Функции нескольких переменных 2

1. Основные понятия 2

2. Предел и непрерывность ФНП 2

3. Частные производные ФНП 3

4. Полный дифференциал ФНП 4

5. Дифференциалы высших порядков 5

6. Дифференцирование сложных функций 5

7. Дифференцирование неявных функций 5

8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 6

9. Геометрический смысл полного дифференциала первого порядка 7

10. Производная по направлению 7

11. Градиент скалярного поля 8

12. Формула Тейлора для ФНП 9

13. Экстремум функции нескольких переменных 9

14. Условный экстремум 9

Ряды 11

1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов 11

2. Необходимый признак сходимости ряда 12

3. Признаки сравнения числовых рядов 12

4. Признаки Даламбера и Коши 14

5. Интегральный признак сходимости 15

6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 15

7. Абсолютная сходимость рядов 16

8. Действия над рядами 17

9. Степенные ряды. Определение. 18

10. Интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля 18

11. Свойства степенных рядов 19

12. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена 19

Дифференциальные уравнения 21

1. Определение ДУ. Решение ДУ. Задача Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения 21

2. Решение уравнений с разделяющимися переменными, примеры 23

3. Однородные функции. Решение однородных ДУ первого порядка, примеры 25

4. Линейные уравнения. Определение, методы решений, примеры 32

5. Уравнение Бернулли. Определение, методы решений, примеры 33

6. Уравнения в полных дифференциалах, метод решения, примеры 34

7. Определение ДУ второго порядка. Решение ДУ, задача Коши, общее и частное решения 36

8. Решение уравнений, допускающих понижение порядка, примеры 36

9. Линейные однородные ДУ второго порядка. Свойства решений. Линейная зависимость решений. Общее решение 39

10. Линейные неоднородные ДУ второго порядка. Теорема о структуре общего решения. 41

11. Метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородных ДУ второго порядка 42

12. Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема об общем решении однородного уравнения 44

13. Линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Правила подбора частного решения неоднородного уравнения по правой части уравнения 46

Функции нескольких переменных

1. Основные понятия

Множества точек в Rⁿ.

Рассмотрим множество . За расстояние между точками

х и у примем величину , что соответствует обычной евклидовой норме.

δ − окрестностью т. называется множество точек х, удовлетворяющих условию: , где δ − заданное положительное число. При n = 2 или 3 это будет соответственно круг или шар (без границы), радиуса δ.

Кроме круговой (шаровой) окрестности будем использовать и прямоугольную окрестность: координатный прямоугольник со сторонами 2δ и центром в т.x^o.

Точка называется внутренней т. множества D, если

Точка называется граничной т. множества D, если

Множество всех граничных точек называется границей множества D.

Множество, не содержащее ни одной граничной точки, называется открытым.

Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым .

Множество называется связным, если две его любые точки можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

Областью называется связное открытое множество.

Множество называется односвязным, если любая непрерывная замкнутая кривая, принадлежащая множеству, может быть стянута в одну точку. В противном случае множество называется многосвязным (примеры).

Множество называется ограниченным, если оно целиком лежит внутри некоторой δ−окрестности и неограниченным в противном случае.

Любая ограниченная область, содержащая т. х^о называется окрестностью этой точки.

2. Предел и непрерывность фнп

Рассматривается множество . Если определено правило, по которому каждой точке ставится в соответствие некоторое число (единственным образом), то говорят, что на множестве D определена (однозначная) функция . Как обычно, множество D называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений u: Q = {u} – множеством значений. Часто функцию u = F(x) называют отображением

При n = 2 уравнение F(x,y) = C задает линии уровня поверхности z = F(x,y), а при n = 3 уравнение F(x,y,z) = С – поверхности уровня.

Задание ФНП может быть неявным: F(x,u) = 0 или параметрическим .

Примеры .Поверхности 2 – го порядка.

Как и в случае одной переменной, определяется предел ФНП:

Вместо условия можно писать .

Справедливы все общие свойства пределов: арифметические свойства, переход к пределу в неравенствах и т.д.

Тем не менее, понятие предела ФНП оказывается более сложным за счет того, что стремление т. х к х^о может осуществляться большим числом способов, нежели в случае одной переменной.

Пример.

По аналогии с функциями одной переменной, вводятся бесконечно малые и большие величины и понятие непрерывности:

Функция называется бесконечно малой при , если

Функция называется бесконечно большой при , если

Функция называется непрерывной в т. , если Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Остаются верными все свойства непрерывных функций: арифметические свойства, теорема о сохранении знака. Теоремы об ограниченности непрерывной функции, о переходе через промежуточные значения и о достижении максимума и минимума формулируются для замкнутых областей. Верна также теорема о непрерывности сложной функции: пусть функция непрерывна в т. х^о , а функции в т. В этом случае функция