Поверхности и плоскости

Поверхность является множеством последовательных положений движущейся линии, именуемой образующей, которая бывает как прямой, так и кривой. Закон перемещения образующей обычно определяется другой линией, называемой направляющей, а также характером перемещения образующей.

Образующая, направляющая и характер движения образующей по направляющей представляют собой определитель поверхности, т.к. их задание означает не что иное как однозначное определение поверхности.

Различают поверхности:

- линейчатые (образующая - прямая);

- нелинейчатые (в противном случае);

- развертывающиеся (разрезав по образующей, их можно односторонне совместить с плоскостью без разрывов и складок);

- неразвертывающиеся.

На практике чаще всего встречаются поверхности гранные и вращения. Первые образуются при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Поверхности вращения образованы вращением некоей линии (образующей) вокруг некоторой прямой (оси вращения). К гранным поверхностям относятся пирамидальная и призматическая (рис. 10).

Рис. 10

Из числа гранных поверхностей выделяют группу многогранников, т.е. замкнутых поверхностей, образованных неким количеством граней. К таким поверхностям принадлежат пирамида и призма.

Пирамидой называют многогранник, у которого одна грань (основание) представляет собой произвольный многоугольник, а боковые грани являются треугольниками с общей точкой S, именуемой вершиной. Если в основании пирамиды лежит треугольник, ее называют треугольной, если основанием служит четырехугольник - четырехугольной и т.д.

Призма - многогранник, у которого две грани (основания) одинаковые и взаимно параллельные многоугольники, а боковые грани - параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскостям основания, ее считают прямой, если нет - наклонной.

Правильные многогранники имеют одинаковые грани в виде правильных многоугольников. Они обладают важным свойством, вписываясь в сферу. Если все грани многогранника правильные треугольники, его называют тетраэдр (правильный четырехгранник); когда все грани правильные четырехугольники (квадраты) - гексаэдр или куб (правильный шестигранник). Правильный восьмигранник именуют октаэдром, двенадцатигранник додекаэдром и т.д.

В общем виде поверхность вращения с важнейшими принадлежащими ей линиями имеет вид, показанный на рис. 11.

Рис. 11

Изображения важнейших поверхностей вращения на двухпроекционном комплексном чертеже представлены на рис. 12.

Рис. 12

Отметим, что из всех поверхностей вырожденную в основание проекцию (главную) могут иметь только прямые призма и цилиндр (рис. 13).

Рис. 13

Плоскость представляет собой частный случай поверхности, когда ее образующая и направляющая являются прямыми линиями, и определяется одним из следующих способов (рис. 14): тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 14 а); прямой и точкой, не принадлежащей ей (рис. 14 b); двумя параллельными прямыми (рис. 14 c); двумя пересекающимися прямыми (рис. 14 d); плоской фигурой, например, треугольником (рис. 14 e); следами (след плоскости - прямая, по которой эта плоскость пересекается с какой-либо плоскостью проекций).

Рис. 14

От одного способа задания плоскости легко перейти к другому. Определение плоскости следами равносильно ее заданию с помощью двух пересекающихся прямых, фронтали и горизонтали (причем горизонтальная проекция горизонтали и фронтальная проекция фронтали совпадают с осью Х).

Как и прямые, различают плоскости общего и частного положения. Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, а плоскости частного положения разделяют на плоскости уровня и проецирующие. Первые параллельны одной из плоскостей проекций, а вторые перпендикулярны какой‑либо из них. Проецирующие плоскости, подобно прямым, называют соответственно фронтально-, горизонтально- и профильно-проецирующими (примеры изображения ряда из них на комплексном чертеже показаны на рис. 15).

Рис. 15

Вообще, для задания плоскости на комплексном чертеже достаточно изобразить ее элементы, перечисленные выше, что не вызывает затруднений.

Нужно заметить, что любая плоскость уровня - дважды проецирующая. Например, плоскость горизонтального уровня одновременно является и фронтально-, и профильно-проецирующей. Таким образом, любая плоскость частного положения - плоскость проецирующая.

Важнейшими линиями плоскостей служат их линии уровня.

Горизонталями плоскости называют прямые, ей принадлежащие и параллельные горизонтальной плоскости проекций, а фронталями - прямые, лежащие в ней и параллельные фронтальной плоскости.

Для построения таких линий можно использовать аксиому, что прямая определяется двумя точками. Если в качестве последних взять точки, заведомо принадлежащие плоскости, а также учитывать, что фронтальная проекция горизонтали и горизонтальная проекция фронтали параллельны оси Х, линии уровня плоскости достаточно легко построить (рис. 16).

Рис. 16