Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2
.pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
Т.А. Кузнецова, Е.А. Кулютникова, А.А. Рябуха
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
Часть 2
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2008
УДК 681.3.01 (075.8) ББК 31.21
К891
Рецензенты:
д-рфиз.-мат. наук, ст. науч. сотрудник А.В. Лебедев (Институт механики сплошных сред Российской академии наук УрО РАН) д-ртехн. наук, профессорН.М. Труфанова
(Пермский государственный технический университет)
Кузнецова, Т.А.
К891 Основы теории цепей: учебное пособие. Ч. II / Т.А. Кузнецова, Е.А. Кулютникова, А.А. Рябуха. – Пермь: Изд-во Перм. гос.
техн. ун-та, 2008. – 308 с.
ISBN 978-5-398-00073-3
Рассмотрены цепи с несинусоидальными источниками, теория четырехполюсников и фильтров, переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Приведены основные положения теории, методы решения задач, вопросы и задачи для самоконтроля, варианты заданий расчетно-графических работ. Рассмотрены вопросы, связанные с применением универсальной инструментальной среды «STRATUM COMPUTER» для проектирования и моделирования электрическойцепи.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 210400 «Телекоммуникации» и специальностям 210405 «Радиосвязь, радиовещание и телевидение», 210200 «Автоматизация технологических процессов и производств», 200800 «Проектирование и технология радиоэлектронных устройств», 180300 «Электроизоляционная, кабельная и конденсаторная техника», 100400 «Электроснабжение» и других электротехнических и радиотехнических специальностей, изучающих курсы «Основы теории цепей», «Теоретические основы электротехники», «Электротехника».
Издано в рамках приоритетного национального проекта «Образование» по программе Пермского государственного технического университета «Создание инновационной системы формирования профессиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на базе многопрофильного технического университета»
УДК 681.3.01 (075.8) ББК 31.21
ISBN 978-5-398-00073-3 © ГОУВПО«Пермскийгосударственный техническийуниверситет», 2008
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ |
|
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ТОКА ............................... |
7 |
1.1. Максимальное, среднее, действующее значения |
|
несинусоидальной функции ... ................................................................... |
13 |
1.2. Коэффициенты, характеризующие периодические |
|
несинусоидальные функции ...................................................................... |
15 |
1.3. Активная и полная мощность несинусоидального тока ......................... |
16 |
1.4. Расчет линейной электрической цепи при несинусоидальных |
|
периодических воздействиях .................................................................... |
18 |
1.5. Высшие гармоники в трехфазных цепях .................................................. |
24 |
1.6. Задачи и вопросы ........................................................................................ |
28 |
Типовые задачи ............................................................................................ |
28 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля ............................................... |
34 |
1.7. Расчетно-графическая работа № 3 ............................................................. |
39 |
Задание ......................................................................................................... |
39 |
Выбор варианта и параметров элементов цепи ........................................ |
39 |
Пример расчета............................................................................................. |
44 |
2. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ.............................................................................. |
49 |
2.1. Классификация четырехполюсников......................................................... |
50 |
2.2. Основные уравнения четырехполюсников................................................ |
51 |
2.3. Режим обратного питания четырехполюсников....................................... |
56 |
2.4. Определение А-параметров с помощью режимов |
|
короткого замыкания и холостого хода..................................................... |
57 |
2.5. Нагрузочный режим четырехполюсника как результат наложения |
|
режимов холостого хода и короткого замыкания .................................... |
59 |
2.6. Эквивалентные схемы замещения четырехполюсника............................ |
60 |
2.7. Симметричный четырехполюсник............................................................. |
62 |
2.8. Родственные четырехполюсники............................................................... |
62 |
2.9. Характеристические параметры четырехполюсника............................... |
64 |
2.10. Уравнения четырехполюсника в гиперболических функциях.............. |
66 |
2.11. Режим согласованной нагрузки четырехполюсника.............................. |
67 |
3
2.12. Передаточные функции четырехполюсника........................................... |
70 |
2.13. Соединения четырехполюсников............................................................. |
72 |
2.13.1. Каскадное соединение................................................................... |
72 |
2.13.2. Параллельное соединение............................................................. |
74 |
2.13.3. Последовательное соединение..................................................... |
75 |
2.14. Задачи и вопросы....................................................................................... |
76 |
Типовые задачи.......................................................................................... |
76 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля.............................................. |
87 |
2.15. Расчетно-графическая работа № 4 ........................................................... |
91 |
Задание........................................................................................................ |
91 |
Выбор варианта и параметров элементов цепи...................................... |
92 |
Пример расчета.......................................................................................... |
96 |
3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ................................................................... |
109 |
3.1. Классификация фильтров.......................................................................... |
110 |
3.2. Реактивные фильтры.................................................................................. |
111 |
3.3. Согласованный режим работы фильтра .................................................. |
114 |
3.4. Определение частоты среза....................................................................... |
117 |
3.5. Классификация фильтров по пропускаемым частотам.......................... |
119 |
3.5.1. Фильтры низких частот................................................................. |
120 |
3.5.2. Фильтры высоких частот.............................................................. |
124 |
3.5.3. Полосовые и заграждающие фильтры......................................... |
126 |
3.5. Задачи и вопросы....................................................................................... |
128 |
Типовые задачи........................................................................................ |
128 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля............................................ |
131 |
4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ |
|
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ............................................................................ |
134 |
4.1. Общие вопросы теории переходных процессов..................................... |
134 |
4.2. Классический метод расчёта переходных процессов............................. |
137 |
4.2.1. Определение принужденной составляющей............................... |
139 |
4.2.2. Определение порядка цепи n ........................................................ |
139 |
4.2.3. Определение корней характеристического уравнения.............. |
141 |
4.2.4. Определение постоянных интегрирования................................. |
144 |
4.2.5. Применение резистивных схем замещения................................ |
145 |
4.2.6. Переходные процессы в цепях I порядка.................................... |
147 |
4
4.2.7. Переходные процессы в цепях II порядка................................... |
158 |
4.3. Задачи и вопросы ....................................................................................... |
181 |
Типовые задачи........................................................................................ |
181 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля............................................ |
192 |
4.4. Расчетно-графическая работа № 5............................................................ |
198 |
Задание...................................................................................................... |
198 |
Выбор варианта........................................................................................ |
199 |
Пример расчета........................................................................................ |
202 |
4.5. Операторный метод расчета переходных процессов ............................. |
210 |
4.5.1. Преобразование Лапласа............................................................... |
211 |
4.5.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.......................... |
213 |
4.5.3. Эквивалентные операторные схемы............................................ |
215 |
4.5.4. Порядок расчета переходных процессов |
|
операторным методом................................................................... |
216 |
4.5.5. Нахождение оригинала по изображению.................................... |
217 |
4.5.6. Расчет свободных составляющих операторным |
|
методом........................................................................................... |
223 |
4.5.7. Задачи и вопросы........................................................................... |
225 |
Типовые задачи.............................................................................. |
225 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля.................................. |
228 |
4.6. Метод пространства состояний................................................................ |
231 |
4.6.1. Задачи и вопросы........................................................................... |
238 |
4.6.2. Расчетно-графическая работа № 6 ............................................... |
246 |
4.7. Интеграл Дюамеля..................................................................................... |
249 |
4.7.1. Переходные и импульсные характеристики............................... |
249 |
4.7.2. Формы записи интеграла Дюамеля.............................................. |
255 |
4.7.3. Последовательность расчета переходных процессов |
|
при помощи Интеграла Дюамеля................................................. |
259 |
4.7.4. Задачи и вопросы........................................................................... |
259 |
Типовые задачи.............................................................................. |
259 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля.................................. |
268 |
4.7.5. Расчетно-графическая работа № 7 ............................................... |
271 |
4.8. Расчет переходных процессов частотным (спектральным) |
|
методом ...................................................................................................... |
280 |
4.8.1. Применение преобразования Фурье для определения |
|
спектра сигнала.............................................................................. |
281 |
5
4.8.2. Определение частотных характеристик заданной |
|
функции времени........................................................................... |
283 |
4.8.3. Расчет переходных процессов частотным методом................... |
287 |
4.8.4. Связь преобразования Фурье с преобразования |
|
Лапласа ........................................................................................... |
290 |
4.8.5. Задачи и вопросы........................................................................... |
292 |
Типовые задачи.............................................................................. |
292 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля ................................. |
294 |
ОТВЕТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ . .................................................................... |
296 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................ |
301 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.............................................................................................. |
302 |
6
1.ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИСТОЧНИКАМИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. На рис. 1.1 представлена такая кривая, период повторения которой Т. Эта кривая может быть описана функцией
f (t ) = f (t + nT ) = f (t + T ) , |
(1.1) |
где n = 0, 1, 2 и т.д.
Причины появления несинусоидальных сигналов:
1. Источник тока или источник напряжения генерирует несинусоидальный ток или несинусоидальную ЭДС, а все элементы цепи (R, L, C) линейны, т.е. от величины тока независят.
f |
t |
T |
Рис. 1.1 |
2.Источник тока или источник напряжения генерирует синусоидальный ток или синусоидальную ЭДС, но один или несколько элементов цепи нелинейны (вентиль, электрическая дуга, катушка со стальным магнитопроводом).
3.Воздействуют периодические помехи на синусоидальный
сигнал.
4.Используют генераторы сигналов специальной формы (пилообразной, ступенчатой, прямоугольной) в автоматике, вычислительной технике, в различных устройствах радиосвязи.
Существуют два пути расчета линейной электрической цепи при воздействии сигналов такой формы:
7
1.Применение специальных математических приемов, отражающих состояние цепи в каждый момент времени, что приводит
ксложной системе дифференциальных уравнений, поэтому этот путь не нашел применения в инженерных расчетах.
2.Сведение сложной задачи к совокупности более простых и применение известных методов расчета их с учетом особенностей воздействующего сигнала.
Известно, что любая периодическая несинусоидальная функ-
ция f(t) с периодом 2π, удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая на каждом конечном интервале времени конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд, т.е. быть представлена в виде суммы гармонических составляющих – ряд Фурье. Все периодические сигналы, используемые в электротехнике, удовлетворяют условиям Дирихле, поэтому проводить проверку на выполнение условия Дирихле нет необходимости.
Гармонический ряд в тригонометрической форме имеет вид
f (t) = F0 + A1m cos ω1t + B1m sin ω1t + A2m cos 2ω1t + |
|
+B2m sin 2ω1t +K+ Akm cos kω1t + Bkm sin kω1t +K= |
(1.2) |
∞
= F0 + ∑( Akm cos kω1t + Bkm sin kω1t),
k =1
где F0 – постоянная составляющая или нулевая гармоника, равная
среднему значению функции за период; Akm и Bkm – амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих.
Как известно из курса математики, коэффициенты ряда Фурье F0 , Akm и Bkm определяются с помощью формул:
F = |
2 |
T |
f (t)dt; A |
= |
2 |
T |
f (t) cos kω tdt; B |
= |
2 |
T |
f (t)sin kω tdt. |
||
T |
∫ |
T |
∫ |
T |
∫ |
||||||||
0 |
km |
|
1 |
km |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
Сумма косинусоид и синусоид, выражаемая формулой (1.2), может быть представлена в так называемой амплитудно-фазовой
8
форме в виде суммы только одних синусоид с соответствующими начальными фазами:
f (t) = f (t + nT ) = F0 + f1 + f2 +K+ fn +K= |
|
= F0 + F1m sin (ω1t + ψ1 ) + F2m sin (2ω1t + ψ2 ) +K |
(1.3) |
∞ |
|
K+ Fkm sin (kω1t + ψk ) +K= F0 + ∑ Fkm sin (kω1t + ψk ), |
|
k =1 |
|
где F0 – постоянная составляющая; f1 – основная |
синусоида, или |
||||
первая гармоника; f2, …, fk – |
высшие гармоники; Fkm – амплитуда k-й |
||||
гармоники; |
ψk – начальная |
фаза k-й гармоники; |
|
ω1 – частота |
|
повторения |
первой (основной) гармоники, ω1 = |
2π |
; Т – период |
||
|
|||||
|
|
|
T |
||
несинусоидальной периодической функции. |
|
|
|||
Гармоники, для которых индекс гармоники k – нечетное число, |
|||||
называют нечетными, для которых k – четное число, – |
четными. |
||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
Fkm sin(kω1t + ψk ) = Fkm sin ψk cos kω1t + Fkm cos ψk sin kω1t ,
то из сравнения двух форм записи гармонического ряда (1.2) и (1.3) имеем
Akm = Fkm sin ψk , Bkm = Fkm cos ψk . |
(1.4) |
Соотношения (1.4) позволяют переходить от ряда Фурье в виде (1.3) к виду (1.2). Обратный переход осуществляется по формулам
|
|
|
|
arctg |
Akm |
при Bkm > 0, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A |
|
|
Bkm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Fkm = |
Akm2 + Bkm2 ; tgψk = |
km |
или ψk |
= |
|
|
|
|
(1.5) |
Bkm |
|
|
Akm |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
π+arctg |
|
|
при Bkm |
< 0. |
|
|
|
|
|
|
Bkm |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае ряд Фурье содержит бесконечное число членов. Но поскольку ряд Фурье является сходящимся, в зависимости от требуемой точности можно рассматривать некоторое конечное число гармоник.
9
Приборы, называемые гармоническими анализаторами, позволяют определять коэффициенты Akm и Bkm или механически – по заданному графику кривой f(t), или электрически – путем подачи на зажимы прибора исследуемого несинусоидального напряжения.
Периодические несинусоидальные функции, описывающие изменения токов или напряжений в электрических цепях, обычно обладают каким-либо видом симметрии, и это облегчает разложение их в ряд Фурье.
В ряде случаев целесообразно представить ряд Фурье в комплексной форме
|
1 |
q=+∞ |
|
|
f (t) = |
∑ e jqω1t F ( jqω1 ) , |
(1.6) |
||
|
||||
|
T q=−∞ |
|
||
где |
|
|
||
|
|
+T 2 |
|
|
F ( jqω1 ) = ∫ f (t)e− jqω1t dt . |
(1.7) |
|||
−T 2
В выражении (1.6) каждой k-й гармонике соответствует сумма двух сопряженных членов (при q = + k и при q = – k), равная удвоенной вещественной части каждого из этих членов:
1 |
|
jkω t |
|
|
|
|
1 |
|
− jkω t |
|
|
|
2 |
jkω t |
|||||
|
|
e |
1 |
F ( jkω1 ) + |
|
e |
1 F (− jkω1 ) = Re |
|
|
F ( jkω1 )e |
1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|||
Обозначив F ( jkω1 ) = F (kω1 )e jαk , получим |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
jkω t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Re |
|
F ( jkω1 )e |
1 = |
|
|
|
F (kω1 ) cos(k |
ω1t + αk ) = |
|
|||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
2 |
F |
(kω )sin(kω t + ψ |
|
), |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
T |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ψk = π
2 + αk .
Таким образом, величина |
|
|
|
||||
|
2 |
F (kω )e jψk = j |
2 |
F (kω )e jαk = j |
2 |
F ( jkω ) |
|
|
|
|
|
||||
|
T |
1 |
T |
1 |
T |
1 |
|
|
|
|
|
||||
(1.8)
(1.9)
(1.10)
10