Занятие 9 Законы Кеплера.

Физика XVII века фактически состояла из двух разделов – механики и оптики, для которых общей областью применения была астрономия. Чтобы удовлетворить нужды астрономии, Иоганн Кеплер написал фундаментальный труд, состоящий из 11 глав, шесть из которых посвящены оптике и пять – астрономии. После принятия гелиоцентрической системы, Кеплер опубликовал первые два эмпирических закона движения планет, а в 1618г. – третий. В школьном курсе физики законам Кеплера отводится мало времени, но они заслуживают внимания.

Решение задач:

1. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите радиуса R= 3R_з, где R_з - радиус Земли, равный 6400км. В результате кратковременного действия тормозного устройства скорость спутника уменьшилась так, что он начинает двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Земли. Через какое время после этого спутник приземлится?

Решение: После торможения спутник движется по эллиптической орбите, большая полуось которой α =(R +R_З)/2. Если применить законы Кеплера к движению спутника по круговой и эллиптической орбитам, получим (Т/Т₀)² = (α/R)³. Период обращения спутника по круговой орбите находим из условия 4π²R/Т₀² = GМ_З/R². Но GМ_З =gR_З². Используя эти соотношения, находим период обращения спутника по эллиптической орбите:

Т = 2π/R_з(R³/g)^1/2((R +R_З)/2R)^3/2.

С момента торможения до посадки спутник пройдет половину эллиптической орбиты. Поэтому t=Т/2 =7150с. Около двух часов.

2. На какое максимальное расстояние от Солнца удаляется комета Галлея? Период обращения ее вокруг Солнца 76 лет, минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца 0,9 10⁸ км. Радиус орбиты Земли 1,5 10⁸ км.

3. Спутник, запущенный на круговую орбиту высотой 500 км над поверхностью Земли, тормозится в верхних слоях атмосферы. На какой высоте окажется спутник через месяц, если угловое ускорение спутника 3 10^-13рад/с².

4. Известно, что в настоящее время Луна удаляется от земли со скоростью 3,3 см/год. Найти угловое ускорение Луны. Среднее расстояние Луны от Земли 3,84 10⁵км, угловая скорость вращения Луны вокруг Земли 2,56 10^-6рад/сек.

5. Ракета запущена с поверхности Земли вертикально вверх с первой космической скоростью и возвращается на Землю недалеко от места старта. Сколько времени она находилась в полете?

Занятие 10 Закон Гука.

По мнению современников, характер у английского ученого, современника Ньютона, Роберта Гука был непростой, но у него был редкий изобретательский талант (ему предписывают около ста изобретений) и гениальная интуиция, которая позволила ему установить основные динамические законы, управляющие солнечной системой. Однако он не мог их систематически изложить из-за непостоянства характера и недостаточных математических знаний. Зависимость силы упругости от деформации Роберт Гук установил экспериментально. Закон Гука справедлив для упругой деформации растяжения и сжатия.

Решение задач:

1. К пружине, коэффициент жесткости которой равен 0.3 кН/м, подвешена гиря массой 0,6 кг. Найти удлинение пружины в случае подъема гири с постоянным ускорением 0,2 м/с². Как изменится деформация пружины в случае опускания гири с тем же по модулю ускорением?

Решение: Тело движется вверх с ускорением. На гирю действуют сила тяжести mg и сила упругости F_упр, возникающая вследствие удлинения пружины.

Х

F_упр

mg

Для проекций сил на ось Х по второму закону Ньютона F_упр –mg =mα. По закону Гука F_{упр =} k∆x, где∆x– удлинение пружины. Тогда k∆x - mg =mα и ∆x=m (g+α)/k, ∆x =0,02 м. При движении гири вниз с ускорением пружина сжата на ∆x₁ большее нуля, и получаем уравнение

mg - k∆x₁ = mα; ∆x_{1 =} m(g-α)/k; ∆x_{1 =} 0,192 м.

2. Найти удлинение буксирного троса с жесткостью 100кН/м при буксировке автомобиля массой 2т с ускорением 0,5м/с². Трением пренебречь.

3. На подставке лежит тело, подвешенное к потолку с помощью пружины. В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с ускорением 0,5м/с². Через какое время тело оторвется от подставки? Жесткость пружины 40Н/м, масса тела 500г.

4. На сколько переместится конец нити (точка А), перекинутой через неподвижный невесомый блок, если к концу нити приложить силу 20Н? Жесткости пружин равны 30Н/м и 40Н/м. Нить нерастяжима.

k₁

А

K₂

F

5. При помощи пружинного динамометра груз массой 10кг движется с ускорением 5м/с² по горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения груза о стол равен 0,1. Найдите удлинение пружины, если ее жесткость 2000Н. Занятие 11 Вес и невесомость.

Вес – очень знакомое слово. Однако очень часто, к сожалению, смешивают понятия «сила тяжести» и «вес тела», а в быту вес отождествляют с массой. Непосредственные предшественники Ньютона (Декарт и Гюйгенс) путали понятия массы и веса. Первое четкое различие между весом и массой мы находим в предисловии к работе Джована Баттисты Бальяни «О естественном движении тел»:

«…в то время как вес ведет себя как действующее начало, вещество ведет себя как пассивное начало, и поэтому тяжелые тела движутся в зависимости от отношения их веса к их веществу. Природа тяжелых тел такова, что их вес связан с веществом: каков вес, а значит, и его способность к действию, таково количество и вещества». Отсюда видно, что Бальяни было ясно не только понятие массы, но и ее пропорциональность весу.

Вес – это сила. Он ничем не отличается от любой другой силы, если не считать двух особенностей: вес направлен вертикально и действует постоянно, его невозможно устранить. Вес – это не что иное, как одно из проявлений силы упругости. Если тело лежит на опоре, то вследствие притяжения к Земле оно давит на опору. По этой же причине подвешенное тело растягивает подвес. Вес тела обладает особенностями, существенно отличающими его от силы тяжести. Во-первых, вес тела определяется всей совокупностью действующих на тело сил, а не только силой тяжести (так, вес тела в жидкости или воздухе меньше, чем в вакууме, из-за появления выталкивающей силы) Во- вторых, вес тела, как мы увидим при решении задач, существенно зависит от ускорения, с которым движется опора (подвес). А при свободном падении наступает невесомость.

Решение задач:

1. Найти вес автомобиля, движущегося в верхней точке выпуклого моста, радиус кривизны которого 800м, если автомобиль движется со скоростью 72км/ч. А его масса 1200кг.

Решение:

F

У α

F_т

Вес движущегося автомобиля равен по модулю силе упругости моста, действующей на транспорт. В уравнение второго закона Ньютона войдет именно эта сила упругости. В проекции на ось ОУ это уравнение имеет вид:

- F + mg = mα,

Или F = m(g – α).

Так как α = V²/R, то Р=F, Р=m(g-V²/R). Видно, что в верхней точке моста вес тела меньше силы тяжести.

Р=1200кг(9,8Н/кг – 400м²/с²/800м)=11160Н=11,16кН.

2. Космический корабль совершает мягкую посадку на Луну (g_л=1,6м/с²), двигаясь замедленно в вертикальном направлении (относительно Луны) с постоянным ускорением 8,4м/с². Сколько весит космонавт массой 70кг, находящийся в этом корабле?

3. С какой скоростью должен автомобиль проходить середину выпуклого моста радиусом 40м, чтобы пассажир на мгновение оказался в состоянии невесомости?

4. На экваторе некоторой планеты тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Плотность вещества планеты 3000кг/мᶾ. Определите период обращения планеты вокруг собственной оси.

5 . Найти среднюю плотность планеты, у которой на экваторе пружинные весы показывают вес тела на 10% меньше, чем на полюсе. Сутки на планете составляют 24 часа.