7. Определение ду второго порядка. Решение ду, задача Коши, общее и частное решения

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y ^/ ,y ^// )=0 или .

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y ^// +py ^/ +qy=h(x),

где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.

Если в этом уравнении , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

.

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида ,

Называемое характеристическим. Его корни , как известно, определяются формулами

.

Возможны следующие три случая для вида корней этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2) корни – действительные и равные; 3) корни уравнения – комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p ² -4q>0. Тогда оба корня действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

,

где c ₁ , c ₂ – произвольные постоянные.

Действительно, если , то , . Подставляя выражения для y,y ^/ и y ^// в уравнение получим

.

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е p ² -4q=0.

Тогда оба корня действительные и равные, т.е. .

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т.е. p ² -4q<0.

Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая , общее решение однородного уравнения дается в виде

.

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

y ^// +py ^/ +g(y)h(x),

где h(x) – некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y ^/ =z, y ^// =z ^/ , приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z ^/ +pz=h(x).

8. Решение уравнений, допускающих понижение порядка, примеры

Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение

  , (1)

где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области и во всяком случае зависит от , называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.

Рассмотрим уравнения вида

.  (2)

С помощью замены , где u  - новая неизвестная функция,  уравнение (2) приводится к уравнению (n-k) -го порядка:

.

Пример 1.  Решить уравнение .

Решение. В это уравнение явно не входит неизвестная функция. Следовательно, полагая , получим дифференциальное уравнение первого порядка

.

Разделяя переменные и интегрируя, имеем ,

Переходя к старым переменным, получим дифференциальное уравнение

,

интегрируя которое, получим