u_lectures

351

(13.15)

где А - амплитуда волны, х - координата, t - время, k = 2λπ - волновое число,

ω - циклическая частота, φ0 - начальная фаза волны, [ωt − kx + ϕ0 ] - фаза

волны. Однако плоские монохроматические волны в природе никогда не осуществляются. Реальные волны всегда ограничены в пространстве, испускаются в течение ограниченного промежутка времени, а потому не являются строго гармоническими. Реальные волны являются суперпозицией строго гармонических плоских волн, которые в одной части пространства вследствие интерференции усиливают друг друга, а в остальном пространстве друг друга гасят. Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т.е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной. то к ним применим принцип суперпозиции: при распространении в линейной среде каждая из волн распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее возмущение (смещение частицы в упругой волне или какая-нибудь составляющая напряженности электрического или магнитного поля в электромагнитной волне) в любой момент времени равно сумме возмущений, обусловленных каждой волной в отдельности.

Рассмотрим сначала суперпозицию двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х с частотами ω0 и k0, и волновыми числами k0 и k0+ k,

причем Δω<<ω0, k<<k0:

,

.

Складывая, получим новую волну:

(13.16)

Полученный результат можно использовать следующим образом. Второй множитель cos(ω0t-k0x) представляет собой волновой процесс с частотой ω0 и волновым числом k0. Первый множитель

представляет собой медленно (Δω→0, k→0) и притом периодически меняющуюся амплитуду. Другими словами, результат сложения двух волн с близкими частотами и волновыми числами мы можем рассматривать как волну с частотой ω0 и волновым числом k0, но с модулированной амплитудой. Эта волна уже не является гармонической, поскольку она имеет периодически меняющуюся амплитуду, и спектральный прибор обнаружит в ней не одну, а две частоты: ω0 и ω0+Δω. Этот результат иллюстрируется на

352

рис. 13.15, где изображено для некоторого момента времени два участка гармонических волн с мало отличающимися по величине длинами волн, и волна, являющаяся суперпозицией этих двух волн. Как видно из рисунка, результирующая волна распадается на ряд групп волн с амплитудами, меняющимися по гармоническому закону.

Рис. 13.15

Скорость перемещения фазы волны называют фазовой скоростью. Для ее определения запишем условие постоянства фазы:

.

Продифференцируем это выражение по времени:

.

Отсюда скорость перемещения плоскостей равной фазы, т. е. фазовая скорость, равна:

(13.17)

.

С другой стороны

(13.18)

где v - скорость распространения волны. Сравнивая (13.17) и (13.18) получим, что фазовая скорость равна скорости распространения волны: vф=v. Найдем теперь скорость перемещения определенной амплитуды волны. Эта скорость совпадает со скоростью перемещения группы, поэтому ее называют

групповой скоростью. Для ее определения запишем условие постоянства амплитуды:

.

Отсюда:

.

Предел этого выражения при k→0 является групповой скоростью:

353

.

Для того чтобы образовать волновой процесс, имеющий ограниченное протяжение в пространстве, наложение двух плоских волн недостаточно. Волновой пакет - это суперпозиция волн, мало отличающихся по частоте и в любой момент времени занимающий ограниченную область пространства. Волновой пакет можно образовать путем наложения волн с непрерывно меняющимся k в пределах некоторого интервала 2 k. Выберем на интервале 2 k некоторую среднюю точку k0. Результат суперпозиции можно представить в виде интеграла:

(13.19)

Будем считать, что на всем интервале амплитуда остается постоянной и равной:

.

Зависимость ω(k) определяется законом дисперсии, но для малого интервала k зависимость ω(k) можно представить в виде степенного ряда:

Будем считать, что интервал k-k0 настолько мал, что в разложении (13.19) можно ограничиться только двумя первыми членами ряда:

Подставляя это выражение в (13.19), полученное выражение помножим и разделим на k, и обозначая

получим:

(13.20)

354

Множитель cos(ω0t-k0x) представляет собой волновой процесс с частотой ω0 и волновым числом k0. Множитель, стоящий перед ним представляет собой модулированную амплитуду. Обозначив

мы видим, что характер изменения амплитуды определяется множителем

:

(13.21)

проходит через ряд максимумов и минимумов, но их величина мала по сравнению с максимумом при ζ=0.

Таким образом, можно сказать, что в результате суперпозиции волн с близкими частотами, волновые вектора которых непрерывно изменяются в интервале k0± k, получается практически одна группа - волновой пакет. На рис. 3.16 представлена "моментальная фотография" такой группы волн, т. е. ее форма в определенный момент времени.

Рис. 13.16

Формула (3.18) показывает, что в случае волнового пакета. так же как и в случае суперпозиции двух волн, можно говорить о двух скоростях: фазовой и групповой. Приравнивая фазу (ω0t-k0x) постоянной и затем, дифференцируя ее по времени, получим выражение для фазовой скорости:

.

355

ζ=0 имеет постоянное значение, равное 1. При ζ=0

.

Дифференцируя это выражение по времени, получим скорость перемещения поверхностей равных амплитуд:

(13.22)

Таким образом, групповая скорость, т. е. скорость смещения волнового пакета как целого, равна скорости смещения его центра.

Найдем связь между фазовой и групповой скоростью.

.

Таким образом, связь фазовой и групповой скоростей определяется выражением:

(13.23)

.

Если в среде отсутствует дисперсия, т. е. в среде фазовая скорость волн, образующих волновой пакет, не зависит от k (или, что то же самое, от

Лекция №5 (Тема 56)

13.11. Некоторые свойства волн де Бройля

Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью v. Вычислим для нее фазовую и групповую скорости волн де Бройля.

Фазовая скорость vф , согласно (13.17):

356

,

где ω - частота волны, k = 2λπ - волновое число. Здесь использованы соот-

ношения (13.1) и (13.12).

Если скорость частицы значительно меньше скорости света v<<с, то энергия частицы связана с ее импульсом соотношением

.

В этом случае фазовая скорость определяется выражением:

.

В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоро-

стью света v≈с, энергия и импульс равны, соответственно:

Е = mc2, p = mv,

где v - скорость частицы, m - релятивистская масса. В этом случае фазовая скорость определяется выражением:

.

Поскольку всегда скорость частицы не больше скорости света в вакууме v ≤ с, то фазовая скорость волны де Бройля больше скорости света vф ≥ с. Однако это обстоятельство не должно нас смущать, поскольку на величину фазовой скорости не накладывается никаких ограничений. Она может быть как меньше, так и больше скорости света.

Групповая скорость, согласно (13.20), определяется выражением:

.

В нерелятивистском случае, когда

.

Поэтому групповая скорость в этом случае равна:

.

Если скорость частицы сравнима со скоростью света v ≈ с, то энергия связана с импульсом соотношением:

357

.

Тогда

Таким образом, при любых скоростях движения частиц групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.

Покажем, что даже в вакууме волны де Бройля обладают дисперсией, т. е. фазовая скорость волн де Бройля зависит от длины волны. Покажем это в двух случаях: при скоростях, значительно меньших скорости света и сравнимых с ней.

Фазовая скорость определяется выражением:

.

В нерелятивистском случае ()

.

Подставив в это выражение Е=ћω и р=ћk, получим:

.

Разделим левую и правую части последнего выражения на k:

.

Учитывая, что vф = ωk и k = 2λπ , получим:

(13.24)

.

В релятивистском случае v≈с и

.

Подставив в это выражение Е=ћω и р=ћk, получим:

.

Разделим последнее выражение на (ћk)2:

.

Учитывая, что vф = ωk и k = 2λπ , получим:

358

или

(13.25)

Мы получили выражения для фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском (13.24) и релятивистском (13.25) случаях. Из этих выражений видно, что фазовая скорость зависит от длины волны. В этом и состоит дисперсия. Таким образом, даже в вакууме волны де Бройля обладают дисперсией.

Отметим, что электромагнитные волны в вакууме не обладают дисперсией. Действительно, используя выражение (3.24) для фазовой скорости в релятивистском случае и учитывая, что масса покоя фотона равна нулю, получим, что vф = с, т.е. фазовая скорость электромагнитных волн не зависит от длины волны, а, значит, электромагнитные волны не обладают дисперсией.

13.12. Некоторые попытки физического толкования волн де Бройля

Одна из идей, которой некоторое время придерживался Шредингер, а затем отказался от нее, состоит в следующем. Никакого дуализма волн и частиц нет. Существуют только волны. Частица представляет собой суперпозицию волн. Дело в том, что из волн различных частот всегда можно составить волновой пакет, т. е. такое волновое образование, что при наложении в определенный момент времени волны будут усиливать друг друга в какой-то малой области пространства, а вне этой области произойдет их полное гашение. Такой волновой пакет и есть частица. Интенсивность волн де Бройля рассматривается как величина, пропорциональная плотности вещества, из которого образуется частица. Казалось, что подтверждением этой точки зрения является тот факт, что центр волнового пакета распространяется с групповой скоростью, а групповая скорость равна скорости частицы.

Однако волновой пакет не может вести себя как частица сколь угодно долгое время. Причина этого заключается в том, что даже в вакууме волны де Бройля обладают дисперсией. Допустим, что в какой-то момент времени, скажем, t=0, волны де Бройля усиливают друг друга в некоторой области пространства, а в остальной области пространства волновое поле обращается в нуль. Монохроматические волны разных частот, из которых образован волной пакет, будут распространяться с разными фазовыми скоростями. Это приведет к деформации, а затем и к расплыванию волнового пакета. Заметим, что волновой пакет, образованный электромагнитными волнами, будет существовать в вакууме сколь угодно долго, т.к. электромагнитные волны не обладают дисперсией. Волновой пакет, образованный волнами де Бройля, даже

359

в вакууме будет расплываться, т.к. для волн де Бройля есть дисперсия. т.е. частица, если бы она представляла волновое образование, была бы неустойчива и быстро распалась бы, что не соответствует действительности. Таким образом, частица не может быть волновым пакетом, образованным из волн де Бройля.

Нельзя принять и противоположную точку зрения: первичными являются частицы, а волны представляют их образования, т.е. возникают в среде, состоящей из частиц, подобно звуку, распространяющемуся в воздухе. Действительно, такая среда должна быть достаточно плотной, поскольку о волнах в среде частиц имеет смысл говорить только тогда, когда среднее расстояние между частицами очень мало по сравнению с длиной волны. Но это чаще всего не выполняется. Кроме того, эту точку зрения надо отбросить, поскольку она, фактически, означает, что волновые свойства присущи системам многих частиц, а не отдельным частицам. Но это противоречит описанным выше экспериментам В.А. Фабриканта.

13.13. Квантовая механика и статический смысл волн де Бройля

Наиболее последовательное и непротиворечивое описание явлений микромира дает квантовая механика. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-ых годов ХХ в.; оно связано прежде всего с работами австрийского физика Э.Шредингера, немецкого физика В.Гейзенберга и английского физика П.Дирака Квантовая механика - наука, которая изучает законы движения и взаимодействия микрочастиц, т. е. частиц, обладающих корпускулярноволновым дуализмом. Сочетая в себе свойства частицы и волны, микрочастица не является ни частицей, ни волной в классическом понимании. Отличие микрочастицы от волны заключается в том, что она обнаруживает себя всегда как единое целое. Например, никто никогда не наблюдал половину электрона. Волну же можно разделить на части, направив ее, например, на полупрозрачное зеркало, и воспринимать затем каждую часть в отдельности. Отличие микрочастицы от обычной макрочастицы заключается в том, что для нее неприменимо понятие траектории.

Своеобразие свойств микрочастиц отчетливее всего обнаруживается в описанных ниже мысленных экспериментах. Достоверность наблюдаемого в мысленном эксперименте эффекта вытекает из наблюдений, полученных в ряде реальных экспериментов. В данном случае такими экспериментами являются описанные выше опыты по дифракции электронов.

Допустим, что пучок электронов падает на кристалл. Как было экспериментально показано, дифракция свойственна и одному электрону. Поэтому можно предположить, что падающий пучок состоит всего из одного электрона. При прохождении соответствующей электронной волны де Бройля через

360

кристалл она разбивается на несколько дифракционных пучков. Нельзя допустить, что в каждом из таких пучков находится какая-то доля электрона. Электрон всегда обнаруживает себя как целое. Пусть на пути одного из дифрагированных пучков поставлен счетчик для улавливания электронов. Если счетчик срабатывает, то он всегда обнаруживает целый электрон. Из этого нельзя заключить, что до обнаружения электрон находился только в одном рассматриваемом пучке, а поэтому все остальные дифрагированные пучки роли не играют, т.е. отсутствуют. Такая точка зрения означала бы, что электрон проходит через кристалл по определенной траектории. Но это несовместимо с явлением дифракции электронов. Если повторить тот же опыт с другим электроном, то электрон обнаружится так же в одном из дифрагированных пучков, но не обязательно в том же самом. Таким образом, в каком из дифрагированных пучков обнаружится электрон с достоверностью сказать нельзя, это можно сделать только с той или иной степенью вероятности.

Рассмотрим еще один мысленный эксперимент. Направим на преграду с двумя узкими щелями параллельный пучок электронов, обладающих одинаковой кинетической энергией (рис.3.17). За преградой поставим фотопластинку. Закроем сначала щель 2 и произведем экспонирование в течение времени t . При прохождении пучка электронов через узкую щель пучок, как показывает опыт, испытывает дифракцию, и распределение интенсивности на фотопластинке будет характеризоваться кривой 1 (рис. 3.17,а). Закроем щель 1. Произведем экспонирование в течение того же времени t . Кривая интенсивности имеет вид 2 (рис. 13.17,б). Какой будет картина на фотопластинке, если открыть сразу обе щели и провести экспонирование в течение времени t? Так как почернение фотопластинки вызывается ударами электронов, то можно ожидать, что потемнение усилится в тех местах, где дифракционные картины от двух отверстий налагаются друг на друга, Это означало бы, что каждый электрон, двигаясь по траектории, проходит через одну из щелей, не оказывая никакого влияния на электроны, проходящие через другую щель. В действительности наблюдается иная картина с чередованием темных и светлых полос и кривая интенсивности имеет вид 3 (рис. 13.17,в).

Результат получается таким же, как в опыте Юнга по наблюдению интерференции света от двух когерентных точечных источников.