u_lectures

341

получим выражение для радиусов стационарных орбит, по которым возможно движение электрона

Итак, первый вывод теории Бора: радиусы стационарных орбит электрона в водородоподобном атоме имеют дискретный ряд значений

денное) стационарное состояние электрона в атоме водорода. Полученное теоретически значение r1 дает размер атома водорода и в точности совпадает со значением, определенным экспериментально.

При n = 2 из выражения (13.5) получим радиус второй боровской орбиты электрона в атоме водорода: r2=4r1- первое возбужденное стационарное состояние электрона в атоме водорода. При n=3: r2=9r1 - второе возбужденное стационарное состояние электрона в атоме водорода и т. д.

Поведение электрона в атоме описывается следующим образом. Основную часть времени электрон находится в основном состоянии на стационарной орбите r1. Если электрону из вне передается порция энергии, то электрон переходит на другую стационарную орбиту (n=2,3,…). Атом при этом переходит в возбужденное состояние. В возбужденном состоянии электрон и, соответственно, атом находятся в течение 10-8 с, а затем переходят либо в более низкое (с меньшим n) возбужденное состояние, либо в основное состояние. Во время таких переходов происходит излучение той самой энергии, которая была передана электрону (атому) из вне. Разность энергий определяет частоту излучения (см формулу (13.3).

Определим энергию электрона в водородоподобном атоме.

Обозначим: E - полная энергия, T - кинетическая энергия, U - потенциальная энергия. Используя формулу (13.2) получим выражение для кинетической энергии электрона в атоме

.

Из курса электростатики известно, что потенциальная энергия системы двух зарядов –е и +Zе равна

(13.6)

.

Следовательно, полная энергия электрона в атоме водорода

342

.

Подставив выражение (3.6) для r в формулу для E, получим

(13.7)

.

Из этой формулы следует второй вывод теории Бора: энергия электрона определяется главным квантовым числом n и имеет дискретный ряд значений:

Для атома водорода (Z=1) при n=1 получим:

1.Энергия электрона на первой боровской орбите в основном (невозбужденном) стационарном состоянии:

Е1 = − k2e4m = −13,53эВ. 2h

2.Энергия электрона в первом возбужденном стационарном состоянии

и т.д.

Если электрон оторвать от атома (r→∞), то атом ионизуется. При этом энергия электрона становится максимальной, равной нулю (Е∞=0). Энергия ионизации Еиониз определяется как

.

Посмотрим теперь, как, по теории Бора, выглядит объединенная формула Бальмера, полученная из экспериментов и чему равна постоянная Ридберга.

Выберем две орбиты (т. е. два состояния атома) с энергиями

и ,

причем Еi > Еj.

В соответствии со вторым постулатом Бора при переходе с уровня i на уровень j излучается квант энергии (фотон)

,

где nj - номер орбиты, на которую переходит электрон, излучающий энергию, т. е. номер серии; n - номер орбиты, с которой переходит электрон, т. е. номер линии в серии.

Из этой формулы с учетом того, что h=2πћ, получаем

343

(13.8)

,

где величина k2e4m = 3,3 1015 с−1 . Обозначив ее через Rс, получим объеди-

4πh3

ненную формулу Бальмера (13.1)

(13.9)

,

т. е., полученная теоретически, она в точности совпала с выражением для частот излучения атома водорода, полученным из экспериментальных данных.

Подводя итог, отметим, что основным достоинством теории атома водорода по Бору явилось подтверждение экспериментальных данных о значениях размера атома (r1), энергии ионизации (Еi) и объединенной формулы Бальмера.

Схемы, поясняющие возникновение спектральных линий излучения атома водорода приведены на рис. 13.7 и 13.8.

13.7.Недостатки теории Бора

1)Противоречивость: одновременно использует и классические и квантовые представления о движении и свойствах микрочастиц (электронов). Кроме того, постулаты, сформулированные Бором, ниоткуда не следуют.

2)Не объясняет различие в интенсивностях спектральных линий, вероятность переходов, поляризацию электромагнитных волн.

3)Не позволяет разработать теорию других более сложных, чем водород атомов.

344

4) Открытие волновых свойств электрона не согласуется с их орбитальным движением в планетарной модели.

Лекция №3 (Тема 54)

13.8.Гипотеза де Бройля

Кначалу двадцатого века в оптике сложилась парадоксальная ситуация: свет в одних явлениях (интерференция, дифракция) ведет себя как волна, а в других (фотоэффект, эффект Комптона) как частица. Французский ученый Луи де Бройль (1923-1924 гг.) выдвинул гипотезу, что подобный корпускулярно-волновой дуализм (двойственность) является общим свойством любых материальных объектов, а не только света. Корпускулярные свойства частиц характеризуются ее энергией Е и импульсом р, а волновые – частотой ω (или ν) и длиной волны λ. По предположению де Бройля, количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

(13.10)

(13.11)

Согласно гипотезе де Бройля частице, обладающей импульсом , можно сопоставить волновой процесс с длиной волны

Если частица массой m движется со скоростью v, значительно меньшей скорости света с, то она обладает импульсом р=mv, и тогда длина волны де Бройля, соответствующая движению этой частицы, будет определяться выражением:

(13.12)

В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоростью света, длину волны де Бройля также можно представить с помощью выражения:

,

но в этом случае m - это релятивистская масса, m0 - масса покоя частицы,

.

О природе волны, сопоставленной движущейся частице, де Бройль ничего определенного сказать не мог.

345

Волновыми свойствами, согласно представлениям де Бройля, должны обладать любые материальные объекты. Но почему же эти свойства не обнаруживаются в реальной жизни у макроскопических тел? Для ответа на этот вопрос оценим длину волны де Бройля тела массой m= 1 г, движущегося со скоростью v=0,5 м/с:

.

Значение длины волны получилось на 20 порядков меньше размеров атомов! Не существует приборов, которые могли бы измерить столь малые размеры. Волновые свойства проявляются в явлениях интерференции и дифракции. Пока не найдено периодической структуры, на которой можно было бы наблюдать дифракцию волн с длиной волны λ≈10-30 м.

Рассмотрим другой пример. Электрону m=9,11·10-31 кг, движущемуся со скоростью v=106 м/с, согласно гипотезы де Бройля, можно сопоставить волновой процесс с длиной волны

.

Эта величина сравнима с межатомным расстоянием. Как мы уже знаем, дифракция на кристаллической решетке наблюдается для рентгеновского излучения, длина волны которого сопоставима с длиной волны де Бройля электрона. Поэтому существует принципиальная возможность наблюдения волновых свойств электронов. И действительно, явление дифракции электронов экспериментально наблюдалось (об этих экспериментах будет рассказано ниже).

Из рассмотренных примеров видно, что реально наблюдаемыми волновыми свойствами обладают частицы малых размеров, или, как говорят, микрочастицы. Микрочастица - это частица особого рода, сочетающая в себе свойства и частицы, и волны.

Де Бройль использовал представление о волнах вещества для наглядного толкования правила квантования Бора в случае одноэлектронного атома. Он рассмотрел волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона (рис.3.9). Если на орбите длина волны λ укладывается целое число раз, то волна при обходе вокруг ядра будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В каждой точке орбиты установится неизменный колебательный режим во времени и не возникнет излучения. В этом случае орбита получится стационарной. Если указанное условие не выполняется, то при обходе вокруг ядра фаза и амплитуда волны не возвратятся к своим исходным данным и стационарного состояния не получится.

346

Таким образом, стационарной является та орбита, на которой укладывается целое число длин волн, и поэтому можно записать:

(13.13)

где r - радиус круговой орбиты, n - целое число. Покажем, что из условия стационарности ор-

биты (13.13) можно получить правило квантования стационарных орбит в теории Бора .

Рис. 13.9.

Для этого подставим в формулу (13.12) длину волны де Бройля. Получим

.

что совпадает с условием (13.5). В этом де Бройль видел успех своей концепции. На самом деле этот успех призрачный. В рассуждениях де Бройля предполагается, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии - вдоль стационарной орбиты электрона. Такая идеализация соответствует приближению геометрической оптики. Этим приближением можно пользоваться, когда длина волны мала по сравнению с радиусом орбиты электрона (λ<<r), т. е. при больших квантовых числах, а в этом случае проблема квантования не существенна.

13.9. Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля

Дэвиссон и Л. Джермер (1927) исследовали отражение электронов от монокристалла никеля, имеющего кубическую кристаллическую решетку и сошлифованного перпендикулярно к большой диагонали кристаллической ячейки. Перпендикулярно к сошлифованной плоскости в вакууме падал пучок моноэнергетичных электронов, испускаемый электронной пушкой А (см. рис. 3.10). Отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом С, присоединенным к гальванометру. Электрод можно было устанавливать под любым углом φ к направлению падающего пучка, вращая его в одной плоскости (плоскости рисунка). Интенсивность отраженного пучка оценивалась по силе тока гальванометра. Эксперимент проводился при различных углах φ и скоростях электронов v.

347

На рис.3.11 показана зависимость силы тока, измеряемой гальванометром от угла при различных энергиях электронов. Вертикальная ось на графиках определяет направление падающего пучка. Сила тока при заданном угле представляется длиной отрезка, проведенного от начала координат до пересечения с кривой. Каждый график зависимости силы тока от угла получен при различных ускоряющих напряжениях электронов.

Рис. 3.10

Значения этих напряжений указаны под соответствующими графиками. Как видно из рисунка, наибольшая сила тока при всех значениях ускоряющего напряжения наблюдалась при угле φ=500. Кроме того, при данном значении угла сила тока оказалась максимальной при ускоряющем напряжении 54 В.

Рис.3.11

Оценим длину волны де Бройля, отвечающую энергии электрона 54 эВ. Кинетическая энергия электрона связана с его импульсом соотношением:

.

Отсюда импульс электрона

длина волны де Бройля электрона равна:

.

В эксперименте наблюдалось отражение электронов от поверхности кристалла во всех направлениях. Если предположить, что электрону можно

348

сопоставить волновой процесс, то отражению электронов в различных направлениях соответствовало отражение волн де Бройля от определенных атомных плоскостей. В кристалле можно провести бесконечное число атомных плоскостей. Эксперимент показал, что сила тока оказалась наибольшей при угле φ=500. Этот угол соответствовал отражению волн де Бройля от атомных плоскостей, расстояние d между которыми, как было известно из рентгенографических исследований, равно dNi=0,91·10-10 м. Длину волны можно определить с помощью формулы Вульфа-Брэгга, полученной при рассмотрении явления дифракции рентгеновского излучения на кристаллической решетке:

,

где d - расстояние между атомными плоскостями, θ - угол скольжения, n = 1,2,3:.

В опыте измерялся угол φ. На рис.3.12 указаны угол скольжения θ и угол φ.

Рис.3.12

Учитывая, что угол падения, отсчитанный от перпендикуляра к соответствующей атомной плоскости, равен углу отражения, перейдем от φ к углу скольжения θ:

.

Для n =1 из формулы Вульфа-Брэгга (4) оценим длину волны:

Сравнение длины волны, полученной для электрона из формулы де Бройля (3.11) и из формулы Вульфа-Брегга, показывает, что эти длины волн практически совпадают. Таким образом, опыты К. Дэвиссона и Л. Джермера подтверждают гипотезу де Бройля о волновых свойствах микрочастиц.

349

Дж. Томсон (1927) и независимо от него П.С. Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов порядка нескольких десятков киловольт, проходил через тонкую золотую фольгу и попадал на фотопластинку (см. рис. 3.13).

Рис.13.13

Электрон при ударе о фотопластинку оказывает на нее такое же действие, как и фотон (темное пятнышко после проявления). Полученная после проявления фотопластинки электронногорамма, представлена на рис. 3.14, а. На ней видно центральное пятно, окруженное дифракционными кольцами. Пропуская через туже золотую фольгу рентгеновские лучи, получили рентгенограмму (рис. 3.14, б). Сравнивая электроннограмму и рентгенограмму (рис. 3.14, а и 3.14, б), мы видим, что они идентичны. Очень простым опытом Дж. Томсон показал, что дифракционная картина образовывалась самими электронами, а не вторичными рентгеновскими лучами, возбуждаемыми ими: при включении магнитного поля вся дифракционная картина смещалась и искажалась. Этого не должно было бы быть, если бы картина возникла в результате дифракции рентгеновских лучей.

Рис. 13.14

Штерн показал, что для тяжелых атомов, когда длина волны де Бройля очень мала (как это следует из формулы (13.11)), дифракционная картина либо совсем не получается, либо получается весьма расплывчатой. Но для легких атомов и молекул (Н2, Не) наблюдаются весьма четкие дифракционные

картины, с большой точностью подчиняющиеся формуле λ = mvh .

350

В опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера, а также в опытах Дж. Томсона и П.С. Тартаковского интенсивность электронных пучков была велика, так, что через кристалл проходило одновременно большое количество электронов. Поэтому можно было предположить, что дифракционная картина обусловлена одновременным участием большого количества электронов, а отдельный электрон дифракционной картины создает. Для выяснения этого вопроса в 1949 г. В.А. Фабрикант, поставил опыт, в котором интенсивность электронного пучка была столь мала, что электроны проходили через прибор поодиночке. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями электронов через кристалл в 30000 раз больше, чем время прохождения электрона через прибор. При таких условиях взаимодействие между электронами, конечно, не играло ни какой роли. При достаточно длительной экспозиции возникала дифракционная картина, ни чем не отличающаяся от картины, получаемой при короткой экспозиции с пучками электронов, интенсивность которых была примерно в 107 раз больше. Важно, что в обоих случаях общее число электронов, попавших на фотопластинку, было одинаково. Это показывает, что и отдельные частицы обладают волновыми свойствами.

Лекция №4. (Тема 55)

13.10. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости волн

Распространение волнового процесса в однородной изотропной среде описывается волновым уравнением:

волны, ξ - величина волнообразно распространяющегося возмущения, например, смещение частицы относительно положения равновесия в упругой волне, составляющая напряженности электрического или магнитного поля в электромагнитной волне и т. д.

Если волна распространяется только вдоль оси х, то волновое уравнение можно переписать в виде:

.

Решением этого уравнения является уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся в среде, не поглощающей энергию: