u_lectures

361

Рис. 13.17

Каким же образом объяснить полученную дифракционноинтерференционную картину? Если бы электрон в каждый момент времени находился в определенной точке пространства и двигался по траектории, он проходил бы через одно отверстие - первое или второе. Характер получившейся картины доказывает, что в прохождении каждого электрона участвуют оба отверстия. Перед попаданием на дифракционное устройство электроны проходят определенную разность потенциалов, которой соответствует определенное значение длины волны де Бройля. Дебройлевская волна данного электрона проходит одновременно через обе щели. Это не означает, что ка- кая-то часть электрона проходит через одно отверстие, а другая через другое. Электрон всегда обнаруживается как целое с его массой и зарядом. Это означает, что электрон можно обнаружить в одной или другой щели лишь с ка- кой-то вероятностью. Прохождение дебройлеровской волны электрона одновременно через обе щели приводит к интерференции, наблюдаемой на фотопластинке. В какое место фотопластинки попадет отдельный электрон, с достоверностью сказать нельзя, это можно сделать только с той или иной степенью вероятности. Отдельный электрон оставляет на фотопластинке пятнышко (после проявления). Если электронов мало, то фотопластинка будет напоминать мишень, простреленную небольшим количеством пуль. В расположении пятнышек на фотопластинке не обнаружится никакой закономерности. Закономерность выявится статистически, когда на пластинку падает очень много электронов. Имея дифракционно-интерференционную картину, полученную при прохождении пучка электронов через обе открытые щели, и рассчитав положение максимумов и минимумов, возникающих в результате интерференции волн де Бройля, мы можем прийти к выводу, что электроны

362

преимущественно попадут в те места фотопластинки, где должны получиться дифракционные максимумы волн де Бройля. Это означает, что вероятность попадания электрона в то или иное место фотопластинки пропорциональна интенсивности волны де Бройля в этом месте.

Дифракционная картина получится одной и той же независимо от того, образуется ли она электронами, последовательно приходящими по одному через кристалл, или сразу интенсивным пучком одинаково ускоренных электронов, в котором содержится то же число частиц, т. е. статистические, или вероятностные, свойства частиц могут быть установлены на опыте либо со многими частицами, либо с одной частицей, если опыт повторен многократно.

Таким образом, статистическая интерпретация волн де Бройля (предложенная впервые Борном) позволяет сочетать квантовость частиц с их волновыми свойствами. Согласно статистической интерпретации вероятность обнаружения частицы в какой-то области пространства пропорциональна интенсивности волн де Бройля в этой области.

Лекция. №6 Тема. 57

13.14. Волновая функция. Вероятность нахождения микрочастицы. Нормировка волновой функции

Мы говорили, что согласно статистической интерпретации волн де Бройля, частицы попадают преимущественно в те места пространства, где интенсивность волн де Бройля максимальна. В этом случае интенсивность можно было бы заменить волнами вероятности. Но тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может принимать отрицательное значение, что не имеет смысла. Борн (1926 г.) предположил, что по волновому закону изменяется не сама вероятность, а по волновому закону изменяется величина, названнаяr амплитудой вероятности. Эту величину обозначают Ψ(х,y,z,t) или Ψ( r ,t) и называют так же волновой функцией или Ψ - функцией (пси-функцией). Волновая функция является комплексной величиной. Вероятность нахождения частицы в какой-то области пространства про-

порциональна квадрату модуля волновой функции: W≈ Ψ 2 . Итак, основу

квантовой механики составляет утверждение, что описание состояния системы осуществляется с помощью волновой функции (вообще говоря, комплексной), причем вероятность dW обнаружения частицы в момент времени t в области от x до x + dx, от y до y + dy, от z до z + dz определяется квадратом

модуля волновой функции Ψ(x, y,z,t)2 :

363

где dV = dxdydz - элемент объема, Ψ 2 = Ψ*Ψ , где Ψ* - комплексно сопряженная. Обратите внимание, что Ψ(r,t) существенно комплексна. Мы уже имели дело с комплексными величинами, представляя через комплексную величину колебания, но при этом использовали только вещественную часть. Это делалось в целях сокращения математических преобразований. В квантовой механике функция Ψ(r,t) принципиально комплексна. Все физические величины, имеющие реальный физический смысл, выражаются через всю комплексную функцию, а не только через ее вещественную часть. Покажем это на следующих примерах.

Движение свободной частицы (т. е. частицы, движущейся в отсутствии силовых полей) в пространстве описывается с помощью волновой функции:

Вероятность обнаружения частицы в какой-то области пространства

определяется квадратом модуля волновой функции Ψ(r,t):

Ψ(rr, t)2 = Ψ* (rr,t)Ψ(rr,t)= Ψ0ei(krrr −ωt )Ψ0e−i(ωt−krrr ) = Ψ0*Ψ0 = const .

Это означает, что вероятность обнаружения частицы в любой точке пространства одинакова. Всякий другой результат для равномерно движущейся частицы в течение бесконечного времени несовместим с однородностью пространства. Но он не получился бы, если бы вместо комплексного выражения для волновой функции Бройля взять только действительную или только мнимую части. Покажем это. Действительная часть волновой функции, соответствующаяr движению свободной частицы, определяется выраже-

нием cos(ωt − krr ), а мнимая – выражением sin(ωt − krr ). Если для определения вероятности взять только, например, действительную часть Ψ - функции, то вероятность нахождения частицы в какой-то области пространства будет пропорциональна выражению:

cos2 (ωt − krr ),

т. е. вероятность в различных точках пространства будет различна. Но частица движется в свободном пространстве и, исходя из изотропии пространства, можно сказать, что обнаружение частицы в любой точке пространства равновероятно. Поэтому полученный результат не верен.

Таким образом, описание движения свободной частицы следует проводить с помощью всей комплексной волновой функции, а не только через ее действительную часть. Приведенный пример является одним из оправданий использования комплексных выражений вместо вещественных

Посмотрим, будет ли наблюдаться интерференция волн, если каждая их них существенно комплексна. Пусть две волны, распространяющиеся в про-

странстве, представляются выражениями:

Ψ1 = Ψ0e−i(ωt−krrr ) и Ψ2 = Ψ0e−i(ωt−krrr +δ(rr )),

364

где δ(rr ) - разность фаз между двумя волнами. При наложении двух волн образуется новая волна: Ψ=Ψ1+Ψ2. Рассмотренный пример может относиться, например, к дифракции электрона на двух щелях. В этом случае Ψ1 - часть волны де Бройля, проходящая через первую щель, а Ψ2 - через вторую щель, Ψ - результат суперпозиции волн на экране. Вероятность обнаружить частицу в какой-то области пространства пропорциональна выражению:

Здесь использована формула Эйлера:

Вероятность содержит интерференционный член 2cosδ, меняющийся в пространстве от -2 до +2, в зависимости от разности фаз δ(rr ). Таким образом, интерференция будет наблюдаться. Если частица движется в произвольном силовом поле, то полное описание состояния частицы дается не плоской волной (13.26′), а более сложной волновой функцией Ψ(r,t), зависящей от координат и времени. Состояние системы полностью описывается волновой функцией. Вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV определяется выражением:

.

Величина квадрата модуля волновой функции

(13.27)

имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами x, y, z.

Плотность вероятности - это измеряемая в эксперименте величина: Ψ 2 оп-

ределяет вероятность того, куда попадет частица. Поэтому сама по себе волновая функция не относится к числу непосредственно наблюдаемых величин, а плотность вероятности - наблюдаемая величина. Таким образом, физиче-

ский смысл имеет не сама Ψ - функция, а квадрат ее модуля Ψ 2 , которым

задается вероятность нахождения объекта в той или иной области пространства, а, следовательно, и интенсивность волн де Бройля в этой области.

Для того, чтобы найти вероятность обнаружения частицы в момент времени t в конечном объеме V , надо разбить весь объем на бесконечно ма-

лые элементы объема dV и сложить вероятности dW = Ψ 2 dV по всему объему:

365

(13.28)

Вероятность обнаружения частицы во всем пространстве определяется выражением:

где интегрирование проводится по всему бесконечному пространству. Поскольку, то, что частица обязательно находится где-то в пространстве, является достоверным событием, то вероятность ее обнаружения в какой-то точке пространства равна единице:

(13.29)

Это выражение называется условием нормировки. Волновая функция определена с точностью до постоянного множителя, т. е. если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и тоже (вообще говоря, комплексное) число, отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая то же состояние. Из условия нормировки (13.29) следует, что модуль этого постоянного множителя равен единице. Для того чтобы волновая функция была объективной характеристикой состояния частицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий, называемых стандартными условиями:

функция должна быть конечной, поскольку вероятность не может быть больше единицы; однозначной, поскольку вероятность не может быть неоднозначной величиной; непрерывной, поскольку вероятность не может изме-

няться скачком. Если интеграл ∫ Ψ 2 dV сходится, то выбором соответствую-

∞

щего постоянного коэффициента функция Ψ всегда может быть, как говорят, нормирована условием (13.28).

Если интеграл ∫ Ψ 2 dV расходится, то функция Ψ не может быть нор-

∞

мирована условием (13.29). В этом случае иногда вводят дополнительные ограничения на область нахождения частицы. Например, рассматривая движение свободного электрона в металле, ограничивают область нахождения электрона геометрическими размерами образца. Иногда определяют отноше-

ние квадратов модулей волновых функций Ψ 2 в двух различных точках

пространства, определяя относительную вероятность нахождения частицы. Зная вид волновой функции можно определить не только вероятность

нахождения частицы в какой-то области пространства, но можно определить среднее значение любой физической величины f (r ) , являющейся функцией

координат. Для этого надо физическую величину f (r ) умножить на вероят-

367

Ψ2, величина f имеет определенное значение: в состоянии Ψ1- значение f1 , в состоянии Ψ2 - значение f2 …. Согласно принципу суперпозиции возможно состояние, описываемое функцией Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2. В этом состоянии величина f уже не имеет определенного значения: при измерениях будет получаться либо значение f1, либо значение f2.. Вероятности появления этих значений равны квадратам модулей коэффициентов C1 и C2, т. е. вероятность получить

при измерениях результат f1 равна C1 2 , а вероятность получить результат f2 равна C2 2 .

Рассмотрим общий случай, когда физическая величина обладает дискретным набором собственных значений fn . Согласно принципу суперпозиции, можно утверждать, что волновая функция Ψ, описывающая некоторое состояние системы, должна представлять собой линейную комбинацию собственных функций Ψn, соответствующих значениям fn . Эти собственные значения fn могут быть обнаружены с отличной от нуля вероятностью при измерении, произведенном над системой, находящейся в рассматриваемом состоянии, описываемом функцией Ψ. Поэтому функция Ψ может быть представлена в виде ряда:

Ψ = ∑Cn Ψn .

n

Здесь суммирование производится по всем состояниям. Таким образом, всякая волновая функция может быть разложена по собственным функциям любой физической величины. О системе функций, по которым можно произвести такое разложение, говорят, как о полной системе функций.

Квадраты модулей коэффициентов Cn дают вероятности того, что при измерениях, производимых над системой, находящейся в состоянии Ψn, будут получены соответствующие величины fn. Поскольку сумма таких вероятностей должна быть равна единице, коэффициенты Cn удовлетворяют условию:

∑ Cn 2 =1.

n

Это условие всегда выполняется для нормированных Ψn.

Если собственные значения какой-то физической величины образуют непрерывный спектр, то разложение Ψ(r,t) по полной системе собственных функций Ψf (rr,t) физической величины f имеет вид:

.

Волновые функции Ψf (r,t) нормированы таким образом, что Cf 2 df

представляет собой вероятность рассматриваемой физической величине иметь значение в заданном интервале от f до f + df . Поскольку сумма вероятностей всех возможных значений f должна быть равна единице, то

368

.

Отметим, что существуют принципиальное различие принципа суперпозиции состояний от принципа суперпозиции волн, формулируемое в классической физике. Если в пространстве распространяются две реальные волны, в которых колеблющиеся величины (например, смещение частиц в упругой волне, или вектора напряженностей электрического и магнитных полей в электромагнитной волне) характеризуются значениями f1 и f2 , то в результате сложения этих волн получится новая волна, характеризующаяся новым, отличным от f1 и f2 , значением колеблющейся величины f, равным f = f1 + f2 . Согласно принципу суперпозиций состояний волновая функция, представленная в виде Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2, описывает некоторое состояние системы. Если система находится в этом состоянии и над ней производится измерение, то никакого нового значения физической величины f не получится, а с некоторой вероятностью получится одно из значений f1 или f2

13.16.Соотношения неопределенностей

Вклассической механике состояние материальной точки в каждый момент времени характеризуется ее точным положением и точным импульсом. Мгновенное состояние микрочастицы нельзя характеризовать одновременно точным заданием ее положения (координаты) и точным значением импульса. Причина этого в том, что микрочастица проявляет и корпускулярные, и волновые свойства одновременно. Если какое-либо волновое образование занимает ограниченную область пространства, то его всегда можно представить в виде волнового пакета аналогичного выражению (13.21). Одной синусоиды для этого мало. Требуется волновой пакетсуперпозиция множества синусоид различных частот, которые усиливаются в определенной области пространства и взаимно гасят друг друга вне этой области. Если длина волнового пакета x, то волновые числа, необходимые для его образования могут занимать интервал k, удовлетворяющий условию.

Рассмотрим волновой пакет, составленный из волн де Бройля. Согласно статистической интерпретации вероятность обнаружения частицы будет отлична от нуля только в пределах пакета. Каждой волне де Бройля с волновым числом k будет соответствовать импульс p=ћk. Определенного импульса для всего пакета не существует, существует набор импульсов: от p=ћk до

369

Эти соотношения называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Если px=0 (для плоской монохроматической волны де Бройля), то x=∞, т. е. о месте, где локализована частица, ничего конкретного сказать нельзя, кроме того, что она находится где-то в бесконечном пространстве. Она может быть с равной вероятностью в любой точке пространства.

Если x = 0, то px=∞, тогда частица будет находиться в определенной точке, но импульс ее может принимать любое значение.

Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую проекцию импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием специфики микрообъектов, выражающейся в корпускулярно-волновом дуализме. Соотношения неопределенностей получены при одновременном использовании классических характеристик движения частицы и наличия у них волновых свойств. Т. к. в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношения неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Рассмотрим несколько примеров. Пусть электрон находится в атоме

водорода на первой боровской орбите, радиус которой равен r1=0,5·10-10 м, mу=9,11·10-31 кг, х=10-10 м, vх=2,3·106 м/с. х рх≥h, или хm vх≥h . Следо-

вательно, неопределенность скорости:

.

Это означает, что точность в определении скорости превышает значение скорости vх>vх. Это абсурдно с классической точки зрения, поэтому нельзя говорить о движении электрона вокруг ядра по круговой траектории, т. е. состояние данного электрона надо описывать с помощью законов квантовой механики. Рассмотрим пылинку массой m=10-12 кг. Пусть ее линейные размеры 10-6 м. Пусть ее размеры могут быть определены с точностью до 1%, т. е. х=10-8 м. Т. к. х рх≥h, значит хm vх≥h, следовательно, неопределенность скорости:

.

Эта величина оказалась много меньше реальной скорости, с которой может двигаться частица. Поэтому при всех скоростях vх не играет никакой

370

роли. Т. е. к пылинке при всех возможных скоростях могут быть применены законы классической физики.

Итак, с помощью соотношения неопределенностей можно определить в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики примени-

данной частице можно применять законы классической физики. Если же эти отношения сравнимы с единицей, к данной частице нужно применять законы квантовой физики. Из соотношения неопределенностей следует, что состояние, в котором частица находится в полном покое, невозможно. В квантовой механике теряет смысл понятие траектории. В квантовой механике теряет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенциальную. Действительно, кинетическая энергия зависит от импульсов, а потенциальная от координат. Эти переменные не могут иметь одновременно определенные значения. Поэтому энергия должна определяться и измеряться как полная энергия.

В волновой теории выводится так же соотношение tΔω≥2π. Смысл этого соотношения состоит в том, что ограниченный по времени процесс не может быть монохроматическим. Если процесс длится в течении t, то разброс частот Δω определяется данным соотношением. Перейдя от частот к энергиям с помощью соотношения E=ћω, получим

Это соотношение неопределенностей для времени и энергии. Здесь E - неопределенность энергии некоторого состояния системы, t - промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни t, не может быть охарактеризована точным значением энергии. Чем короче время жизни какого-то состояния, тем с меньшей определенностью можно говорить об энергии этого состояния. Чем с большей точностью определено время, тем больший разброс по энергиям.

Из выражения (13.31) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность ν = hE , т. е. линии спектра должны харак-

теризоваться частотой, равной ν ± hE .

Опыт показывает, что действительно все спектральные линии размыты. Измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.