Четыре исходные задачи преобразования чертежа

Подавляющее большинство метрических задач рассматривает прямые и плоскости. Если заранее известно, какие построения нужно выполнить, чтобы прямая (или плоскость) общего положения заняла частное, решение многих метрических задач значительно облегчается.

Частных положений как у прямой, так и у плоскости - два (прямая (плоскость) уровня и проецирующая). Это означает, что существуют четыре исходные задачи преобразования чертежа, в результате которых: прямая общего положения становится прямой уровня; прямая общего положения становится проецирующей; плоскость общего положения переходит в проецирующую; плоскость общего положения становится плоскостью уровня.

Для решения подобных задач воспользуемся методом замены плоскостей проекций, хотя каждая из них может решаться как способом вращения, так и плоскопараллельного переноса.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения (АВ) в прямую уровня (рис. 40). Для решения задачи введем новую фронтальную плоскость проекций П₄, расположенную параллельно горизонтальной проекции A₁B₁ прямой (АВ). Т.к. при введении новой фронтальной плоскости проекций координаты Z точек A и B не изменяются, дальнейшие построения ясны из

Рис. 40

чертежа, причем проекция A₄B₄ представляет собой натуральную величину отрезка [AB]. Таким образом, решение рассмотренной задачи преобразования комплексного чертежа представляет собой еще один способ нахождения натуральной величины отрезка прямой общего положения.

Задача 2. Прямую общего положения необходимо преобразовать в положение проецирующей прямой (рис. 41).

Решение. Задача решается путем двух преобразований, поскольку нужно сделать две замены плоскостей проекций: первой прямая общего положения переводится в положение прямой уровня, а второй полученная прямая уровня переводится в проецирующую. Первое преобразование представляет собой решение рассмотренной выше задачи. Т.к. вводимая во втором преобразовании плоскость проекций (P₅) является новой горизонтальной плоскостью проекций, точка A₅ располагается на линии проекционной связи A₄A₅ на расстоянии, равном величине координаты Y точки A в системе плоскостей проекций P₁ -P₄.

Рис. 41

Овладев алгоритмом решения приведенной задачи, можно легко найти расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, от точки до плоскости, а также натуральную величину двугранного угла (представив линию пересечения двух плоскостей в виде проецирующей прямой).

Задача 3. Перевести плоскость общего положения, заданную треугольником АВС, в проецирующую (рис. 42).

Решение. Плоскость, заданная любым способом, представима как множество соответствующих прямых уровня - либо ее горизонталей, либо фронталей. Поэтому преобразования нужно проводить так, чтобы прямые уровня плоскости спроецировались в точки. Тогда плоскость спроецируется в совокупность точек, расположенных на одной прямой. Следовательно, если в заданной плоскости общего положения провести прямые какого-либо уровня, то, расположив новую плоскость проекций перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или фронтальной проекции фронтали плоскости, можно получить соответствующую проецирующую плоскость (рис. 42).

Такой подход позволяет находить расстояния от точки до плоскости, между плоскостью и параллельной ей прямой, между параллельными плоскостями.

Задача 4. Плоскость общего положения, заданную треугольником АВС, перевести в положение плоскости уровня (рис. 43).

Рис. 42

Решение. Задача решается с помощью двух преобразований. Первым плоскость общего положения переводится в положение проецирующей (решение исходной задачи 3, изложенное выше), а вторым полученная проецирующая плоскость переводится в положение плоскости уровня (на рис. 42 это плоскость горизонтального уровня). Точки A₅, B₅ и С₅ расположены от оси X, разделяющей плоскости P₄ и P₅, на расстояниях, равных величинам координат Y для точек A, B и С в системе плоскостей проекций P₁-P₄.

Решение рассмотренной задачи позволяет находить натуральные величины плоских фигур (следовательно, сторон многоугольников и плоских углов). Решение этой же задачи методом плоскопараллельного переноса приведено на рис. 39.