Линейная алгебра и аналитическая геомерия

Рассмотрим неравенство z -1+ 2i £ 4. Положим z = x + iy, тогда

неравенство примет вид

x + iy -1+ 2i £ 4 или (x -1) + (y + 2)i £ 4.

Пользуясь определением модуля комплексного числа, запишем

неравенство в виде

и на окружности радиуса 4 с центром в точке A(1, − 2) .

Рассмотрим неравенство Re z < 3. Положим z = x + iy, тогда неравенство

принадлежат углу, а точки луча arg z = π4 ему не принадлежат.

Искомое множество получается пересечением указанных выше множеств (рис. 33а).

Пример. Построить множество точек удовлетворяющих системе нера-

венств

91

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Искомое множество изображено на рис. 33б.

4.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Из рис. 32 следуют формулы:

a =| z | cosϕ, b =| z | sinϕ,

подставляя которые в равенство (4.1), получаем то же комплексное число z, записанное в тригонометрической форме:

z =| z |(cosϕ + isinϕ).

Применяя к последнему равенству формулу Эйлера cosϕ + i sinϕ = ei ϕ ,

приходим к показательной форме комплексного числа z :

z=| z |eiϕ .

Втригонометрической и показательной формах операции умножения и деления комплексных чисел можно определить следующим образом.

Определение 4.9. Произведением двух комплексных чисел

92

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Из определения 4.9 следует формула возведения комплексного числа

в целую положительную степень

zn =| z |n (cosnϕ + i sin nϕ),

которая называется формулой Муавра.

Пример. Представим в тригонометрической и показательной формах ком-

-5π i

показательная форма – z3 = 2e 6 . Пример. Вычислим (-1+ i3)5 .

Пусть -1+ i 3 = z . Найдем модуль и аргумент этого числа:

93

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.5.Разложение многочлена на множители. Основная теорема алгебры

Рассмотрим целую рациональную функцию от z = x + iy, т.е. многочлен

степени n с, вообще говоря, комплексными коэффициентами an , an−1, ...,a0 ,

a0 ¹ 0.

Определение 4.13. Уравнение вида

P(z) = 0

называется алгебраическим уравнением степени n.

В элементарной алгебре доказывается следующая теорема, имеющая название теоремы Безу.

Теорема 4.3. Остаток от деления многочлена (4.3) на линейный двучлен z − c, где c ÎC, равен P(c).

Из теоремы Безу непосредственно вытекает справедливость следующего утверждения.

Следствие 4.1. Если z = c − корень многочлена (4.3), то этот многочлен делится на линейный двучлен z − c без остатка.

Следующая теорема носит название основной теоремы алгебры. Теорема 4.4. Любая целая рациональная функция P(z) вида (4.3), где n ³ 1,

имеет, по крайней мере, один комплексный корень (действительный или мнимый).

Если обозначить через z1 какой-либо из корней P(z), то, по следствию

4.1, P(z) нацело делится на двучлен z - z1 , т.е. P(z) = (z - z1 )P1 (z), где P1(z) - уже многочлен (n -1) - ой степени. Если к нему опять применить те же

рассуждения, то мы получим P1(z) = (z - z2 )P2 (z), т.е. P(z) = (z - z1 )(z - z2 )P2 (z), где P2 (z) - многочлен (n - 2) - ой степени. Эти рассуждения можно продолжать,

пока мы не дойдём до многочлена нулевой степени, т.е. постоянной.

Отсюда следует

Теорема 4.5. Любой многочлен n − ой степени P(z) представим в виде произведения n линейных множителей вида z − a и множитель a0 , равный коэффициенту при zn :

P(z) = ao (z - z1 )(z - z2 )K(z - zn ).

Из теоремы 4.5 следует, что все числа z1, z2 ,K, zn являются корнями многочлена P(z) и никаких других корней этот многочлен не имеет, т.е.

верна

Теорема 4.6. Алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней.

95

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Число i является двукратным корнем алгебраического уравнения P(z) = 0, поэтому комплексно-сопряжённое число i = -i также является его

двукратным корнем. Число 1+ i − простой корень алгебраического уравнения P(z) = 0, следовательно, комплексно-сопряжённое число 1+ i = 1- i является простым корнем уравнения.

Таким образом, с учётом кратности, многочлен P(z) с действительными коэффициентами имеет 7 корней и представим в виде

P(z) = a0 (z -1)(z - i)2 (z + i)2 (z -1- i)(z -1+ i).

Коэффициент a0 определим из условия P(−1) = 1:

a0 (-1-1)(-1- i)2 (-1+ i)2 (-1-1- i)(-1-1+ i) = 1, a0 (-2)((1+ i)(1- i))2 (-2 - i)(-2 + i) =1,

a0 (-2)(12 - i2 )2 ((-2)2 - i2 ) = 1, a0 (-2) × 4×5 = 1,

a0 = - 401 (-2).

Тогда

P(z) = - 401 (z -1)(z - i)2 (z + i)2 (z -1- i)(z -1+ i) =

=- 401 (z -1)(z2 - i2 )2 (z2 - z + iz - z +1- i - iz + i - i2 ) =

=- 401 (z -1)(z2 +1)2 (z2 - 2z + 2) =

=- 401 (z -1)(z4 + 2z2 +1)(z2 - 2z + 2) =

=- 401 (z5 - z4 + 2z3 - 2z2 + z -1)(z2 - 2z + 2) =

= − 401 z7 + 403 z6 − 203 z5 + 15 z4 − 409 z3 + 18 z2 − 101 z + 201 .

Пример. Если в условиях предыдущего примера убрать требование на принадлежность коэффициентов многочлена P(z) множеству действительных чисел, то, очевидно, P(z) будет многочленом четвёртой степени, причём

P(z) = a0 (z -1)(z - i)2 (z -1- i).

Тогда

a0 (-1-1)(-1- i)2 (-1-1- i) = 1, a0 (-2)(1+ 2i + (-i)2 )(-2 - i) = 1, a0 (-2) × 2i ×(-2 - i) = 1,

a0 (-4) ×(-2i - i2 ) = 1, a0 (-4) ×(-2i +1) = 1,

97

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com