Линейная алгебра и аналитическая геомерия

3. Векторное произведение векторов ассоциативно относительно умножения вектора на число:

(m × a) ´ b = m × (a ´ b ).

4. Векторное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения векторов:

a ×(b + с ) = a × b + a × с.

5. Векторное произведение векторов равно определителю матрицы

третьего порядка вида

где a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1, b2 , b3 ).

6. Длина векторного произведения векторов численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах

Из утверждения 6 теоремы 2.6 следует формула для вычисления площади треугольника АВС:

S ABC = 12 AB ´ AC .

Заметим, что последнюю формулу можно применять к любым векторам, образующим стороны треугольника, с началом в общей вершине.

Векторы a и b имеют координаты: a = (2, 5, 1), b = (1, 2, -3). Применяя утверждение 5 теоремы 2.6, получим:

i j k

a ´ b = 2 5 1 = -17i + 7 j - k. 1 2 - 3

Пример. Вычислить площадь треугольника АВС с вершинами А(2, 2, 2),

В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).

AB ´ AC = 25 + 4 + 36 = 65.

S ABC = 265 (кв. ед).

41

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Теорема 2.7. Справедливы следующие утверждения:

1.Смешанное произведение векторов равно в том и только в том случае, если:

1)хотя бы один из векторов нулевой;

2)какие-либо два векторов коллинеарны;

3)векторы компланарны.

2.Смешанное произведение векторов ассоциативно:

(a ´b ) ×c = a ×(b ´c).

3. Смешанное произведение векторов не меняется при циклической перестановке его сомножителей, а при перестановке двух соседних

сомножителей смешанное произведение векторов меняет свой знак на противоположный:

(a,b,c) = (b,c,a) = (c, a,b ) = -(b ,a,c) = -(c,b, a) = -(a,c,b ).

4. Смешанное произведение векторов обладает свойством линейности:

(λa1 + μa2 ,b,c) = λ(a1,b ,c) + μ(a2 ,b ,c)

5. Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы,

строки которой составлены из координат его соответствующих сомножителей:

a1 a2 a3

(a,b ,c) = b1 b2 b3 , c1 c2 c3

42

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

a

b

c

Рисунок 11. Параллелепипед, построенный на векторах a , b и c как на рёбрах

Из утверждения 6 теоремы 2.7 и стереометрических соотношений между телами следует, что объём треугольной пирамиды (тетраэдра), DABC, численно равен

Заметим, что последнюю формулу можно применять к любым векторам, образующим рёбра пирамиды, с началом в общей вершине.

Пример. Доказать, что точки А(5, 7, 2), B(3, 1, -1), C(9, 4, -4), D(1; 5, 0)

принадлежат одной плоскости.

Воспользуемся утверждениями 1(3) и 5 теоремы 2.7. Для этого составим векторы:

AB = (-2,-6, 1), AC = (4,-3,-2), AD = (-4,-2, 2).

Найдём смешанное произведение полученных векторов:

следовательно, составленные выше векторы компланарны, поэтому точки A, B, C, D принадлежат одной плоскости.

Пример. Найти объём пирамиды, если её вершины заданы координатами

A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C(6, 2, 3), D(3, 7, 2).

43

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Воспользуемся формулой VDABC = 16 (BA, BC, BD). Для этого составим

векторы:

BA = (-2, - 3, - 4), BD = (1, 4, - 3), BC = (4, -1, - 2).

Тогда объём пирамиды

Вопросы для самоконтроля к разделу «Элементы векторной алгебры»

1.Что такое вектор и его длина? Какой вектор называется нулевым?

2.Какие векторы называются коллинеарными, а какие – компланарными?

3.Какие операции с векторами называются линейными? Сформулируйте их основные свойства.

4.Что называется базисом система векторов? Как определяются координаты вектора в некотором базисе?

5.Какие векторы называются линейно независимыми, а какие – линейно зависимыми? Сформулируйте свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

6.Что называется системой координат? Как определяется декартова система координат на плоскости и в пространстве?

7.Сформулируйте определения ортонормированного базиса системы векторов и прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве?

8.Как определяются полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат? Запишите формулы связи соответствующих координат точки с её прямоугольными декартовыми координатами.

9.Как определяется вектор и его длина в координатной форме?

Сформулируйте правила вычисления координат суммы векторов и произведения вектора на число.

10.Запишите формулы деления отрезка в данном отношении. Как вычисляются координаты середины отрезка?

11.Перечислите типы произведений векторов, сформулируйте их определения и основные свойства.

Задачи для самостоятельного решения к разделу «Элементы векторной алгебры»

1. Векторы a = (3, 2, 2), b = (2, 1, −1), c = (−1, 0, 3), d = (1, 2, 3) заданы в некотором базисе. Выясните, образуют ли сами векторы a, b и с

44

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

a = 2i − 3 j + 2k и b = 2i − 2 j + 3k.

8.Вычислите площадь треугольника АВС с вершинами А(1, 2, 3), В(0, 1, 0),

С(3, 3, -5).

9. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах

c= (4, 1, 0).

11.Выясните, принадлежат ли точки А(2, 4, 1), B(3, -1, 1), C(0, 1, -3) и D(-1, -6, 2) одной плоскости.

12.Вычислите объём пирамиды, если её вершины заданы координатами

A(0, 1, 2), B(2, 0, 1), C(1, 4, 1), D(1, 2, 6).

3. Элементы аналитической геометрии

3.1. Линии на плоскости

Определение 3.1. Уравнением линии на плоскости называется соотношение y = f (x) между прямоугольными декартовыми координатами

точек, составляющих эту линию.

Если первоначально дана некоторая линия на плоскости, то, формулируя аналитически свойство, определяющее эту линию, можно получить уравнение этой линии. При этом следует учитывать, что каждое уравнение можно переписать в различных равносильных формах. Это

даёт возможность взамен линий рассматривать их уравнения и тем самым сводить геометрические задачи к алгебраическим. Например, для того чтобы проверить, проходит линия с уравнением y = f (x) через некоторую

45

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

точку M (xM , yM ), достаточно подставить координаты этой точки в уравнение линии и проверить удовлетворится ли оно, т.е. будет ли yM = f (xM ).

3.1.1. Прямая на плоскости

Определение 3.2. Прямой l на плоскости называется линия, заданная

уравнением первого порядка вида

l : Ax + By + C = 0 читается так: «прямая l имеет уравнение Ax + By + C = 0) .

В зависимости от значений постоянных A, B, C возможны следующие

частные случаи расположения прямой относительно прямоугольной декартовой системы координат:

1)C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая l проходит через начало координат;

2)А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 – прямая l параллельна оси Ох;

3)В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 – прямая l параллельна оси Оу;

4)В = С = 0, А ¹ 0 – прямая l совпадает с осью Оу;

5)А = С = 0, В ¹ 0 – прямая l совпадает с осью Ох.

Уравнение прямой может быть представлено в различных видах в зависимости от каких–либо заданных начальных условий. Рассмотрим различные способы составления уравнения прямой на плоскости.

3.1.1.1. Уравнение прямой по точке и вектору нормали

раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим общее уравнение

3x − y −1 = 0.

46

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Определение 3.4. Число k = yB - yA называется угловым коэффициентом xB - xA

прямой l, проходящей через точки A(xA , yA ) и B(xB , yB ).

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и

В(3, 4).

Применяя формулу (3.3a), получаем:

y- 2 = 43--12 (x -1), y - 2 = x -1,

т.е. общее уравнение прямой имеет вид x − y + 1 = 0.

3.1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Общее уравнение прямой (3.1) приведём к виду

y = - BA x - CB

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Для составления уравнения прямой в виде (3.4) достаточно знать значение её углового коэффициента k, а также координаты какой-либо

точки этой прямой.

Тангенс угла наклона прямой l к оси абсцисс равен угловому коэффициенту (рис.12):

47

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

уравнение (3.5), выполняя необходимые арифметические операции, получим общее уравнение прямой:

x + y − 3 = 0.

3.1.1.5. Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой (3.1) свободный член С¹0, то, разделив (3.1) на –С, получим:

что a является абсциссой точки пересечения прямой с осью абсцисс, а b – ординатой точки пересечения прямой с осью ординат (рис. 14). Определение 3.7. Уравнение прямой l, записанное в виде (3.6),

называется уравнением прямой в отрезках.

y

l

b

Рисунок 14. Прямая l отсекает a единиц на оси абсцисс и b единиц на оси ординат

49

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример. Для прямой с общим уравнение x − y −1= 0 уравнение в отрезках

имеет вид:

1х + −у1 =1,

т.е. эта прямая отсекает 1 единицу на оси абсцисс и -1 единицу на оси ординат.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат, нельзя.

3.1.1.6.Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности

иперпендикулярности прямых на плоскости

Определение 3.8. Углом между двумя прямыми называется тот из двух углов, образованных этими прямыми, который меньше развёрнутого.

Пример. Две прямые заданы уравнениями y = 2x + 3 и y = −3x + 2. Вычислим угол между этими прямыми.

50

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com