Перпендикулярность

Из решения задачи о нахождении натуральной величины отрезка прямой уровня следует, что плоская фигура или угол (образуемый двумя сторонами фигуры) проецируются на плоскость без искажения, если их плоскость и плоскость проекций параллельны (исключение составляет прямой угол).

Теорема о проецировании прямого угла формулируется так: если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения.

Перпендикулярность двух прямых. Допустим, что через точку М нужно провести прямую, перпендикулярную отрезку [АВ]. Сколько возможно решений, и какими они могут быть (рис. 35)?

Рис. 35

Заметим, что прямая (АВ) - фронталь. На основании сформулированной теоремы на фронтальной плоскости проекций можно из точки M₂ провести прямую n₂, перпендикулярную A₂B₂.

Есть два варианта решения рассматриваемой задачи (в зависимости от того, как расположены прямые n и (АВ) по отношению одна к другой).

1. Если n и (АВ) пересекаются, 1₂ - фронтальная проекция точки их пересечения 1. Горизонтальную проекцию (1₁) точки 1 можно найти по принадлежности к прямой (АВ), тем самым определив единственное положение прямой n (т.е., задача имеет одно решение).

2. Если n и (АВ) скрещиваются, общих точек они не имеют. Все прямые, скрещивающиеся с (AB) под прямым углом, будут располагаться в плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной отрезку [AB]. Поскольку через точку в плоскости можно провести бесконечное множество прямых, решений окажется бесконечно много. На комплексном чертеже все фронтальные проекции таких прямых совпадут с n₂, а горизонтальные отобразятся пучком прямых, проходящих через точку M₁ (на рис. 35 одна из подобных прямых, m₁, показана пунктиром).

Перпендикулярность прямой и плоскости. Общий геометрический признак перпендикулярности прямой и плоскости устанавливает, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Применительно к “Начертательной геометрии” отмеченный признак формулируется так: прямая перпендикулярна плоскости, если проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям прямых уровня этой плоскости.

Проиллюстриуем приведенные соображения на примере решения следующей задачи. Пусть плоскость S задана параллельными прямыми а и b. Из точки М требуется опустить на эту плоскость перпендикуляр m (рис. 36).

Использование теоремы о частном случае проецирования прямого угла позволяет предложить такой алгоритм решения:

1. В плоскости S в любом месте строятся ее фронталь и горизонталь.

2. Через точки М₁ и М₂ проводятся перпендикуляры к h₁ и f₂ (к горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали).

Рис. 36

Нужно заметить, что точка пересечения прямой и плоскости не найдена, но это и не требовалось по условию задачи.

Чтобы лучше представить процесс решения, следует подчеркнуть, что указанная точка в общем случае не будет располагаться в месте пересечения проведенных фронтали и горизонтали плоскости. Если из точки пересечения упомянутых линий уровня восставить к плоскости перпендикуляр, все перпендикуляры к плоскости, проведенные из любой точки, окажутся ему параллельны.

При решении многих задач о перпендикулярности прямой и плоскости надо принимать во внимание обстоятельство, что плоскость и перпендикуляр к ней представляют собой своеобразную “жесткую” систему. Если плоскость является плоскостью общего положения, то и перпендикуляр к ней - прямая общего положения. Когда плоскость - частного положения, перпендикуляр к ней - прямая частного положения.

Перпендикулярность двух плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей утверждает, что плоскость S перпендикулярна плоскости W, если плоскость S проходит через прямую, перпендикулярную плоскости W.

Представление решений многих задач на комплексном чертеже облегчает следующий факт: если плоскости S и W перпендикулярны, перпендикулярны и соответствующие проекции их прямых уровня.