7 Поверхности. Элементарные задачи на поверхности

^{Поверхностью называется совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.}

^{Линия, которая перемещаясь образует поверхность, называется образующей.}

^{Линии, которые остаются неподвижными и с которыми при своем движении пересекается образующая, называются направляющими.}

^{Сочетание образующих и направляющих называется каркасом поверхности.}

^{Если образующая – прямая линия, то поверхность, образованная при помощи этой прямой линии, называется линейчатой.}

^{Поверхность, которая образуется при помощи кривой линии, называется криволинейной. Условие, которое определяет поверхность, как совокупность всех положений образующей или направляющей, называется кинематическим законом образования поверхности.}

^{Совокупность геометрических элементов, дающих возможность реализовать кинематический закон образования поверхности, называется определителем поверхности.}

^{В число условий, входящих в состав определителя, должны быть включены:}

^{а) геометрические фигуры, участвующие в образовании поверхности;}

^{б) алгоритмическая часть или закон, указывающая на взаимосвязь между этими фигурами.}

^{В общем случае определитель поверхности будет иметь следующую структурную формулу:}

^{Ф(Г); [А], где}

^{Ф– поверхность;}

^{(Г)– геометрические элементы;}

^{[А] – закон образования поверхности, указывающий на взаимосвязь между геометрическими элементами.}

^{Задание поверхности определителем является позиционно полным и метрически определенным, т.е. на чертеже определителя поверхности можно решать любые позиционные и метрические задачи, связанные с самой поверхностью.}

^{Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, необходимо задать ее проекциями определителя.}

^{Например, для изображения на комплексном чертеже конической поверхности (рисунок 34) достаточно задать проекции вершины (точка) S(S1,S2),направляющей кривойm(m1,m2). И знать закон, указывающий на взаимосвязь между геометрическими элементами.}

^{Задание конической поверхности (рисунок 34) является позиционно полным и метрически определенным, т.к. можно построить любое количество точек для решения соответствующих задач.}

^{Ф(Г); [А], где}

^{Ф– коническая поверхность}

^{(Г):S(точка),m– направляющая}

^{[А]: l  S; l ∩ m}

^{Если в качестве направляющей будет взята ломаная линия, то коническая поверхность превратится в пирамидальную, а цилиндрическая – в призматическую.}

^{Чертежи поверхностей заданных определителем обладают рядом достоинств (лаконичность, конкретность, простота), но имеют один недостаток – они не являются наглядными, т.к. не всегда просто представить форму заданных поверхностей. Поэтому поверхности на комплексном чертеже задают проекциями очерков (крайние очертания поверхности). Чертежи таких поверхностей называют основными.}

^{Рисунок 34 – Коническая поверхность}

^{Прежде чем решать позиционные и метрические задачи, необходимо уметь решать элементарные задачи, т.е. задачи на принадлежность: линия принадлежит поверхности, если все точки линии принадлежат поверхности; точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей поверхности.}