Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [а,b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его - равна нулю.

Плотность распределения f(x) имеет вид:

0 при x < a

при a < x <b

0 при x > b

Математическое ожидание

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение:

График плотности f(x) для равномерного распределения изображен на рисунке.

Нормальное распределение

Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон (закон Гаусса). Большинство случайных величин в реальной жизни распределены по этому закону. Плотность распределения f(x) имеет вид:

где Мх и S - параметры нормального распределения, которые являются математическим ожиданием и средне-квадратическим отклонением соответственно. ся другие законы распределения.

График плотности вероятности нормального распределения называется нормальной кривой (кривая Гаусса).

Отметим некоторые свойства нормальной кривой:

- Кривая распределения симметрична относительно ординаты, проходящей через точку Мх.

- Кривая имеет один максимум при Х=Мх, равный

- При ветви кривой асимптотически приближаются к оси Оx.

- Изменение математического ожидания Мх при S = const приводит к смещению кривой распределения вдоль оси Ox. При этом кривая распределения сохраняет свой вид.

При изменении средне-квадратического отклонения S и Мх = const кривая распределения изменяет свой вид.

Моделирование случайных чисел

Под моделированием случайной величины x принято понимать процесс получения на ЭВМ её выборочных значений x1,...xn. Проблема получения на ЭВМ равномерно распределённых случайных величин может быть решена различными способами:

- ввод таблиц равномерно распределённых случайных чисел в память ЭВМ.

- использование специального приспособления к ЭВМ - "датчика" случайных чисел, формирующего случайные величины путём физического моделирования некоторых случайных процессов (излучения радиоактивных источников, шумов электронных ламп и др.).

- использование псевдослучайных (квазислучайных) последовательностей, реализуемых программным генератором случайных чисел. Псевдослучайные равномерно распределенные случайные числа получаются в ЭВМ программным способом с помощью некоторого рекуррентного соотношения. При этом каждое последующее число x1+1 образуется из предыдущего путём применения некоторого алгоритма, состоящего из арифметических и логических операций. Такая последовательность чисел удовлетворяет известным критериям случайности, хотя входящие в эту последовательность числа зависимы между собой. Одним из недостатков этого метода является периодичность образованных программным способом псевдослучайных чисел, но для ряда задач, не требующих большого количества случайных чисел, длина периода является достаточной.

Метод Монте-Карло

Для моделирования объектов, содержащих случайные параметры, используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа p с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:

.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

C точки зрения математического моделирования полезность этого метода состоит в возможности на основе аналитического описания объекта моделировать поведение выходной характеристики с учетом случайного изменения входных и внутренних параметров. Классическим примером является исследование выходного сигнала аналоговой электронной схемы при изменении параметров элементов этой схемы (а также, возможно, параметров входных сигналов) в пределах допустимых интервалов. Задачей моделирования в данном случае является решение вопроса: может ли схема войти в нежелательный (аварийный) режим при неблагоприятном сочетании этих параметров. При этом заранее неизвестно: каким именно будет это сочетание и, ввиду сложности схемы, установить это аналитическими методами не представляется возможным. Для этого с помощью генератора случайных чисел задаются значения внутренних параметров для первого испытания, и вычисляется значение выходного параметра. Затем задаются значения параметров для второго испытания, и вычисляется соответствующее значение выходного параметры, и т.д. В результате получается совокупность случайных значений выходного параметра. С помощью статистического анализа оценивается закон распределения этой совокупности и его параметры. Такая задача называется прямой. Применительно к вышеописанной проблеме более важной является обратная задача: определение требований к значениям внутренних параметров по заданным требованиям к значениям выходного параметра. Практически обратная задача решается многократным повторением прямой задачи. При этом значения параметров распределений внутренних параметров изменяются до тех пор, пока параметры выходного распределения не будут удовлетворять заданным требованиям.