Методику изучения величин рассмотрим на примере методики изучения темы

«Площадь. Измерение площади».

Смысл термина «площадь»:

• площадь есть свойство замкнутой плоской фигуры занимать место на плоскости;

• по данному свойству плоской фигуры можно сравнивать – какая из фигур обладает данным свойством в большей мере;

• данное свойство замкнутых плоских фигур можно измерить, сосчитав количество мерок, которые можно «уложить» на данной фигуре;

• число как результат измерения площади показывает, сколько раз данную мерку мы «уложили» на фигуре;

• в качестве мерки можно принять любую плоскую замкнутую фигуру, приняв ее площадь за единицу;

• при изменении мерки изменяется не площадь фигуры, а число как результат измерения площади при данной мерке;

• площадь есть свойство фигуры, которое не изменяется при перемещении ее в пространстве;

• площадь фигуры, составленной из плоских замкнутых фигур, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей исходных фигур.

Осмыслению терминов способствует анализ ситуации и ответы на вопросы.

1. Площадь есть свойство замкнутой плоской фигуры занимать место на плоскости.

Сравнивая геометрические фигуры (точка, отрезок, луч, треугольник, квадрат, произвольная замкнутая фигура), анализируя их различные свойства, школьники приходят к выводу, что эти фигуры могут быть разбиты на две группы: модели этих фигур можно вырезать из листа бумаги или этого сделать нельзя.

• Какими свойствами обладает каждая фигура из первой группы (те, которые мы вырезали из листа бумаги)? – цвет, форма, размер.

• На уроках математики мы изучаем такие свойства предметов, которые можно сравнить и результат сравнения записать с помощью знаков больше, меньше, равно. Эти свойства называют величинами.

• Скажите, можем ли мы определить какой цвет больше красный или желтый? (Нет)

• Значит, цвет на уроках математики нас не будет интересовать, цвет не является величиной.

• Можно ли сравнить форму предметов? Какая больше - овальная или круглая? (тоже нет)

• Можно ли сравнить фигуры по размеру? (да)

Размер фигуры как его свойство занимать место на плоскости называют площадью.

• Любая ли фигура имеет площадь?

• Существуют ли фигуры, площади которых нельзя сравнить?

Следует подчеркнуть, что это сложные математические вопросы, на которые в начальной школе нельзя получить полные аргументированные ответы. Но любые мнения учеников принимаются и становятся предметом дальнейшего обсуждения.

Вывод, площадь – это не сам объект, геометрическая фигура, а его свойство, «по которому» можно сравнить объекты, ответив на вопрос, какой из объектов больше, а какой меньше.

2. По данному свойству плоской фигуры можно сравнивать, какая из фигур обладает данным свойством в большей мере;

• Как сравнить фигуры по площади?

Учащиеся приходят к выводу, что сравнить фигуры по площади можно с помощью наложения одной фигуры на другую.

3. Для измерения площадей плоских фигур и для сравнения геометрических фигур по площади используются мерки.

Как создать ситуацию, приводящую к необходимости использования для сравнения площади фигур мерки?

Проблемная ситуация.

Проблемная ситуация, в которой не удается сравнить площади фигур наложением (круг и квадрат)

или в случае, если фигуры нельзя наложить друг на друга, например, если они изображены на доске.

Вывод.

Анализ первой ситуации приводит школьников к выводу, что надо использовать фигуру - посредник, площадь которой, например, больше площади первой фигуры, но меньше площади второй, анализ второй ситуации приводит к выводу о необходимости использовать в качестве посредника «мерку», при этом сравнение площадей фигур сводится к сравнению чисел – «количеств» мерок в каждой фигуре.

• Что мы можем принять в качестве мерки измерения площади?

В качестве мерки можно использовать любую геометрическую фигуру.

– положить перед собой желтый прямоугольник (6см х 3см), взять конверт с надписью “мерки”. В нем вы найдете меры разных геометрических форм. Ваша задача состоит в том, чтобы исследовать, какими мерами лучше, удобнее пользоваться для измерения площади желтого прямоугольника.

Вывод: Квадрат – самая удобная единица (мера) площади.

– Квадратами очень удобно замащивать плоские участки, а скажем кругами такого не сделаешь без дыр и наложений.

Что будет являться меркой – геометрическая фигура или ее площадь?

Анализируя ситуации измерения площади фигуры двумя разными мерками, имеющими одинаковую площадь, школьники приходят к выводу, что единицей измерения площади является не сама «физическая» мерка, а ее площадь, и еще раз убеждаются в том, что при изменении мерки площадь не изменяется, может измениться лишь число – результат измерения площади, которое показывает, во сколько раз площадь фигуры больше площади мерки.

Как создать ситуацию, приводящую к необходимости использования для сравнения площади фигур одинаковых мерок?

Проблемная ситуация 1.

Двум группам учеников предлагается измерить площадь одной фигуры с использованием разных мерок. Учащиеся получают разные числовые данные и делают вывод, что фигуры имеют разные площади, что противоречит результату сравнения площади фигур наложением.

– Измерьте площадь прямоугольника имеющимися у вас мерами-квадратами. Сколько квадратных мер у вас получилось?

(8 кв., 2 кв., 18 кв.)

– Почему так получилось?

(Учащиеся делают предположение, что могут быть разными измеряемые прямоугольники)

– Как узнать, одинаковые ли по площади ваши прямоугольники?

(С помощью наложения).

Прямоугольники совпали, значит, площадь их одинакова.

– Теперь покажите свои мерки-квадраты. Что вы можете о них сказать?

(Форма одинакова, а размеры разные)

– Можем ли мы теперь ответить на вопрос, почему у вас получились разные числа при измерении площади желтого прямоугольника?

(Одинаковые прямоугольники измеряли разными мерами)

– Какое правило измерения площадей мы можем сформулировать?

(Сравнивать, складывать и вычитать величины можно только тогда, когда они измерены одинаковыми мерками.)

– Как поступить, чтобы при решении этой задачи могли получиться одинаковые числа?

(Нужно изготовить для всех одинаковые меры и пользоваться только ими)

– Такая одинаковая (общая) для всех мера называется стандартной.