8.5. Преобразования систем координат

Рассмотренные преобразования множества точек, принадлежащих объекту, в некоторое другое множество точек производились в одной и той же системе координат. Таким образом, система координат оставалась неизменной, а сам объект преобразовывался относительно начала координат до получения желаемого результата. Другим способом описания преобразования является смена системы координат. Такой подход оказывается полезным, когда желательно собрать вместе много объектов, каждый из которых описан в своей собственной локальной системе координат, и выразить их в одной глобальной системе координат, которая называется мировой системой координат.

Рассмотрим 3 основных элементарных преобразования системы координат.

1. Перенос.

Если центр системы координат точка переносится наdxпо осиxи наdyпо осиy, то координаты произвольной точкиPв новой системе координат вычисляются по формулам:

_,

что описывается матрицей

.

Пример.Дан отрезок с начальной точкой и конечной точкой. Найти координаты точек отрезка в новой системе координат, если начало новой системы координат переносится относительно исходной на 3 единицы вправо и 2 единицы вниз.

По условию задачи ,. Найдём итоговые координаты для 1-й точки:

; .

Далее найдём итоговые координаты для 2-й точки:

; .

Таким образом, координаты отрезка после переноса системы координат будут и. Получим также данный результат в матричном виде:

.

28. Масштабирование.

Если масштаб расстояний увеличивается в k_xраз по осиxи вk_yраз по осиy, то координаты точкиPв новой системе координат находятся по формулам:

_,

что описывается матрицей

.

Пример.Дан отрезок с начальной точкой и конечной точкой. Найти координаты точек отрезка в новой системе координат, если масштаб расстояний увеличивается в 3 раза по осиx и уменьшается в 2 раза по оси y относительно исходной системы координат.

По условию задачи ,. Итоговые координаты для 1-й точки останутся прежними. Найдём итоговые координаты для 2-й точки:

; .

Таким образом, координаты отрезка после масштабирования системы координат будут и. Получим также данный результат в матричном виде:

.

29. Поворот.

Если оси координат поворачиваются на угол , то в новой системе координат точкаPимеет следующие компоненты:

_,

что описывается матрицей

.

Пример.Дан отрезок с начальной точкой и конечной точкой. Найти координаты точек отрезка в новой системе координат, если оси новой системы координат поворачиваются на 90^ относительно исходной системы координат.

По условию задачи ,,. Итоговые координаты для 1-й точки останутся прежними. Найдём итоговые координаты для 2-й точки:

; .

Таким образом, координаты отрезка после поворота системы координат будут и. Получим также данный результат в матричном виде:

.

Отсюда можно сделать вывод, что координаты точек из исходной в новую систему координат преобразуются следующим образом:

1) при переносе центра системы координат в новую точку происходит вычитание соответствующих смещений центра координат;

2) при увеличении расстояний по осям координат происходит деление на соответствующие масштабные коэффициенты;

3) при повороте осей координат на угол происходит поворот точек на обратный угол.