Линейная алгебра и аналитическая геомерия

В этом случае те неизвестные, которые стоят на «ступеньках», называются главными неизвестными ( x1, x2 ,K, xm ), а другие

неизвестные называются свободными ( xm+1, xm+2 ,K, xn ); система

уравнений будет неопределённой. Тогда обратный ход метода Гаусса состоит в том, что начиная с последнего уравнения системы, главные

неизвестные выражаются через свободные и составляется общее решение системы уравнений. Для того чтобы получить какое–либо частное решение системы, свободным неизвестным придают конкретные числовые значения, вычисляя тем самым главные неизвестные.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Прямой ход. Приведём расширенную матрицу системы

с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицы Ab , получим матрицу

Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на (−2), а её третью строку – с первой строкой, умноженной на (−7). Получим

К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (−3), в результате чего получим ступенчатую матрицу

21

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

В этой матрице удалим нулевые строки и получим ступенчатую матрицу

Тем самым, данная система приведена к ступенчатому виду:

Неизвестные x1 и x2 , стоящие на «ступеньках», являются главными, а неизвестные x3 и x4 − свободными.

Обратный ход. Выразим из второго уравнения системы главную неизвестную x2 через свободные неизвестные x3 и x4 :

x2 = −6x3 + 5x4 .

Используя полученное равенство, из первого уравнения ступенчатой системы получим следующее выражение главной неизвестной x1 :

x1 = 8x3 − 7x4.

Общее решение данной системы уравнений запишем в виде:

(8x3 − 7x4 , − 6x3 + 5x4 , x3 , x4 ),

где x3 и x4 − любые действительные числа. Положив, к примеру, x3 = −1

и x4 = 5, получим частное решение системы:

(− 43, 31, −1, 5).

1.6.2. Матричный метод

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

23

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Будем предполагать, что основная матрица A невырожденная. Тогда, по

теореме 1.6, существует обратная матрица A−1. Помножив матричное

уравнение

A× X = B

на матрицу A−1 слева, воспользовавшись определением 1.22, а также утверждением 8) теоремы 1.1, получим формулу, на которой основан матричный метод решения систем линейных уравнений:

X = A−1 × B.

Замечание. Отметим, что матричный метод решения систем линейных уравнений в отличие от метода Гаусса имеет ограниченное применение:

этим методом могут быть решены только такие системы линейных уравнений, у которых, во–первых, число неизвестных равно числу уравнений, а во–вторых, основная матрица невырожденная.

Пример. Решить систему линейных уравнений матричным методом.

ì5x1 - x2 - x3 = 0, ïí x1 + 2x2 + 3x3 =14,

ïî4x1+ 3x2 + 2x3 =16.

Задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

A × X = B, где

Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку её определитель отличен от нуля:

24

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

По формуле матричного метода решения систем линейных уравнений получим

1.6.3. Метод Крамера

Данный метод так же, как и матричный, применим только для систем линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений. Метод Крамера основан на одноимённой теореме:

Теорема 1.11. Система n линейных уравнений с n неизвестными

ìa11x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1, ïïía21x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 ,

ï...............................................

ïîan1x1 + an2 x2 +... + ann xn = bn ,

основная матрица которой невырожденная, имеет единственное решение,

которое может быть получено по формулам

системы уравнений заменой её i −го столбца столбцом свободных членов. Пример. Найдём решение системы линейных уравнений, рассмотренной в предыдущем примере, методом Крамера. Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку det A = -30 ¹ 0.

По формулам, представленным в теореме 1.11, вычислим значения неизвестных:

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

25

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1.7. Исследование систем линейных уравнений

Исследовать систему линейных уравнений – означает определить, какой является эта система – совместной или несовместной, и в случае её совместности выяснить, определённая эта система или неопределённая.

Условие совместности системы линейных уравнений даёт следующая теорема

Теорема 1.12 (Кронекера – Капелли).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы:

rang A = rang Ab.

Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следую- щих теорем.

Теорема 1.13. Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой

Теорема 1.14. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.

Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n –

количество неизвестных, rang A =r, rang Ab = ~r . Тогда:

1)при r ¹ ~r система несовместна;

2)при r = r~ система совместна, причём, если r = r~ = n , система

определённая; если же r = ~r < n , система неопределённая.

Определение 1.34. Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

уравнений, для чего приведём расширенную (а вместе с тем и основную) матрицу системы к ступенчатому виду:

26

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Вторую строку матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на 3, третью строку – с первой строкой, умноженной на (−2), а четвёртую стро- ку – с первой, умноженной на 5; получим матрицу

К третьей строке этой матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (−1), а к четвёртой строке – первую, умноженную на (−2). В результате

удаляя из которой третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу

Таким образом, rang A = 2, rang Ab = 2. Следовательно, данная система

линейных уравнений совместна, а поскольку величина ранга меньше числа неизвестных, система является неопределённой. Полученной в

результате элементарных преобразований ступенчатой матрице соответствует система уравнений

свободными. Придавая свободным неизвестным нулевые значения, получим базисное решение данной системы линейных уравнений:

x1 = −6, x2 = −7, x3 = 0, x4 = 0.

27

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Вопросы для самоконтроля к разделу «Элементы линейной алгебры»

1.Что называется матрицей? Перечислите специальные виды матриц.

2.Какие операции можно выполнять с матрицами? Сформулируйте определение и перечислите основные свойства операций с матрицами.

3.Назовите элементарные преобразования матриц. Какие матрицы называются эквивалентными?

4.Что называется подстановкой множества n первых натуральных чисел? Какими свойствами обладают подстановки? Что такое инверсия?

5.Сформулируйте определение и перечислите основные свойства определителя квадратной матрицы. Какие методы применяются для вычисления определителя квадратных матриц второго, третьего и т.д. порядков?

6.Что называется минорами и алгебраическими дополнениями элементов матрицы?

7.Какая матрица называется невырожденной? Какая матрица называется обратной? Сформулируйте условие обратимости, а также основные методы и свойства обращения матриц.

8.Сформулируйте определение ранга матрицы и назовите основные способы его вычисления. Чему равен ранг ступенчатой матрицы?

9.Что называется системой m линейных уравнений с n неизвестными? Что называется её решением? Какая система уравнений называется совместной (несовместной), определённой (неопределённой)?

10.Назовите основные методы решения систем линейных уравнений. В чём их суть?

11.В чём состоит исследование системы линейных уравнений?

Сформулируйте критерии её совместности и определённости (неопределённости).

12. Что называется базисным решением системы линейных уравнений? Какие неизвестные системы называются главными, а какие – свободными?

Задачи для самостоятельного решения к разделу «Элементы линейной алгебры»

Записать матрицы

28

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1)A + B;

2)A − B;

3)2A + 3B;

4)AT ;

5)2E + BT .

2.Даны подстановки седьмого порядка

4. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы

с помощью присоединённой матрицы и с помощью элементарных преобразований.

29

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

двумя способами: с помощью элементарных преобразований и методом окаймления миноров.

9. Решить систему линейных уравнений

ì2x1 + x2 + 3x3 = 7, ïí2x1 + 3x2 + x3 = 1, ïî3x1 + 2x2 + x3 = 6

методом Гаусса, матричным методом и методом Крамера. 10. Дана однородная система линейных уравнений

Выяснить, имеет ли эта система уравнений нетривиальное решение. В

Исследовать системы линейных уравнений и классифицировать их. В

случае неопределённости системы уравнений найти их базисные решения.

2. Элементы векторной алгебры

2.1. Основные понятия и утверждения

Определение 2.1. Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек (рисунок 2). Точка A – начало вектора a , точка

B – конец вектора a . Обозначается вектор символами a или AB : a

A B

Рисунок 2. Вектор AB

Определение 2.2. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором или нуль-вектором. Обозначается нулевой

вектор символом 0.

30

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com