Линейная алгебра и аналитическая геомерия

Таким образом, верна следующая

Теорема 3.1. Справедливы утверждения

1.Две прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

2.Две прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда,

когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Из теоремы 2.8, в частности, следует, что прямая, проходящая через точку Mo (xo , yo ) параллельно прямой y = kx + b, имеет уравнение

В ряде геометрических задач необходимо знать координаты точки пересечения двух прямых. Аналитически их можно отыскать как решение системы двух линейных уравнений этих прямых.

51

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример. Даны вершины треугольника А(0, 1), B(6, 5), C(12, -1). Вычислить длину высоты, проведённой из вершины С.

Воспользуемся теоремой 3.2. Для этого составим уравнение стороны

АВ:

x - 0 = y -1, 6 - 0 5 -1

6x = y4-1,

общее уравнение прямой АВ имеет вид:

2x − 3y + 3 = 0.

Тогда

3.1.2. Кривые второго порядка

3.1.2.1. Определение кривой второго порядка. Классификация кривых второго порядка

Определение 3.10. Кривой второго порядка называется линия на плоскости, заданная уравнением

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

где A, B, C, D, E, F − действительные числа, причём A, и B и C не равны нулю одновременно, т.е. A2 + B2 + C2 ¹ 0.

Существует система координат (не обязательно прямоугольная декартова), в которой данное уравнение второго порядка может быть представлено в одном из видов, приведённых ниже, называемых

каноническим уравнением и соответствующих указанной кривой второго порядка (Таблица 1):

52

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Далее рассмотрим кривые второго порядка, наиболее часто встречающиеся при решении геометрических задач.

3.1.2.2. Окружность

Определение 3.11. Окружностью ω(C, R) с центром в точке C(a, b) и радиусом R называется кривая второго порядка, каноническое уравнение

которой имеет вид

(x - a)2 + (y - b)2 = R2 .

Пример. Найдём координаты центра и радиус окружности, если её уравнение задано в виде 2x2 + 2y2 - 8x + 5y - 4 = 0.

Для вычисления координат центра и радиуса окружности данное уравнение приведём к каноническому виду, указанному в определении

3.11.Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 - 4x + 2,5y - 2 = 0,

(x2 - 2 × x × 2 + 22 ) - 22 + ( y2 + 2 × y × 5 / 4 + (5 / 4)2 ) - (5 / 4)2 = 0, (x - 2)2 + (y + 5/ 4)2 = 2 + 4 + 25/16,

(x - 2)2 + (y + 5/ 4)2 =121/16, (x - 2)2 + (y + 5/ 4)2 = (11/ 4)2 ,

отсюда находим окружностьω(C, R), у которой центрC(2, − 5 / 4) и радиус

R =11/ 4.

3.1.2.3. Эллипс

Определение 3.12. Эллипсом γ называется кривая второго порядка,

Определение 3.13. Фокусами эллипса называются такие две точки плоскости F1 и F2 , сумма расстояний от которых до любой точки М эллипса γ есть величина постоянная. При этом фокус F1 называется левым фокусом, а F2 - правым фокусом.

53

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Из определения 3.13 вытекает способ построения эллипса с помощью натянутой нити, показанный на рис. 16 и дающий представление о форме эллипса: это – замкнутая выпуклая линия с двумя осями симметрии (осями абсцисс и ординат), называемыми главными осями эллипса, и с центром симметрии O, называемым центром эллипса.

y

М

осью) эллипса γ с каноническим уравнением (3.10),а число b (2b) − его

правая вершины эллипса, (0, − b) и (0, b) − соответственно нижняя и верхняя

вершины эллипса.

Определение 3.16. Числоε , равное отношению фокусного расстояния 2c к большей оси 2a, называется эксцентриситетом эллипса:

ε = 22aс .

Эксцентриситет эллипса – безразмерная величина, для вычисления которой применяется одна из формул:

Поскольку у эллипса 2a > 2c, его эксцентриситет ε < 1. Эксцентриситет эллипса говорит о его форме (степени вытянутости). При уменьшении ε фокусы эллипса F1 и F2 сближаются, а малая полуось приближается к большой. В пределе, когда ε = 0, т.е. фокусное расстояние равно нулю,

54

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

эллипс вырождается в окружность. Следовательно, окружность является особым предельным случаем эллипса, если его фокусы совпали с центром. Если же эксцентриситет увеличивается, приближаясь к 1, то

эллипс становится всё более вытянутым и в пределе вырождается в отрезок.

Теорема 3.3. Если для некоторой точки Mo (xo , yo ) плоскости выполняется

условие

то точка M o находится внутри эллипса, а если

то точка M o находится вне эллипса.

Теорема 3.4. Для произвольной точки Mo (xo , yo ) , принадлежащей эллипсу,

верны равенства:

r1 = a -ε × x, r2 = a + ε × x.

Определение 3.17. Пара прямых, заданных уравнениями

x = ± εa ,

называется директрисами эллипса с каноническим уравнением (3.10).

Теорема 3.5. Для принадлежности точки эллипсу необходимо и достаточно того, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса к

расстоянию от неё до соответствующей директрисы было равно эксцентриситету.

Пример. Составим уравнение прямой, проходящей через левый фокус и

нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением x2 + y2 = 1. 25 16

Большая полуось эллипса a = 5, его меньшая полуось b = 4. Координаты нижней вершины эллипса, в соответствии с определением

эллипса F1(-3, 0)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (0, − 4) и (−3, 0) имеет

вид:

55

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4x = −3y −12,

4x + 3y +12 = 0.

3.1.2.4. Гипербола

Определение 3.18. Гиперболой называется множество точек M плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая

расстояния между ними (рис. 17)

c

Рисунок 17. Гипербола

Обозначим расстояние F1F2 между фокусами гиперболы, изображённой на рис.17, через 2c. Тогда фокусы имеют координаты F1 (−c, 0) и F2 (c, 0).

Из определения 3.18 следует, что величина | r1 + r2 | постоянна.

Обозначим её через 2a. Выберем на гиперболе произвольную точку M (x, y).. Тогда из геометрических соображений, приведённых на рисунке

3.18, следуют равенства

r1 = (x + c)2 + y2 и r2 = (x − c)2 + y2 ,

откуда получим уравнение

(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = 2a.

Уединяя первый радикал в левой части и возводя полученное уравнение в квадрат, получим

(x + c)2 + y2 = 4a2 + 4a(x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 ,

56

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4a(x − c)2 + y2 = −4a2 + 4xc.

Возведём последнее уравнение в квадрат, получим: a2 (x − c)2 + a2 y2 = a4 − 2a2 xc + x2c2 ,

a2 x2 − 2a2 xc + a2c2 + a2 y2 = a4 − 2a2 xc + x2c2 , a2 x2 + a2c2 + a2 y2 − a4 − x2c2 = 0,

−x2 (c2 − a2 ) + a2 (c2 − a2 ) + a2 y2 = 0,

x2 (c2 − a2 ) − a2 y2 = a2 (c2 − a2 ).

Обозначим c2 − a2 = b2.Тогда уравнение примет вид a2b2 = b2 x2 − a2 y2

Определение 3.19. Уравнение (3.11) называется каноническим уравнением гиперболы. Число a ( 2a ) называется действительной полуосью (действительной осью) гиперболы с каноническим уравнением (3.11),а число b (2b) − его мнимой полуосью (мнимой осью).

Гипербола пересекает действительную ось в двух точках (−a, 0) и (a, 0) − соответственно в левой и правой вершинах. Мнимую ось гипербола

не пересекает. Из рисунка 17, равно как и из уравнения 3.11, видно, что гипербола имеет две оси симметрии (оси абсцисс и ординат), называемые её главными осями, а также центр симметрии (точка O), называемый её центром. Для гиперболы, в отличие от эллипса, справедливо неравенство

2a < 2c.

Определение 3.20. Пара прямых, заданных уравнениями y = ± ba x,

называется асимптотами гиперболы с каноническим уравнением (3.11). Определение 3.21. Числоε , равное отношению фокусного расстояния 2c к действительной оси 2a, называется эксцентриситетом гиперболы:

ε = 22aс .

Эксцентриситет гиперболы – безразмерная величина, для вычисления которой применяется одна из формул:

Поскольку у гиперболы 2a< 2c, её эксцентриситет ε > 1.

Определение 3.22. Если у гиперболы действительная и мнимая оси равны, т.е. a = b, то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Очевидно, что эксцентриситет равнобочной гиперболы ε = 2. Определение 3.23. Пара прямых, заданных уравнениями

57

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

x = ± εa ,

называется директрисами гиперболы с каноническим уравнением (3.11).

Директрисы гиперболы перпендикулярны её действительной оси и расположенны симметрично относительно центра гиперболы на

расстоянии εa от него.

Теорема 3.6. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей

этому фокусу директрисы, то отношение dr – величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы ε.

Пример. Составим уравнение гиперболы, если её эксцентриситет ε = 2, а

3.1.2.5. Парабола

Определение 3.24. Параболой называется множество точек М плоскости,

каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки F, называемой фокусом, и от данной прямой d, называемой директрисой

и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы, расположенной в прямоугольной декартовой системе координат в соответствии с рис. 18, имеет вид:

параметром параболы. Фокус параболы с каноническим уравнением (3.12)

имеет координаты

F( p / 2, 0),

ауравнение директрисы этой параболы имеет уравнение

x= 2p .

58

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид

системе координат и определим её тип и основные характеристики.

Воспользуемся связью прямоугольной декартовой и полярной систем координат, рассмотренной нами в пункте 2.2.2:

Тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса

прямоугольные декартовы координаты x, y, z любой точки поверхности,

называется уравнением этой поверхности в прямоугольной декартовой системе координат.

Если первоначально дана некоторая поверхность в пространстве, то, формулируя аналитически свойство, определяющее эту поверхность, можно получить уравнение этой поверхности. При этом следует учитывать, что каждое уравнение можно переписать в различных эквивалентных формах. Это даёт возможность взамен поверхностей

рассматривать их уравнения и тем самым сводить геометрические задачи к алгебраическим. Например, для того чтобы проверить, проходит

60

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com