Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

ном разряде к моменту t2, когда конденсатор полностью разрядился, ток в катушке сохраняет еще конечное значение, что является результатом сравнительно небольших потерь энергии в предыдущем интервале времени.

Сохранившаяся к моменту t2 энергия в магнитном поле катушки является причиной того, что процесс продолжается в последующее время. В интервале t2 < t < t3 , где t3 =Tсв 2 , ток, поддерживаемый

ЭДС самоиндукции, продолжает протекать в том же направлении и заряжает конденсатор, причем напряжение на конденсаторе уже будет другого знака: uC (t) < 0 . В этом промежутке времени энергия

из магнитного поля катушки частично переходит в энергию электрического поля конденсатора и частично превращается в тепло в сопротивлении. К моменту t3 конденсатор заряжается до максимального по модулю значения своего напряжения. В этот момент ток равен нулю, а uL = −uC . В следующую половину периода энергетический

процесс в точности повторяется, но знаки напряжений и тока будут противоположными их знакам в рассмотренном интервале t2 < t < t3 .

Напряжение на конденсаторе в момент t =Tсв будет в ∆ раз меньше начального напряжения U0.

поскольку энергия электрического и магнитного полей не рассеивается. Величину T0 называют периодом незатухающих колебаний. Угловая частота незатухающих колебаний равна резонансной частоте контура.

Принимая вовнимание, что при δ = 0, arctg δ = π , получаем:

ωсв 2

171

Кривые тока и напряжений для этого случая полностью соответствуют характеру этих кривых при установившемся процессе в случае резонанса.

При R ≠ 0 имеем ωсв < ω0 и Tсв >T0 .

В предельном случае, когда R = 2 LC , т.е. δ = ω0 , получаем ωсв = 0 и Tсв = ∞. При этом колебательный разряд переходит в апе-

риодический. Этот предельный случай уже был рассмотрен выше. Получим общий вид системы уравнений для определения по-

стоянных интегрирования для случая комплексных корней характеристического уравнения. Как уже было показано, полное решение запишется в виде

i(t) = iпр + e−δt (M cos ωсвt + N sin ωсвt ) .

Для определения M и N составим систему уравнений:

i(0+ ) = iпр + e0 ( M cos 0 + N sin 0) = iпр + M

i/ (t) = e−δt (−δ)M cos ωсвt + e−δt N (−sin ωсвt ) ωсв +

+Me−δt (−δ)sin ωсвt + Ne−δt ωсв cos ωсвt.

Запишем i′(t ) для t = 0+:

i′(0+ ) =1(−δ) M cos 0 −1ωсвN sin 0 +1(−δ) M sin 0 +1ωсвN cos 0 =

= −δM + ωсвN.

Таким образом, искомая система уравнений имеет вид

172

4.2.7.5. Включение RLC-контура к источнику постоянного напряжения

Ri + Li′+ C1 ∫idt = E;

LCi′′+ RCi′+i = CE .

Поскольку левая часть полученного уравнения совпадает с уравнением, описывающим разряд конденсатора в RLC-контуре, его общее решение (свободная составляющая) будет иметь два экспоненциальных члена с теми же корнями, что и для рассмотренных выше случаев разряда конденсатора.

Получим закон изменения тока:

i(t) = iпр + A1e p1t + A2e p2t .

Ток в установившемся режиме iпр будет равен нулю. Начальное условие для производной тока найдем из следующего уравнения:

Ri(0+ ) + Li′(0+ ) +uC (0+ ) = E,

i′(0+ ) = E .

L

Система уравнений для определения постоянных интегрирования принимает вид

173

Таким образом, ток в цепи изменяется по следующему закону:

или из 2-го закона Кирхгофа

uC (t) = E − Ri(t) − L di . dt

Наличие принужденной составляющей E показывает, что uC является решением неоднородного дифференциального уравнения.

Сравнивая полученные выражения для тока i и напряжений uC, uL с выражениями, полученными при анализе разряда емкости в колебательном контуре, видим, что закон изменения тока и напряжения на индуктивности в обоих случаях один и тот же, но выражения различаются только знаками, так как теперь рассматриваем заряд конденсатора. Напряжение на конденсаторе при разряде изменяется от начального значения (в 0) U0 до нуля, а при заряде – от нуля до конечного значения (принужденной составляющей) E; изменение происходит по аналогичному закону.

174

Найти: закон изменения тока i1(t) после коммутации классическим методом.

i1 i3 = iL

Рис. 4.23

1. Правила коммутации:

iL(0– ) = iL(0+) = 0 А,

uC (0– ) = uC (0+) = JR2 = 20 B.

2. Составление характеристического уравнения цепи.

Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:

iC = i2 , i3 = iL ,i1 = CuC′ +i4 − J ,

i1 = CuC′ −i3 ,i1R1 +uC = E,

i4 R2 − LiL′ −uC = 0,i4 R2 = uJ .

Методом исключения получаем из данной системы дифференциальное неоднородное уравнение

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

p2 + ( L +CR1R2 ) p + R1 + R2 = 0.

R1LC LCR1

176

Подставим значения параметров цепи:

p2 + 700p + 300000 = 0.

Корни характеристического уравнения

p1 = – 350 + j421,308, p2 = – 350 – j421,308

являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

3. Определение принужден-

4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характе-

ристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде

i1св (t ) = e−δt ( A1 cos ωсвt + A2 sin ωсвt ) ,

где δ – декремент затухания, ωсв – частота свободных колебаний, которые определяются через корни характеристического уравнения p1,2 = −δ± jωсв.

Таким образом, в выражении i1св необходимо найти постоянные интегрирования А1 и А2. Вычисление их ведется с помощью системы уравнений, составленных для момента времени t = 0+:

4.1. Определение значений i1 (0+ ) и i1′(0+ ) с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае составляется систе-

177

ма уравнений Кирхгофа для момента времени t = 0+ и методом исключения выражается значение тока i1 (0+ ) через известные значения uC(0+) и iL(0+):

i1 (0+ ) = E −uC (0+ ) = 0,5 A .

R1

Дифференцируя выражение для i1(t), получим

i1′(t) = −uC′ (t) R1 , где uC′ (t) = iC (t)C, t = (0+ , + ∞) .

Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим

Подставив соответствующие значения uC и iL в момент t = 0+, рассчитаем

i1′(0+ ) = −250 A/с.

4.2. Определение i1(0+) и i1′(0+ ) с использованием резистивных

схем замещения в момент t = 0+.

Схема замещения в t = 0+ для величин токов и напряжений, построенная в соответствии с правилами, изложенными в п. 4.2.5, изображена на рис. 4.25.

178

Решив данную систему уравнений, получим

А1 = 0,1667, А2 = – 0,455.

5. Определение полного решения. Полное решение следует ис-

кать в виде

i1(t) = i1пр + i1св.

С учетом произведенных расчетов получим

i1 (t) = 1 + e−350t [0,167 cos 421,308t −0,455 sin 421,308t]. 3

Для удобства построения графика преобразуем полученное выражение в синусоидальную форму:

Таким образом, искомый ток изменяется по закону

i1(t) = 1/3 + 0,485e-350t sin(421,308t + 2,788).

График изменения i1(t) представлен на рис. 4.27.

180