u_lectures

252

Различают два вида явления дифракции в зависимости от расстояния точки наблюдения до препятствия или неоднородности, а также от вида волнового фронта в точке наблюдения. Если точка наблюдения расположена достаточно далеко от препятствия и в точку наблюдения после взаимодействия с неоднородностью приходит плоская волна, то говорят о дифракции Фраунгофера. В остальных случаях говорят о дифракции Френеля.

В качестве примера рассмотрим взаимодействие светового потока от источника S с непрозрачной плоской преградой, в которой прорезано отверстие произвольной формы. При дифракции Френеля (рис. 11.19a) в точку наблюдения P, расположенную на экране на конечном расстоянии b от преграды, приходят сферические волны от источника, расположенного на конечном расстоянии a , от преграды, и от точек контура, ограничивающего отверстие. При дифракции Фраунгофера (рис. 11.19b) световой волны от источника S, бесконечно удалённого от преграды, в точку наблюдения P, также бесконечно удалённую от преграды, приходят плоские волны.

Рис. 11.19

Отсюда следует, что дифракция Френеля проявляется в виде интерференции сферических (цилиндрических) волн, приходящих в точку наблюдения от неоднородности, с которой взаимодействует электромагнитная волна (свет). Интерференция цилиндрических волн, представляющая собой частный случай интерференции сферических волн, имеет место в том случае, когда и световая волна и неоднородность среды распространения обладают общей осью симметрии, вследствие которой поле волны и параметры неоднородности одинаковы в любом сечении, перпендикулярном оси симметрии.

253

Рис. 11.20

Дифракция Фраунгофера обусловлена интерференцией параллельных, плоских волн (лучей), приходящих в точку наблюдения от неоднородности, с которой взаимодействует электромагнитная волна (свет). С помощью линзы 2 (рис. 11.20) дифракцию Фраунгофера можно наблюдать на экране, расположенном на конечном расстоянии от преграды, с которой взаимодействует свет (электромагнитная волна). Линза 1 (рис. 11.20), в фокусе которой расположен источник S, используется для освещения отверстия в преграде плоской волной.

Рис. 11.21

254

Важный шаг в понимании явления дифракции электромагнитных волн был сделан Гюйгенсом, который объяснил процесс распространения волны от некоторого источника O с помощью суперпозиции (интерференции!) излучения «вторичных» источников Si , которые могут быть размещены на фронте S распространяющейся волны в произвольный момент времени t (рис. 11.21). В соответствии с принципом Гюйгенса положение волнового фронта S' волны в момент времени t+∆t, t определяется огибающей фронтов сфери-

ческих волн, излучаемых в момент времени t упомянутыми выше вторичными сферическими источниками. Одной из особенностей излучения вторичных источников является их направленность по отношению к направлению распространения волны. Направленность излучения этих источников проявляется в отсутствии излучения в направлении назад к источнику. Большая роль в развитии и применении принципа Гюйгенса принадлежит Френелю, который принял во внимание интерференцию волн вторичных источников, выражающуюся в том, что поле в произвольный момент времени в точке наблюдения волны является суммой сферических волн, излучённых вторичным источниками в предыдущий момент времени с учётом их интерференции.

Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн. Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т.е. волна огибает края отверстия. Явление дифракции характерно для волновых процессов. Поэтому если свет является волновым процессом, то для него должна наблюдаться дифракция, т.е. световая волна, падающая на границу каких-либо непрозрачного тела, должна огибать его (проникать в область геометрической тени). Из опыта, однако, известно, что предметы, освещаемые светом, идущим от точечного источника, дают резкую тень и, следовательно, лучи не отклоняются от их прямолинейного распространения.

Почему же возникает резкая тень, если свет имеет волновую природу? К сожалению, теория Гюйгенса ответить на этот вопрос не могла.

Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил В принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей. Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерферен-

255

ции всех когерентных вторичных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т.е. определить закономерности распространения света. В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложный и громоздкий, однако для некоторых случаев нахождение амплитуды результирующего колебания осуществляется алгебраическим суммированием.

11.9 Зоны Френеля

Как следует из принципа ГюйгенсаФренеля комплексная амплитуда волны в точке наблюдения P (рис.11.21) создаваемая источником монохроматической электромагнитной волны в точке O, может быть найдена как суперпозиция комплексных амплитуд сферических волн, испускаемых вторичными источниками на произвольной замкнутой поверхности S , охватывающей точку O. Пусть S сферическая поверхность радиуса R c центром в точке O. Тогда поле E(P) в точке наблюдения P можно представить суммой полей dE(P), доставляемых электромагнитной волной от бесконечного множества шаровых сегментов dS (рис.11.22а)

E(P)= ∫sdE(P).

Рис. 11.22а.

Рассмотрим «механизм» формирования значения поля E(P) последовательно, начиная от центрального шарового сегмента, центр которого пересекается прямой, соединяющей точки O и P (рис. 11.22а).

256

Рис. 11.22b.

Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 11.22b). Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ô, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S). Френель разбил волновую поверхность О на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М от-

личались на λ/2, т.е. P1M-P0M = P2M-P1M = P3M-P2M =…=λ/2. Подобное раз-

биение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами

b + λ2 , b + 22λ , b + 32λ ,..., b + m2λ .

Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на λ/2, то в точку М они приходят в противоположной фазе, и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

где А1,А2,…,Аm - амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й,..., m-й зонами. Интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фактора, можем записать

A1 > A2 > A3 > A4 ...

В качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебания Аm, от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.

Выражения, стоящие в скобках, согласно (11.9), равны нулю, а оставшаяся часть от амплитуды последней зоны ± А m /2 ничтожно мала.

Таким образом, амплитуда, создаваемая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной центральной зоной.

Приближённо можно полагать, что амплитуды волн от соседних шаровых сегментов равны. Однако фазы этих волн отличаются из-за того, что волны проходят разный путь, тем больший, чем дальше рассматриваемый сегмент расположен от центрального (рис. 11.22). Фаза меняется линейно в зависимости от пройденного волной расстояния от соответствующего шарового сегмента. По этой причине комплексная амплитуда E(P) представляет собой сумму бесконечно большого количества комплексных векторов одинаковой амплитуды, но повёрнутых по отношению к соседнему на одинаковый, бесконечно малый угол. На рис. 11.23a показано в виде комплексного вектора значение E(P), соответствующее такой части поверхности S, когда малые шаровые сегменты создают в точке наблюдения поле, фаза которого отличается на 180о от фазы волны центрального сегмента. Рассмотренная часть поверхности S волнового фронта получила название первой зоны Френеля. Границей, отделяющей первую зону Френеля от остальной части поверхности волнового фронта S, является окружность, в каждой точке которой фаза волн, приходящих в точку наблюдения P, отличается на 180о от фазы волны центрального сегмента.

Обратим внимание, что комплексная амплитуда поля, создаваемая первой зоной Френеля, определяется вектором, обозначаемым E1(P) и совпадающим с диаметром полуокружности, к которой стремится в пределе годограф кривой, представляющей сумму полей, создаваемых бесконечно малыми шаровыми сегментами. Фаза волны, создаваемой первой зоной Френеля, как следует из рис.11.23a, отстаёт на 90о от фазы волны E0(P), создаваемой центральным сегментом.

258

Рис. 11.23

Если подвергнуть поверхность S дальнейшему разбиению на зоны, то получим вторую зону Френеля, граничащую с первой зоной и отделённую от остальной части поверхности S окружностью, в каждой точке которой фаза волн, приходящих в точку наблюдения P отличается на 180о от фазы волн от границы с первой зоной Френеля. Можно заметить, что волны от второй зоны Френеля уменьшают комплексную амплитуду волн, создаваемых первой зоной Френеля, ввиду их противофазного сложения. В первом приближении, если не учитывать убывание амплитуды сферических волн обратно пропорционально расстоянию, сумма волн от первой и второй зон Френеля равна нулю. Но на самом деле, сумма волн, создаваемых первой и второй зоной Френеля хотя и имеет малую величину, но не равна нулю. Поэтому характер годографа волн, создаваемых первой и второй зоной Френеля, в пределе представляет часть некоторой спирали (рис. 11.23b).

Аналогичным образом, продолжая разбиение поверхности S на зоны, т.е. рассматривая третью, четвёртую и т.д. зоны Френеля (рис. 11.24), получим, что соседние чётные и нечётные зоны Френеля ослабляют поля, создаваемые каждой, и вместе образуют годограф, определяющий в пределе величину поля источника E(P) в точке наблюдения, в виде некоторой спирали

(рис. 11.23c).

Границам зон Френеля на спирали соответствуют диаметрально противоположные точки её витков (рис. 11.23c), каждой из которых, соответствуют определяющие её границы радиус на поверхности S. Так, граница m- ой зоны Френеля (m=1,2,...) отстоит от прямой OP на расстоянии rm, называемом радиусом m- ой зоны Френеля. Найдём радиус m- ой зоны Френеля.

Как следует из геометрических соображений (рис. 11.25):

259

где a - расстояние вдоль прямой OP от источника до центра волнового фронта; b - расстояние вдоль прямой OP от центра волнового фронта до точки наблюдения.

r1=0,158 мм. Следовательно, распространение света от S к Р происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SР, т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.

В частном случае бесконечно удалённого источника от точки наблюде-

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонные пластинки. В простейшем случае стеклянные пластинки, состоящие из системы чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, построенных по принципу расположения зон Френеля, т.е. с радиусами rm зон Френеля для данных значений а, b и λ (m=0,2,4,... для прозрачных и m=1,3,5,... для непрозрачных колец). Если поместить зонную пластинку на расстоянии а от точечного источника и на расстоянии b от точки наблюдения на линии, соединяющей эти две точки, то для света длиной волны λ она перекроет четные зоны и оставит свободными нечетные начиная с центральной. В итоге результирующая амплитуда А = А1 + А2 + А3 +… должна быть больше, чем при полностью открытом фронте. И в самом деле: на опыте зонная пластинка во много раз увеличивает интенсивность света в точке Р, действуя подобно собирающей линзе.

Характерной особенностью спирали (рис. 11.23c) является положение фокуса этой кривой, на который она «наматывается» при бесконечно большом числе зон Френеля. Покажем, что фокус располагается в центре полуокружности первого витка спирали (рис. 11.23c), т.е. величина, поля создаваемого первой зоной Френеля, в два раза больше величины поля, создаваемой источником O в точке наблюдения P.

Действительно, пусть E1,E2,...- комплексные амплитуды, создаваемые первой, второй и т.д. зонами Френеля. Тогда искомая комплексная амплитуда в точке E(P), создаваемая всеми зонами Френеля в точке наблюдения, равна

E(P)= E1 + E2 +... = 0,5E1 + (0,5E1 − E2 + 0,5E3 )+ (0,5E3 − E4 + 0,5E5 )+... (11.11)

260

Как было отмечено выше, можно считать, что вклады от соседних зон примерно равны и их величины монотонно уменьшаются. По этой причине можно считать выражения в скобках в (11.11) равными нулю, т. е. имеет место равенство для любого m > l:

Тогда из выражения (11.11) получим:

E(P)= 0,5E1 .

Учитывая, что интенсивность волны пропорциональна квадрату модуля электромагнитных векторов, можно заключить, что интенсивность поля l1, создаваемого первой зоной Френеля, в четыре раза больше интенсивности волны источника l0 точке наблюдения, создаваемой всеми вторичными источниками на поверхности S:

Четырёхкратное уменьшение интенсивности волны, создаваемой первой зоной Френеля, по отношению к интенсивности волны, создаваемой источником в точке наблюдения, связано с упомянутым выше противофазным вычитанием волн от различных зон Френеля на поверхности волнового фронта.

Приближённо, не принимая во внимание уменьшение интенсивности сферической волны с расстоянием, которое она проходит, в расчётах можно полагать, что величиной (11.12) определяется интенсивность волны, создаваемой каждой из зон Френеля, близкой к первой. Это является следствием равенства площадей зон Френеля, соответствующих различным значениям m. Действительно, принимая во внимание (рис. 11.24), находим площадь Sm сферического сегмента радиуса R и высоты hm

Sm = 2πRh m = mπRbλ /(a + b),

и получаем, что площадь m- ой зоны Френеля ∆Em не зависит от m

Sm = Sm Sm 1 = πRbλ/(a + b) .

Разбиение волнового фронта электромагнитной волны на зоны Френеля широко используется для решения различных оптических задач.

Рассмотренный выше метод расчёта с помощью зон Френеля интенсивности света в точке наблюдения применим для анализа задач дифракции электромагнитных волн на простых по форме препятствиях.

11.10 Дифракция электромагнитных волн на круглом отверстии

Пусть экран с отверстием радиуса r0 расположен так, так что центр отверстия расположен на прямой, перпендикулярной плоскости экрана с отверстием, соединяющей точку наблюдения P и точку источника O (рис. 11.25). «Разобьем» поверхность волнового фронта, падающего на отверстие, на зоны Френеля по отношению к точке наблюдения P. Будем называть открытыми