ;

экспоненциальная Yt exp( a bX t ) t .

Однако МНК позволяет оценить параметры регрессионного уравнения

процедуру называют линеаризацией. Для этого могут быть использованы разные приемы. Для регрессии нелинейной по объясняющим переменным используют замену переменной. Для гиперболы делают замену

~ 1 ,

X t X t

в результате оцениваемая регрессия приобретает вид

28

Полученное уравнение линейно относительно объясняющих переменных, однако, это уже уравнение множественной регрессии. Как (4.14), так и (4.15) могут быть оценены МНК. При расчете статистик необходимо помнить, что в изначальной постановке у нас парная экономическая модель и объясняющая

переменная одна - X t .

Для регрессий нелинейных по объясняемым переменным процедура линеаризации сводится к логарифмированию левых и правых частей

Параметры (4.16) оцениваются МНК. Однако при оценке качества построенной модели следует помнить, что параметры регрессии оценены для

После расчетов коэффициентов (4.16) необходимо вернуться к исходному виду уравнения и оценить модельные значения объясняющей переменной

регрессионных уравнений в показательной или степенной форме процедура линеаризации полностью аналогична рассмотренной выше. Сформулируем алгоритм оценки нелинейных регрессий:

 выбрать форму зависимости для нелинейного уравнения регрессии;

29

провести линеаризацию регрессионного уравнения в соответствии с видом выбранной зависимости;

оценить коэффициенты линеаризованного уравнения МНК, оценить значимость полученных коэффициентов для линеаризованного регрессионного уравнения;

путем обратного преобразования вернуться к исходному виду регрессии – при необходимости преобразовать значения коэффициентов;

^

 оценить модельные значения объясняющей переменной Yt , ошибку

^

регрессии et Yt Yt и коэффициент детерминации, используя исходные значения объясняющей переменной X t .

30