Линейная алгебра и аналитическая геомерия

Знак «+» в этой формуле следует использовать, если угол ϕ − острый, а знак «-» в случае, если угол ϕ − тупой.

Формула (3.22) позволяет сформулировать условия параллельности и перпендикулярности прямой l и плоскости α . Приведём их в следующей теореме.

Теорема 3.11. Справедливы утверждения

1. Для того чтобы прямая l и плоскость α были перпендикулярны

необходимо и достаточно выполнения равенства

A × a1 + B × a2 + C × a3.

2. Для того чтобы прямая l и плоскость α были параллельны

необходимо и достаточно выполнения равенств

A = B = C . a1 a2 a3

3.2.4. Поверхности второго порядка

Определение 3.38. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению

(3.24) называется общим уравнением поверхности второго порядка. Определение 3.39. Поверхность второго порядка, заданная общим

Существует девять типов невырожденных поверхностей второго порядка, канонические уравнения которых можно получить из общего уравнения (3.24) с помощью специальных преобразований системы координат (таблица 2).

Таблица 2

71

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Некоторые поверхности второго порядка, как мы увидим ниже, могут быть получены с помощью вращения линий.

Определение 3.40. Вращением линии γ на угол ϕ = 2π около прямой l называется такое движение, при котором каждая точка линии γ описывает окружность с центром на прямой l, лежащую в плоскости,

перпендикулярной прямой l. При этом прямая l называется осью вращения, а поверхность Φ, образованная вращением линии γ

называется поверхностью вращения.

Далее рассмотрим пять классов, включающих в себя все девять невырожденных поверхностей второго порядка. К некоторым из них применим метод сечений, состоящий в определении типа линий пересечения поверхности с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz.

Определение 3.41. Главными сечениями поверхности называются линии пересечения этой поверхности с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz.

3.2.4.1. Эллипсоиды

Определение 3.42. Эллипсоидом называется поверхность второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

где a, b, c − положительные постоянные, называемые полуосями.

72

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

являются плоскостями симметрии, а начало координат – центром симметрии (центр эллипсоида).

плоскости yOz. Уравнения этих кривых второго порядка получаются, если в

будет подобно уменьшаться и при | h |= c полуоси станут равными нулю, т.е. эллипс выродится в точку. Пересечение эллипсоида с плоскостями y = h и x = h даёт аналогичный результат, и мы получаем поверхность, изображённую на рис. 22, называемую также трёхосным эллипсоидом.

z

y

x

Рисунок 22. Эллипсоид

73

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Если две из полуосей равны, например, a = b, то в сечении с

плоскостями z = h будут получаться окружности. Тогда вместо трёхосного эллипсоида получим так называемый эллипсоид вращения, т.е. поверхность, образованная вращением эллипса вокруг одной из его осей:

В зависимости от того, вокруг какой оси – большой или малой – будет производиться вращение эллипса, получится «вытянутый» или «сплюснутый» эллипсоид вращения.

Если же все три полуоси эллипсоида равны, то он превращается в сферу (рис. 23).

z

x

Рисунок 23. Сфера

Отметим тот факт, что трёхосный эллипсоид получается в результате

двух равномерных сжатий или растяжений сферы к координатным плоскостям; в результате же одного сжатия сферы получится эллипсоид вращения.

3.2.4.2. Гиперболоиды

Гиперболоиды бывают двух типов – однополостные и двуполостные.

Определение 3.43. Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

где a, b, c − положительные постоянные, называемые полуосями.

74

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Очевидно, что | x |£ a, | y |£ b, | z |³ c, т.е. однополостный гиперболоид –

бесконечная, неограниченная поверхность.

Сечение однополостного гиперболоида плоскостью z = h даёт эллипс с

увеличиваться до бесконечности. Пересечение однополостного гиперболоида с плоскостями y = h и x = h даёт гиперболы, и мы получаем поверхность, изображённую на рис. 24.

z

O

Рисунок 24. Однополостный гиперболоид

Как и эллипсоид, однополостный гиперболоид имеет три плоскости симметрии и центр симметрии.

Если a = b, то получится однополостный гиперболоид вращения – поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг её мнимой оси:

Определение 3.44. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

где a, b, c − положительные постоянные, называемые полуосями.

75

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Сечение двуполостного гиперболоида плоскостью z = h даёт эллипс с

| h |= c получаются нулевые полуоси, а при дальнейшем увеличении | h | −

эллипс, подобно увеличивающийся до бесконечности. Пересечение двуполостного гиперболоида с плоскостями y = h и x = h даёт гиперболы, и

мы получаем поверхность, изображённую на рис. 25, и состоящую из двух бесконечных частей, одна из которых ограничена снизу, а другая – сверху.

z

O

y

x

Рисунок 25. Двуполостный гиперболоид

Если a = b, то получится двуполостный гиперболоид вращения –

поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг её действительной оси:

3.2.4.3. Цилиндрические поверхности

Определение 3.45. Связкой параллельных прямых называется множество G(l) прямых пространства, параллельных одной и той же прямой l,

называемой осью связки.

Определение 3.46. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) Φ называется множество точек пространства, принадлежащих тем прямым связки параллельных прямых G(l), которые пересекают некоторую кривую

76

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

образующими поверхности Φ.

Любое уравнение F(x, y) = 0 второго порядка является в пространстве

уравнением некоторой цилиндрической поверхности с направляющей кривой второго порядка γ , лежащей в плоскости xOy, и имеющей то же

уравнение F(x, y) = 0, и образующими, параллельными оси аппликат.

Ниже рассмотрим некоторые частные случаи цилиндрических

определяет в пространстве эллиптический цилиндр – цилиндрическую поверхность, направляющая которой – эллипс γ в плоскости xOy (рис. 26).

z

y

O

x

Рисунок 26. Эллиптический цилиндр

Уравнение

определяет в пространстве гиперболический цилиндр – цилиндрическую поверхность с направляющей гиперболой γ в плоскости xOy (рис. 27).

77

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

где a, b − положительные постоянные.

В пересечении с плоскостью z = h получится

не будет, при h = 0 получится точка O, а при увеличении h > 0 получится

эллипс, подобно увеличивающийся до бесконечности. Пересечение эллиптического параболоида с плоскостями y = h и x = h даёт параболы, и мы получаем поверхность, изображённую на рис. 29.

z

x

Рисунок 29. Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии ( xOz и yOz ). Если a = b, то получается эллиптический параболоид вращения – поверхность, образованная вращением параболы вокруг её оси:

z = a(x2 + y2 ).

Определение 3.48. Гиперболическим параболоидом называется поверхность второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид z = −ax2 + by2 ,

где a, b − положительные постоянные.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью yOz даёт параболу z = by2 , обращённую ветвями вверх, тогда как его пересечение с плоскостями y = h даёт параболы z = −ax2 + bh2 , обращённые ветвями вниз.

(рис. 30).

79

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

z

O

x

y

Рисунок 30. Гиперболический параболоид

3.2.4.5. Конусы второго порядка

Определение 3.49. Конусом второго порядка (конической поверхностью второго порядка) называется поверхность второго порядка, каноническое

уравнение которой имеет вид

главные сечения конуса второго порядка: точку O в плоскости xOy,

параллельной плоскости xOy. Для этого положим в уравнении (3.26) z = h, в

результате чего получится

80

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com