Виды проецирования

Для изображения предметов на плоскости “Начертательная геометрия” использует метод проецирования. Он состоит в том, что некий луч [SA), выходя из точки S, пересекает некоторую плоскость П¢ в точке A¢ (рис. 1).

Точку S называют центром проецирования, направление SA - проецирующим лучом, плоскость П¢ - плоскостью проекций, а А¢- проекцией точки А на плоскость проекций П¢.

В зависимости от положения центра проецирования по отношению к плоскости проекций различают центральное (коническое) и параллельное

(цилиндрическое) проецирование. В первом случае проецирующие лучи

выходят из одной точки - центра проецирования S. Во втором эти лучи параллельны один другому и какому-либо направлению.

Рис. 1

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, полагая, что центр проецирования S удален в бесконечность.

В зависимости от направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций параллельное проецирование бывает косоугольное (проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций) и прямоугольное (проецирующие лучи перпендикулярны ей). Нужно отметить, что во всех случаях проецирования проецируемый объект располагается между наблюдателем и выбранной плоскостью проекций.

Поскольку в основе исполнения чертежей лежит прямоугольное проецирование, именно оно и будет рассматриваться далее.

Свойства прямоугольного проецирования

Прямоугольное проецирование обладает следующими свойствами.

1. Точка проецируется в точку.

2. В общем случае прямая проецируется в прямую.

3. Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции прямой.

4. Если прямые параллельны, то их проекции тоже параллельны.

5. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций.

6. Проекция геометрической фигуры по величине и форме не изменяется при параллельном перемещении плоскости проекций.

7. Проекция отрезка не может быть больше самого отрезка.

Доказательства перечисленных свойств рассмотрены в справочной литературе. Еще одно важное свойство будет приведено ниже.

Комплексный чертеж. Эпюр точки

Проекционные изображения, используемые в технической документации, должны обладать наглядностью, простотой графического выполнения и обратимостью (т.е. давать возможность представить сам объект и в дальнейшем его изготовить).

Поскольку наличие одной проекции приводит к неопределенности в отображении предмета, на практике однопроекционные изображения дополняют. Важнейшим вариантом такого дополнения являются комплексные изображения. Их получают путем прямоугольного проецирования объекта на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Такой подход впервые предложил, систематизировал и описал Г. Монж.

Три взаимно перпендикулярные плоскости, на которые проецируют какой-либо предмет (или точку), позволяют получить три изображения, а также задать ортогональную систему координат OXYZ, в которой положение любой точки однозначно определяется тремя ее проекциями - A (X_A, Y_A, Z_A). Как правило считают, что объект располагается в пространстве плоскостей, образующих так называемый “правый” угол (рис. 2), где все координаты любой точки положительны. Вообще говоря, три взаимно ортогональные плоскости П₁-П₂-П₃ разбивают пространство на 8 частей (октантов). На рис. 2 показан один октант. Плоскости П₁-П₂-П₃ называют соответственно горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостями проекций, а проекциям любой точки на эти плоскости присваивают индексы 1, 2 и 3 (рис. 2).

Чтобы показать изображение предмета, спроецированное на три плоскости проекций, на одной плоскости, мысленно проводят разрез по оси ОY и поворачивают плоскость П₁ вокруг оси ОХ, а плоскость П₃ - вокруг оси ОZ до совмещения с плоскостью П₂, получая комплексный чертеж (рис. 3).

Рис. 2 Рис. 3

Линии A₁A₂ и A₂A₃ называют линиями проекционной связи (или просто линиями связи), причем A₁A₂ перпендикулярна оси X, а A₂A₃ - Z.

Основные свойства трехпроекционного комплексного чертежа (эпюра точки), приведенного на рис. 3, таковы: две проекции точки принадлежат одной линии связи, линия связи перпендикулярна соответствующей оси координат, две проекции точки определяют третью.

Таким образом, комплексный чертеж (эпюр Монжа) - это изображение на одной плоскости нескольких взаимно ортогональных проекций предмета, полученное путем определенного совмещения плоскостей проекций с плоскостью чертежа.

Двухпроекционный эпюр представляет собой изображения предмета на двух плоскостях проекций, совмещенных с плоскостью чертежа. Им удобно пользоваться, поскольку две любые проекции предмета или точки всегда содержат все три их координаты, однозначно определяющие положение объекта в пространстве. Такой чертеж является обратимым, т.е. наличие двух проекций какого-либо предмета позволяет точно представить его.

Отметим, что точки, лежащие на одном проецирующем луче, являются конкурирующими (например, А и К на рис. 1), что лежит в основе одноименного метода, используемого для определения видимости проекций линий и плоских фигур.

ЛИНИИ

Кинематически линия не что иное, как множество последовательных положений движущейся точки. Не углубляясь в классификацию всех существующих линий, перечислим наиболее распространенные:

- прямые (точка не изменяет направление движения);

- ломаные (точка перемещается по отрезкам прямых);

- замкнутые (движущаяся точка периодически возвращается в исходное положение);

- разомкнутые (в противном случае);

- кривые (точка изменяет направление движения);

- плоские (точка перемещается в плоскости);

- пространственные.

Очевидно, что прямая линия определяется двумя точками.

Как выглядит и задается изображение точки на комплексном чертеже, показано выше. Задав аналогично вторую точку и соединив их, получим прямую (рис. 4). Отрезок [АВ] характеризует направление прямой (сама она в пространстве бесконечна).

Рис. 4

В зависимости от расположения прямых по отношению к плоскостям проекций различают прямые общего и частного положения.

Прямые общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций (рис. 4). Прямые частного положения разделяют на прямые уровня и проецирующие. Первые параллельны одной из плоскостей проекций, а вторые - перпендикулярны одной из них, чем и объясняются их названия. Горизонталь - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций (прямая горизонтального уровня). Фронталь - прямая, параллельная фронтальной плоскости (прямая фронтального уровня). Наконец, профильная прямая параллельна третьей плоскости проекций. На чертеже эти прямые выглядят так, как показано на рис. 5 (h₂ - фронтальная проекция горизонтали; h₁ - горизонтальная проекция горизонтали; f₂ - фронтальная проекция фронтали; f₁ - горизонтальная проекция фронтали; р₁, р₂ - соответствующие проекции профильной прямой).

Рис. 5

Т.к. проецирующая прямая перпендикулярна какой-либо из плоскостей проекций, ее проекция на эту плоскость вырождается в точку и называется главной. Различают фронтально- (рис. 6 а), горизонтально- (рис. 6 б) и профильно-проецирующие (рис. 6 в) прямые.

Рис. 6

Отметим, что проецирующие прямые являются и прямыми уровня. Так, фронтально-проецирующая прямая - и горизонталь, и профильная, поскольку она параллельна и горизонтальной, и профильной плоскостям проекций. По этой же причине горизонтально-проецирующая прямая - и фронталь, и профильная, а профильно-проецирующая прямая - и горизонталь, и фронталь. Итак, проецирующие прямые - одновременно дважды прямые уровня.

В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными. Комплексные чертежи таких случаев расположения прямых представлены на рис. 7.

Рис. 7

Кривые линии чаще всего задают их проекциями (рис. 8).

Рис. 8

Наибольший интерес представляет изображение окружностей, располагающихся в плоскостях, параллельных одной из плоскостей проекций. На рис. 9 представлены двухпроекционные комплексные чертежи окружностей, плоскости которых параллельны фронтальной (рис. 9 а), горизонтальной (рис. 9 б) и профильной (рис. 9 в) плоскостям проекций.

Рис. 9