Тема 3. Стохастическое моделирование

Основные понятия

Вопросы моделирования случайных величин занимают существенное место в теории математического моделирования в целом. Практически все реальные процессы имеют случайную (или квазислучайную) составляющую. Это всевозможные шумы, флюктуации и т. п. Кроме того, существует ряд математических методов, использующих случайные величины для вычислений, не имеющих непосредственного отношения к теории вероятности (например, вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло).

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение (но только одно), причем заранее, до опыта, неизвестно какое именно.

Дискретной случайной величиной называется такая величина число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.

Функцией распределения случайной величины Х называется задание вероятности неравенства Х < х, рассматриваемой как функция аргумента х:

F(x) = P(X < x)

Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от х до х + dx к длине этого участка dx, когда х стремится к нулю, называется плотностью распределения случайной величины в точке х и обозначается f(x)

f(x) = F '(x)

Кривая, изображающая плотность распределения f(x) случайной величины, называется кривой распределения.

Параметры случайной величины

Основное назначение числовых характеристик случайной величины состоит в том, чтобы в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности того или иного распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежит отрезку [a, b], называют определенный интеграл

Если возможные значения непрерывной случайной величины Х, принадлежат всей оси Ох, то математическое ожидание определяется интегралом

Основными характеристиками рассеивания случайной величины является дисперсия и среднеквадратическое отклонение . При определении указанных характеристик используется разность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием Мх, т.е. x - Мх. Эта разность называется центрированной случайной величиной , соответствующей величине x

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от её математического ожидания, то есть:

Dx = M[(x - Mx)²]

для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой

А для непрерывной - интегралом

Для большего удобства желательно иметь параметр, по размерности совпадающую c размерностью случайной величины. Таким параметром является среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое представляет собой положительный квадратный корень из ее дисперсии