Линейная алгебра и аналитическая геомерия

значений. Суть этого метода состоит в том, что в выражение, подобное полученному выше, поочерёдно подставляются несколько (по количеству неопределённых коэффициентов) произвольных значений переменной x.

Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в

Вопросы для самоконтроля к разделу «Комплексные числа и их алгебраические приложения»

1.Сформулируйте определение комплексного числа, записанного в алгебраической форме. Какие комплексные числа называются чисто мнимыми?

2.Какие комплексные числа называются равными? Используются ли знаки

">", "<", "³", "£", "»" на множестве комплексных чисел?

3.Какие числа называются комплексно-сопряжёнными?

4.Сформулируйте определение модуля комплексного числа. Какими свойствами обладает модуль комплексного числа?

5.Сформулируйте определения суммы и произведения комплексных чисел. По каким правилам можно осуществлять сложение и умножение комплексных чисел?

6.Сформулируйте определения частного комплексных чисел. Какое правило используется при делении комплексных чисел?

7.Приведите геометрическую интерпретацию комплексного числа, записанного в алгебраической форме. Что называется аргументом комплексного числа? Какими свойствами он обладает?

101

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

8.Запишите комплексное число, представленное в алгебраической форме, в тригонометрической и показательной формах. Какие формулы используются при умножении, делении и возведении в степень комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме?

9.Сформулируйте определение корня натуральной степени n из комплексного числа. Запишите формулу извлечения корня натуральной степени n из комплексного числа, представленного в тригонометрической форме. Сколько различных корней натуральной степени n из комплексного числа существует?

10.Какое уравнение называется алгебраическим уравнением степени n ? Сформулируйте основную теорему алгебры. Сколько комплексных корней имеет алгебраическое уравнение степени n ? Какие корни алгебраического уравнения называются кратными?

11.Сформулируйте теорему о разложении многочлена действительной переменной с действительными коэффициентами на действительные линейные и квадратичные множители. Каким свойством должны обладать соответствующие квадратичные множители?

12.Сформулируйте определение дробно-рациональной функции. Какие дробно-рациональные функции называются элементарными дробями?

Запишите в общем виде разложение правильной рациональной дроби на элементарные дроби.

Задачи для самостоятельного решения к разделу «Комплексные числа и их алгебраические приложения»

1.Выполнить необходимые действия и записать комплексные числа в алгебраической форме:

2.Найти модули и аргументы комплексных чисел, записать из в тригонометрической и показательной формах:

102

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.Вычислить (1− i3)9 , применяя формулу Муавра.

5.Найти 31+ i.

6.Разложить многочлен P(z) = z2 − z +1+ i на линейные множители.

7.Многочлен P(z) с действительными коэффициентами имеет простой

103

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящее учебное пособие включает в себя достаточный теорети- ческий материал, а также примеры и задачи по курсу алгебры и геометрии,

программа которого предусмотрена подготовкой бакалавров и специалистов, обучающихся в ДВГУПС по направлениям подготовки

высшего профессионального образования и изучающих дисциплину «Алгебра и геометрия».

Рассмотренные примеры и задачи призваны помочь студентам в овладении важными аспектами упомянутого курса, а также организовать

самостоятельную работу при выполнении еженедельных домашних и расчётно-графических заданий, контрольных работ, при подготовке к зачётам и экзаменам.

Авторы надеются, что пособие будет способствовать выработке у студентов ДВГУПС прочных знаний, умений и владений при решении задач алгебры и геометрии, а также связанных с ними профессиональных задач.

104

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Издательство «Лань», 2009. – 512 с.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: учебник для вузов. В

3т. Т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Издательство «Дрофа», 2008. – 285 с.

3.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –

М.: Физматлит, 2009. – 312 с.

4.Беклемишев Д.В., Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Издательство «Лань», 2008. – 496 с.

5.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2009. – 224 с.

6.Клетеник Д.В., Ефимов Н.В. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре – М.: Издательство «Лань», 2011. – 224 с.

105

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………………3

1.Элементы линейной алгебры ...……………………………………………......4

1.1.Матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами …………………………4

1.2.Подстановки ………………………...…………………………………………..8

1.3.Определитель квадратной матрицы ………………………………………10

1.4.Обратная матрица. Способы обращения матрицы …...………………..14

1.5.Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы …………….........17

1.6.Системы линейных уравнений и методы их решения …………...……..18

1.6.1.Метод Гаусса ………………………………………………………………...18

1.6.2.Матричный метод ..………………………………………………...............23

1.6.3.Метод Крамера ………………………………………………….................25

1.7.Исследование систем линейных уравнений ……………………………..26 Вопросы для самоконтроля к разделу «Элементы линейной алгебры»….28 Задачи для самостоятельного решения к разделу «Элементы линейной алгебры» ……………………………………………………………………………..28

2.Элементы векторной алгебры ………………………………………………...30

2.1.Основные понятия и утверждения.…...…………………………………….30

2.2.Система координат…………………………………………………………...30

2.2.1.Декартова система координат…………………………………………….34

2.2.2.Полярная система координат …………………………………………….35

2.2.3.Цилиндрическая система координат ……………………………………36

2.2.4.Сферическая система координат ………………………………………..37

2.3.Вектор и его длина в координатной форме ………………………………38

2.4.Скалярное произведение векторов ………………………………………..38

2.5.Векторное произведение векторов ………………………………………...40

2.6.Смешанное произведение векторов ………………………………………42

Вопросы для самоконтроля к разделу «Элементы векторной алгебры»……………………………………………………………………………...44

Задачи для самостоятельного решения к разделу «Элементы векторной алгебры» ……………………………………………………………………………..44

3.Элементы аналитической геометрии………………………………………...45

3.1.Линии на плоскости …………………………………………………………...45

3.1.1.Прямая на плоскости ……………………………………………………….46

3.1.1.1.Уравнение прямой по точке и вектору нормали …………………….46

3.1.1.2.Уравнение прямой, проходящей через две точки …………………..47

3.1.1.3.Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту …………...47

3.1.1.4.Уравнение прямой по точке и направляющему вектору …………..48

3.1.1.5.Уравнение прямой в отрезках ………………………………………….49

3.1.1.6.Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости ……………………………………50

3.1.1.7.Расстояния от точки до прямой ………………………………………..51

106

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.1.2.Кривые второго порядка …………………………………………………...52

3.1.2.1.Определение кривой второго порядка. Классификация кривых второго порядка …………………………………………………………………….52

3.1.2.2.Окружность ………………………………………………………………...53

3.1.2.3.Эллипс ……………………………………………………………………...53

3.1.2.4.Гипербола ………………………………………………………………….56

3.1.2.5.Парабола …………………………………………………………………..58

3.1.3.Уравнение линии в полярных координатах …………………………….59

3.2. Поверхности и линии в пространстве ……………………………………..60

3.2.1.Плоскость …………………………………………………………………….61

3.2.1.1.Уравнение плоскости, проходящей через три точки ……………….61

3.2.1.2.Уравнение плоскости по точке и вектору нормали …………………62

3.2.1.3.Уравнение плоскости по двум точкам и направляющему вектору …………………………………………………………………………….…63

3.2.1.4.Уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам ……………………………………………………………………………..63

3.2.1.5.Уравнение плоскости в отрезках ………………………………………64

3.2.1.6.Расстояние от точки до плоскости …………………………………….64

3.2.1.7.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей ………………………………………………..65

3.2.2.Линии в пространстве ……………………………………………………...66

3.2.2.1.Уравнения прямой по точке и направляющему вектору …………..66

3.2.2.2.Уравнения прямой, проходящей через две точки …………………..68

3.2.2.3.Общие уравнения прямой ………………………………………………68

3.2.2.4.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых …………………………………………………….69

3.2.3.Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости ……………………………………..70

3.2.4.Поверхности второго порядка …………………………………………….71

3.2.4.1.Эллипсоиды ........................................................................................72

3.2.4.2.Гиперболоиды …………………………………………………………….74

3.2.4.3.Цилиндрические поверхности ………………………………………….76

3.2.4.4.Параболоиды ……………………………………………………………...78

3.2.4.5.Конусы второго порядка …………………………………………………80

Вопросы для самоконтроля к разделу «Элементы аналитической геометрии»…………………………………………………………………………..82

Задачи для самостоятельного решения к разделу «Элементы аналитической геометрии» ……………………………………………………….84

4. Комплексные числа и их алгебраические приложения …………………..86 4.1. Основные понятия и операции с комплексными числами ……………..86 4.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа …………………..89 4.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа …92 4.4. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа …….94

107

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.5. Разложение многочлена на множители. Основная теорема алгебры ...…………………………………………………………………………….95

4.6. Разложение дробно-рациональной функции на простейшие рациональные дроби ………………………………………………………………98

Вопросы для самоконтроля к разделу «Комплексные числа и их алгебраические приложения»…………………………………………………..101

Задачи для самостоятельного решения к разделу «Комплексные числа и их алгебраические приложения» ……………………………………………... 102

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………….………………………………………………104

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………………….105

108

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com