8.6. Двумерные преобразования на экране монитора

В математике обычно рассматривают следующие системы координат на плоскости:

1. Декартова система координат(ДСК), включающая абсциссу (координатаx) и ординату (координатаy).

30. Полярная система координат(ПСК), включающая расстояние от полюса (координата) и угол наклона луча от точки до полюса (координата).

В компьютерной геометрии и графике обычно рассматривают ещё несколько систем координат:

31. Мировая система координат(МСК) или глобальная система координат (ГСК), которая обычно совпадает с ДСК, а также включает координатуx, увеличивающуюся вправо, и координатуy, увеличивающуюся вверх. Считается, что объекты в МСК находятся в обобщённом глобальном пространстве.

32. Экранная система координат(ЭСК), к которой относятся координаты на экране монитора. Обычно в ЭСК начало координат находится в левом верхнем углу экрана, осьxнаправлена вправо, а осьy– вниз.

33. Объектная система координат(ОСК) или локальная система координат объекта (ЛСК), которая связана с локальным положением какого-то геометрического объекта на экране. Обычно в ЛСК начало координат находится в центре объекта или в его угловой точке, а осиxиyнаправлены также, как в МСК или ЭСК.

34. Однородная система координат, в которой к координатамXиYдобавляется фиктивная координатаW, не имеющая физического смысла, но позволяющая более удобно математически вычислять геометрические координаты объектов на компьютере.

Преобразование координат точек из МСК в ЭСК записывается с помощью отражения системы координат относительно прямой (осиx):

что описывается матрицей:

,

где x_м,y_м– координаты точки в МСК; x_э,y_э– координаты точки в ЭСК.

Обратное преобразование имеет вид:

и описывается такой же матрицей.

Преобразование координат точек из ЭСК в ЛСК объекта (у которой начало координат в точке и масштабные коэффициенты –k_xпо осиxиk_yпо осиy) производится с помощью масштабирования вk_xраз по осиxи вk_yраз по осиy, а затем с помощью переноса наx₀по осиxи наy₀по осиy, и описывается матрицей

,

что записывается в аналитическом виде так:

Обратное преобразование описывается матрицей:

,

или в аналитическом виде:

Если задать начало координат на экране в точке , а масштаб расстоянийk_xпо осиxиk_yпо осиy, то чтобы вычислить координаты точки на экране монитора, надо перевести из МСК в ЭСК, а затем из ЭСК в ЛСК:

,

что соответствует перемножению матриц:

или в аналитическом виде:

Обратное преобразование из ЛСК в МСК описывается матрицей:

,

или в аналитическом виде:

8.7. Матричное представление трёхмерных преобразований

Аналогично тому, как двумерные преобразования в однородных координатах описываются матрицами размером 33, трёхмерные преобразования могут быть представлены в виде матриц размером 44. И тогда трёхмерная точказаписывается в однородных координатах как. Если же, то точка представляется в виде.

Линейное геометрическое преобразование точек в пространстве:

называется аффинным, если в результате полученные точки не лежат в одной плоскости. Для этого нужно, чтобы уравнения

были линейно независимы, а определитель матрицы Mбыл бы не равен нулю:

.

Основные элементарные геометрические преобразования в пространстве представляются так.

1. Перенос.

Трёхмерный перенос является простым расширением двумерного и имеет вид:

или,

где – матрица переноса в однородных координатах в пространстве.

35. Масштабирование.

Масштабирование расширяется от двумерного до трёхмерного следующим образом:

или,

где – матрица масштабирования в однородных координатах в пространстве.

36. Поворот.

Двумерный поворот, рассмотренный ранее, является в то же время трёхмерным поворотом вокруг оси z:

или,

где – матрица поворота вокруг осиzв однородных координатах в пространстве.

Трёхмерный поворот вокруг оси xимеет вид:

или,

где – матрица поворота вокруг осиxв однородных координатах в пространстве.

Трёхмерный поворот вокруг оси yимеет вид:

или,

где – матрица поворота вокруг осиyв однородных координатах в пространстве.