Линейная алгебра и аналитическая геомерия

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Кафедра «Высшая математика»

Виноградова П.В., Ереклинцев А.Г.

Алгебра и геометрия. Часть I. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

Комплексные числа

Учебное пособие

Хабаровск 2012

1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

УДК 512(075.8)

ББК

В 493

Рецензенты:

Кафедра математики Дальневосточного государственного гуманитарного университета (заведующий кафедрой кандидат педагогических наук,

доцент И.В. Карпова)

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика»

Тихоокеанского государственного университета

А.Г. Зарубин

Виноградова, П.В.

В493 Алгебра и геометрия. Часть I. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Комплексные числа. Учебное пособие / П.В. Виноградова, А.Г. Ереклинцев. – Хабаровск:

ДВГУПС, 2012. – 108 c.

Учебное пособие разработано в соответствии с основными образовательными программами высшего профессионального образования.

Рассматриваются следующие аспекты алгебры и геометрии: объекты, модели и методы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии, алгебраическая и геометрическая модели комплексных чисел с приложениями. Приведено большое количество примеров и задач с решениями.

Предназначено для студентов первого курса, обучающихся по направ- лениям подготовки (специальностям) высшего профессионального образования 080200.62 «Менеджмент», 090900.62 «Информационная безопасность», 090303.65 «Информационная безопасность автоматизиро- ванных систем», 190700.62 «Технология транспортных процессов», 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 230100.62 «Информатика и вычислительная техника», 230400.62 «Инфор- мационные системы и технологии», 280700.62 «Техносферная безопас- ность», изучающих дисциплину «Алгебра и геометрия».

УДК 512(075.8)

ББК

© ДВГУПС, 2012

2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ВВЕДЕНИЕ

Алгебра и геометрия – два самых больших раздела математики,

принадлежащих наряду с арифметикой к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры и геометрии, отличающие их от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности, исходя из различных аспектов практической деятельности человека. Развитие алгебры и геометрии, их методов и символики оказало существенное влияние на науку, подготовив серьёзный фундамент и способствуя появлению многочисленных областей математики. Наиболее важная в приложениях часть алгебры – линейная алгебра. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к линейной алгебре, была теория линейных уравнений, развитие которой привело к созданию теории определителей, а затем теории матриц и связанной с ней теории векторных пространств и линейных преобразований в них. Применение

аппарата классической алгебры в условиях развития геометрии привело к самостоятельному оформлению таких важных разделов математики, как векторная алгебра и аналитическая геометрия. С методами алгебры и геометрии тесно связано изучение многих аспектов теории чисел, в частности, комплексных чисел, а также их многочисленные приложения.

Предлагаемое учебное пособие должно оказать помощь в овладении основными понятиями, утверждениями и методами алгебры и геометрии, а

также в умении применять их при решении различных математических задач.

Весь материал пособия разбит на разделы и подразделы, в которых приведены основные теоретические сведения (определения, утверждения

иправила), примеры и задачи с подробными решениями, а также вопросы самоконтроля и задачи для самостоятельного решения. Такое изложение

материала позволит студентам организовать самостоятельную работу при изучении алгебры и геометрии, а также овладеть стандартными приёмами

инавыками и впоследствии творчески применять их в решении сложных профессиональных задач.

Представленный в учебном пособии материал может быть использован преподавателями кафедры «Высшая математика» на лекционных и практических занятиях, консультациях и экзаменах, а также при разработке контрольно-измерительных материалов.

3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1. Элементы линейной алгебры

1.1. Матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами

Определение 1.1. Числовой матрицей размерности m×n, где m – число строк, n – число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определённом порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента aij однозначно определяется номером строки i и

номером столбца j, на пересечении которых он находится:

Иногда коротко пишут A = [aij ]m´n , т.е. i меняется от 1 до m, j – от 1 до n.

Замечание. Матрица размерностью 1×1 состоит из одного элемента и равна этому элементу.

Далее рассмотрим специальные виды матриц.

Определение 1.2. Матрицей–строкой (строчечной матрицей) называется матрица A размерности 1× n , состоящая из одной строки:

A = (a1 a2 Kan ).

Определение 1.3. Матрицей–столбцом (столбцевой матрицей, числовым вектором)) называется матрица A размерности m ×1, состоящая из одного столбца:

èam ø

Определение 1.4. Квадратной матрицей порядка n называется матрица, у которой число строк и число столбцов одинаково и равно n :

Элементы матрицы, расположенные на её главной диагонали, имеют одинаковые индексы строки и столбца: a11, a22 ,...,ann .

Определение 1.5. Единичной матрицей E называется квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы – нулю:

4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Определение 1.6. Если в квадратной матрице aij = a ji , то матрица назы-

симметричная.

Определение 1.7. Квадратная матрица вида

называется диагональной матрицей.

С матрицами можно выполнять следующие операции: сложение, умножение на число, умножение матриц, транспонирование.

Определение 1.8. Суммой двух матриц A = [aij ] и B = [bij ] одной размер-

ности называется такая третья матрица

C = A + B

той же размерности, что и матрицы–слагаемые, каждый элемент которой cij представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и

B :

cij = aij + bij .

Определение 1.9. Произведением матрицы A = [aij ] на действительное

число λ называется такая матрица

B = λ A

той же размерности, что и матрица A, каждый элемент которой bij

представляет собой произведение соответствующего элемента матрицы

A на число λ :

bij = λaij .

5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Найти матрицу 2A + B.

Пользуясь определениями 1.8 и 1.9, получим следующие матрицы:

Определение 1.10. Произведением матрицы A = [aij ] размерности m ´ k с

сумму произведений соответствующих элементов i −ой строки матрицы A и j − го столбца матрицы B :

Замечание. Из определения 1.10 следует, что перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первого множителя равно числу строк второго.

Определение 1.11. Матрица AT размерности n× m называется транспо- нированной по отношению к матрице A размерности m × n, если она получена из неё заменой строк столбцами (или, что то же, столбцов – строками):

Пример. Даны матрицы

6

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

7

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.A(BC) = (AB)C – ассоциативность произведения матриц.

5.(λ + μ)A = λA + μA – дистрибутивность умножения матрицы на

Определение 1.12. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:

1)умножение какой–либо строки (столбца) матрицы на любое действительное число, отличное от нуля;

2)сложение какой–либо строки (столбца) матрицы с другой строкой (столбцом) матрицы, умноженной на любое действительное число;

3)перестановка строк (столбцов) матрицы местами;

4)удаление строк (столбцов) матрицы, содержащих только нули. Определение 1.13. Матрицы, полученные в результате элементарных

преобразований, называются эквивалентными.

8

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

взаимно-однозначное отображение множества M на себя. Число n в этом случае называется порядком подстановки.

Подстановки будем записывать в виде таблицы, состоящей из двух

Пример. Примерами подстановок 5 - го порядка будут подстановки:

Теорема 1.2. Число подстановок порядка n равно n!= 1× 2×...× n.

Пример. Подстановками третьего порядка будут следующие подстановки:

Пример. Найти произведения следующих подстановок третьего порядка:

9

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Замечание. Как следует из приведённого примера, произведение подстановок некоммутативно.

Определение 1.17. Пусть ϕ − подстановка множества M = {1, 2, ...,n}, числа i, j являются элементами множества M. Пара чисел ϕ(i), ϕ( j) называется инверсией, если i < j, но при этом ϕ(i) > ϕ( j).

Пример. Вычислить количество инверсий подстановки седьмого порядка

Для решения этой задачи воспользуемся определением 1.17 и подсчитаем количество пар ϕ(i), ϕ( j) , для которых i < j, а ϕ(i) > ϕ( j).

3)2 < 6, ϕ(2) = 4, ϕ(6) = 3, ϕ(2) > ϕ(6),

4)4 < 6, ϕ(4) = 5, ϕ(6) = 3, ϕ(4) > ϕ(6),

5)5 < 6, ϕ(5) = 7, ϕ(6) = 3, ϕ(5) > ϕ(6),

6)5 < 7, ϕ(5) = 7, ϕ(7) = 6, ϕ(5) > ϕ(7).

Таким образом, данная подстановка имеет 6 инверсий.

1.3. Определитель квадратной матрицы

Определение 1.18. Определителем квадратной матрицы A = [aij ]n×n

называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по–одному и только по–одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое

произведение входит в сумму со знаком (-1)σ , где σ − это число инвер-

сий, образованных вторыми индексами элементов произведения при условии, что первые индексы расположены в порядке возрастания. Обозначается определитель матрицы A одним из следующих символов:

| A |, A , det A.

Для вычисления определителя квадратной матрицы, пользуясь определением 1.18, необходимо:

1)составить всевозможные произведения элементов матрицы, при этом взять только по–одному элементу из каждой строки и каждого столбца;

10

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com