Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

Для определения тока i1(t) необходимо независимо рассчитать три схемы (рис. 1.6).

Постоянную составляющую тока i1(t) находим, используя схему (см. рис. 1.6, а). Поскольку конденсатор не пропускает постоянный ток, а индуктивность представляет нулевое сопротивление постоянному току, то схема становится одноконтурной и постоянная составляющая тока i1(t)

где первый индекс означает номер ветви, а индекс, заключенный

в

Рис. 1.6

22

Первую гармонику тока находим в соответствии со схемой (см. рис. 1.6, б). Из условия задачи ясно, что на частоте ω1 в цепи наблюдается резонанс напряжений, поэтому

I&1(1) = E&1 = E1m e jα .

R1 2

Примечание: если воздействующая ЭДС несинусоидальна, тов электрической цепи могут возникать резонансные режимы (резонансы токов или резонансы напряжений) не только на первой гармонике, но и на высших гармониках. Под резонансом на k-й гармонике понимают такой режим работы, при котором ток k-й гармоники на входе цепи по фазе совпадает с k-й гармоникой ЭДС, действующей на входе (но при этом токи остальных гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их ЭДС). Резонанса можно достичь, изменяя частоту, емкость или индуктивность. При возникновении резонансного или близкого к нему режима на какой-либо высшей гармонике токи или напряжения этой гармоники могут оказаться большими, чем токи инапряжения первой гармоники на участках цепи, несмотря на то, что амплитуда соответствующей высшей гармоники ЭДС на входе цепи может быть в несколько раз меньшеамплитуды первой гармоники ЭДС.

Вторую гармонику определяем в соответствии со схемой (см. рис. 1.6, в). Сопротивления реактивных элементов

Комплексное действующее значение второй гармоники тока i1

Мгновенное значение тока i1(t) для схемы (см. рис. 1.5) равно сумме мгновенных значений тока отдельных гармоник:

23

Действующее значение тока

I1 = I1(2 0) + I1(1)2 + I1(2 2) .

1.5. ВЫСШИЕ ГАРМОНИКИ В ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ

Фазные ЭДС симметричного трехфазного генератора часто содержат высшие гармоники. Каждая ЭДС (eA, eB, eC) повторяет по форме все остальные со сдвигом на одну треть периода ( T 3 )

и может быть разложена на гармоники. Постоянная составляющая обычно отсутствует.

Пусть k-я гармоника ЭДС фазы А

Поскольку ЭДС фазы B отстает от ЭДС фазы А на T 3 , а ЭДС фазы С опережает ЭДС фазы А на T 3 , то k-е гармоники ЭДС фаз B и C

Сравнивая полученные выражения для различных значений k, можно заметить, что ЭДС гармоник порядка, кратного трем (k = 3n, где n – любое целое число), во всех фазах в любой момент времени имеют одно и то же значение и направление (все три ЭДС проходят через максимум одновременно – нулевая последовательность фаз).

При k = 3n+1 гармоники трех фаз образуют симметричную систему ЭДС, последовательность которой совпадает с последовательностью фаз первой гармоники (ЭДС проходят через максимумы в порядке A,

24

B, C – прямая последовательность фаз). При k = 3n+2 гармоники образуют симметричную систему ЭДС с последовательностью, обратной основной (ЭДС проходят через максимумы в порядке A, C,

B – обратная последовательность фаз).

Кривые ЭДС, индуктируемые в обмотках трехфазных генераторов, симметричны относительно оси абсцисс, и в их разложении отсутствуют постоянные составляющие и четные высшие гармоники. Поэтому в дальнейшем ограничимся исследованием только нечетных гармоник.

Рассмотрим особенности работы трехфазных цепей, вызываемые гармониками, кратными трем.

1. При соединении обмоток трехфазного генератора в треугольник (рис. 1.7, а) по ним будут протекать токи гармоник, кратные трем, даже при отсутствии внешней нагрузки.

Алгебраическая сумма первых гармоник фазных ЭДС и всех высших гармоник, не кратных трем, в контуре треугольника равна нулю. Поэтому от этих гармоник при отсутствии нагрузки по замкнутому треугольнику ток протекать не будет. Гармоники же, порядок которых кратен трем, совпадают по фазе во всех фазных обмотках, поскольку образуют систему нулевой последовательности, и их сумма равна 3E&3 (алгебраическая сумма гармоник, не кратных трем,

равна нулю). Тогда в треугольнике ток третьей гармоники

25

где Z 3 – сопротивление обмотки каждой фазы для третьей гармоники.

Аналогичные выражения можно получить для всех гармоник, кратных трем. Тогда действующее значение тока, протекающего по замкнутому треугольнику,

Падения напряжения в обмотках вследствие протекания этого тока компенсируют вызывающие ток ЭДС. Поэтому напряжения между выводами фаз не содержат гармоник, порядок которых кратен трем.

2. Если соединить обмотки трехфазного генератора в открытый треугольник (рис. 1.7, б), то при наличии в фазных ЭДС гармоник, кратных трем, на зажимах В и В’ будет напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем:

Открытый треугольник с ЭДС, содержащими высшие гармоники, применяется как утроитель частоты.

3. В линейном напряжении независимо от того, в звезду или треугольник соединены обмотки генератора, кратные трем гармоники отсутствуют. Эту особенность рассмотрим для режима холостого хода генератора, т.е. когда внешняя нагрузка отсутствует. Однако это свойство справедливо и при наличии нагрузки.

Рассмотримсначаласхемусоединениявтреугольник(см. рис. 1.7, а)

26

При соединении в звезду линейное напряжение третьей гармоники равно разности соответствующих фазовых напряжений. Поскольку третьи гармоники в фазовых напряжениях образуют системы нулевой последовательности, т.е. совпадают по фазе, то при составлении этой разности они вычитаются. В фазовом напряжении могут присутствовать все гармоники (постоянная оставляющая обычно отсутствует). Следовательно, действующее значение фазового напряжения

Uф = U12 +U32 +U52 +U72 +K,

а в линейном напряжении отсутствуют гармоники, кратные трем, поэтому

Uл = 3 U12 +U52 +U72 +K.

Отсюда следует, что

При соединении генератора и симметричной нагрузки в звезду и при отсутствии нейтрального провода токи третьих и других гармоник нулевой последовательности не могут протекать по линейным проводам, так как в такой схеме сумма токов в любой момент времени должна равняться нулю, что невозможно при наличии высших гармоник порядка, кратного трем. Поэтому в приемнике нет напряжений от токов нулевой последовательности, и между нейтральными точками генератора и симметричной нагрузки может появиться значительное напряжение, содержащее только гармоники, кратные трем, которое может достигать опасных для жизни значений:

иO 'O = E3m sin (3ωt + ψ3 ) + E6m sin (6ωt + ψ6 ) +K,

а его действующее значение

27

В схеме звезда– звезда при симметричной нагрузке фаз при наличии нулевого провода по нему протекает ток тройной частоты:

где Z н3 – сопротивление нагрузки для третьей гармоники; Z O3 – сопротивление нулевого провода для третьей гармоники. По каждому линейному проводу будет протекать ток I&O3 3 . Аналогично можно найти другие токи от гармоник, кратных трем.

1.6. ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: к цепи (рис. 1.8) приложено несинусоидальное напряжение u(t) = 310sin(314t −15o ) + 77,5sin 942t + 40sin(1570t +19o ) В; парамет-

ры цепи: R = 20 Ом, L = 0,1 Гн, C =11, 25 мкФ.

Найти: мгновенное значение тока i(t), показания измерительных приборов, мощность искажения.

Решение.

28

Значения реактивных сопротивлений

ХL(1) = ω1L = 314 0,1 = 31, 4 Ом;

Комплексное эквивалентное сопротивление цепи

Z (1) = R + jX L(1) − jX C (1) = 20 + j31, 4 − j283 =

= 20 − j251, 6 = 252,3e− j85o Ом.

Ток определяется в соответствии с законом Ома:

Для первой гармоники тока цепь носит емкостный характер.

2. Расчет третьей гармоники.

Комплексное значение входного напряжения

Комплексное эквивалентное сопротивление цепи

Z (3) = R + jX L(3) − jX C (3) = 20 + j94, 2 − j94, 2 = 20 Ом.

Ток определяется в соответствии с законом Ома:

29

Для третьей гармоники в цепи наблюдается резонанс напряжений, цепь носит активный характер.

3. Расчет пятой гармоники.

Комплексное значение входного напряжения

Ток определяется в соответствии с законом Ома:

Для пятой гармоники цепь носит индуктивный характер. Мгновенное значение тока i(t) представляет собой сумму мгно-

венных значений токов всех гармоник,

i(t) = i(1) (t) +i(3) (t) +i(5) (t) =

=1, 23sin(314t + 70o) +3,88sin 942t + 0,39sin(1570t −60o).

4.Определение показаний приборов. Считаем, что амперметр

ивольтметр показывают действующее значение:

30