1. Познание окружающего мира.

Так родилась, к примеру, модель земного шара — глобус, — позволяющая получить наглядное представление о форме нашей планеты, ее вращении вокруг собственной оси и расположении материков. Такие модели позволяют понять, как устроен конкретный объект, узнать его основные свойства, установить законы его развития и взаимодействия с окружающим миром моделей.

2. Создание объектов с заданными свойствами (задача типа «Как сделать, чтобы...»).

Так родились идеи создания ветряных мельниц, различных механизмов, даже обыкновенного зонтика. Многие из этих моделей стали в настоящее время реальностью. Это объекты, созданные руками человека.

3. Определение последствий воздействия на объект и принятие правильного решения (задача типа «Что будет, если...»)

Например, для спасения Петербурга от постоянных наводнений, приносящих огромный ущерб, решено было возвести дамбу (строительство было завершено в 2011 году). При ее проектировании было построено множество моделей, в том числе и натурных, именно для того, чтобы предсказать последствия вмешательства в природу.

4. Эффективность управления объектом (или процессом).

Например, для организации оптимального управления движением транспорта в мегаполисах создают сложные математические модели транспортных потоков. Вообще, разработка любой системы автоматического управления требует предварительного создания математической модели объекта управления. Именно этот вид моделирования человек постоянно использует в своей повседневной жизни, хотя часто и не осознает этого. Используя вычислительные ресурсы своего «бортового компьютера» - мозга, человек (или другое существо, обладающее развитой нервной системой) на основании предыдущего опыта строит модели объектов внешнего мира и действует, исходя из своих ожиданий - как эти объекты будут вести себя при тех или иных обстоятельствах.

Классификация моделей

Различают физические и математические модели.

Физическая модель – это материальный объект (или система взаимосвязанных объектов), который в некотором строго определенном смысле (форма, количество компонентов и их взаимодействие и т. п.) подобен изучаемому объекту, но более удобен для проведения исследований (меньше, проще, дешевле и т. п.).

Примеры физических моделей:

1. Самолет в аэродинамической трубе. Помещая самолет в аэродинамическую трубу и испытывая его в различных воздушных потоках, мы решаем задачу взаимодействия системы с внешней средой. Это еще одна очень важная цель моделирования. При этом в корпусе самолета не обязательно должны находиться кресла, и тем более, стюардессы. Какие из свойств объекта необходимо учесть, а какие можно опустить, степень подробности воспроизведения моделью объекта, определяется теми вопросами, на которые хотят ответить с помощью модели.

2. Аквариум является примером физического моделирования. В аквариуме можно моделировать водную экосистему - речную, озерную, морскую, заселить ее некоторыми видами фито- и зоопланктона, рыбами, поддерживать определенный состав воды, температуру, даже течения. И строго контролировать условия эксперимента. Какие компоненты естественной системы будут воспроизведены, и с какой точностью, зависит от цели моделирования.

3. Популяция дрозофилы, является классическим объектом моделирования микроэволюционного процесса и примером исключительно удачно найденной модели. Еще более удобной моделью являются вирусы, которые можно размножать в пробирке. Хотя не вполне ясно, справедливы ли эволюционные закономерности, установленные на вирусах, для законов эволюции высших животных. В лекции 11 мы увидим, что хорошей моделью микроэволюционных процессов являются также микробные популяции в проточном культиваторе.

Из приведенных примеров видно, что любая физическая модель обладает конкретными свойствами физического объекта. В этом ее преимущества, но в этом и ее ограничения.

Математические модели, в отличие от физических, не связаны с воспроизведением материальных свойств объекта, а представляют собой набор математических выражений (формул, уравнений, набора данных), с той или иной степенью точности описывающих поведение объекта моделирования. Как и физические, математические модели всегда основаны на некотором упрощении, идеализации, отбрасывании факторов, которые в данный момент или на данном этапе исследований представляются несущественными. Например, уравнения ньютоновой механики не учитывают релятивистских эффектов, уравнение колебательного контура не учитывает нелинейности элементов контура, школьное уравнение, описывающее свободное падение тела в гравитационном поле Земли, не учитывает зависимости силы притяжения от высоты и т. д. В связи с запросами практики и развитием самой математики математические модели усложняются, становятся более универсальными, более совершенными.

С технологической точки зрения, математическая модель представляет собой компьютерную программу, реализующую тот или иной алгоритм и взаимодействующую с исследователем посредством пользовательского интерфейса. Посредством интерфейса пользователь посылает ей исходные (входные) данные (например, с помощью окон ввода, кнопок, движков, командной строки и т. д.), с другой — смотрит на результат работы модели, то есть воспринимает посредством интерфейса (графиков, таблиц, анимации) выходные данные.

Чем более сложными являются объекты и процессы, которыми занимается наука, тем труднее найти математические абстракции, подходящие для описания этих объектов и процессов. В биологию, геологию и другие "описательные науки" математика пришла по настоящему только во второй половине 20 века, в отличие от физики и химии, где она присутствовала очень давно.

Поскольку вопросы физического моделирования выходят за рамки настоящего курса, в дальнейшем изложении, говоря «модель» мы будем подразумевать «математическая модель», если специально не оговорено иное.

Первые попытки математически описать биологические процессы относятся к моделям популяционной динамики. Эта область математической биологии и в дальнейшем служила математическим полигоном, на котором "отрабатывались" математические модели в разных областях биологии. В том числе модели эволюции, микробиологии, иммунологии и других областей, связанных с клеточными популяциями.

Самая первая известная модель, сформулированная в биологической постановке – это знаменитый ряд Фибоначчи, который приводит в своем труде Леонардо Пизанский в 13 веке. Он рассматривает развитие идеализированной популяции кроликов, предполагая что:

В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).

В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).

Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).

В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).

Получившийся ряд (ежемесячный приплод популяции) представляет последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Другая подобная модель - модель Мальтуса (1798), описывающая размножение популяции со скоростью, пропорциональной ее численности. В дискретном виде этот закон представляет собой геометрическую прогрессию:

или ,

где q > 0 – постоянный коэффициент.

Этот закон, записанный в виде дифференциального уравнения, представляет собой модель экспоненциального роста популяции x и хорошо описывает рост клеточных популяций в отсутствии какого-либо лимитирования:

На этих простейших моделях видно, насколько примитивны математические модели по сравнению с биологическими объектами, каждый из которых, к примеру, популяция - это совокупность сложно организованных индивидуальных особей. В свою очередь каждый организм состоит из органов, тканей и клеток, осуществляет процессы метаболизма, двигается, рождается, растет, размножается, стареет и умирает. И каждая живая клетка - сложная гетерогенная система, объем которой разграничен мембранами и содержит субклеточные органеллы, и так далее, вплоть до биомакромолекул, аминокислот и полипептидов. На всех уровнях живой материи мы встречаем сложную пространственно-временную организацию, гетерогенность, индивидуальность, подвижность, потоки массы, энергии и информации.

Ясно, что для таких систем любая математика дает лишь грубое упрощенное описание. Дело существенно продвинулось с использованием компьютеров, которые позволяют имитировать достаточно сложные системы, однако и здесь, как правило, речь идет именно о моделях, т.е. о некоторых идеальных копиях живых систем, отражающих лишь некоторые их свойства, причем схематически.

По способу представления объекта все математические модели можно условно разделить на функциональные и структурные.

Функциональные модели - это формулы, описывающие связь входных и выходных характеристик системы, не претендуя на физический или биологический смысл этих зависимостей. Объект при этом рассматривается в виде «черного ящика» с набором входов и выходов, содержимое которого исследователю не известно (и не интересно). Значения на входах и выходах черного ящика можно наблюдать и измерять.

Задача состоит в том, чтобы, проведя серию экспериментов над объектом (или наблюдений за ним), построить модель, то есть определить передаточную функцию ящика, по которой вход преобразуется в выход. Такая задача называется задачей регрессионного анализа, поэтому функциональные модели часто называют такжерегрессионными.

Пусть, например, перед нами стоит задача определить, как зависит выпуск продукции некоего производства от количества потребляемой электроэнергии. Результаты наблюдений отобразим на графике. Всего на графике n экспериментальных точек, которые соответствуют n наблюдениям.

Предполагаем, что зависимость между входом и выходом линейная или почти линейная, т. е. подчиняется закону . Тогда данная модель будет называться линейной одномерной регрессионной моделью.

После этого тем или иным способом (графо-аналитическим методом или методом наименьших квадратов) определяем значения коэффициентов и. Модель готова – мы можем примерно рассчитать (т. е. заранее предсказать) значения выхода объекта для любых значений входа (не только в экспериментально изученных точках, но и во всех промежуточных).

Пример из биологии:

1. Модель динамики рыбного стада хамсы в Азовском море (Горстко, 1985 г.). Зависимость между количеством производителей хамсы x, зашедших весной из Черного моря в Азовское производителей хамсы (млрд. штук), и количеством выжившей молоди от каждого нерестившегося производителя y: