Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

ференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, можно интегрировать в области операторных изображений.

Идея операторного метода заключается в замене вещественной переменной t комплексной переменной p = δ+ jω, осуществляемой

в соответствии с функциональным преобразованием Лапласа. При этом каждой временной функции f (t) , называемой оригиналом (про-

образом), ставится в соответствие функция F ( p) , именуемая изобра-

жением (образом). Эта операция записывается f(t) •=• F(p). В результате такой замены система дифференциальных уравнений для оригиналов преобразуется в систему алгебраических уравнений для их изображений. В результате решения этой системы определяют изображение X ( p) искомой величины, а на заключительном этапе пере-

ходят к физически понятной функции – оригиналу x(t) .

Подобный прием применялся при анализе стационарного решения цепей символическим методом. Однако в то время, как символический метод можно применять лишь к гармоническим функциям, операторный метод обладает значительно большей общностью и применим к широкому классу функций.

4.5.1.Преобразование Лапласа

4.5.1.1.Условия существования, ограничения

Известно, что функция (4.29), называемая интегралом Лапласа,

которая ставит в соответствие оригиналу f(t) операторное изображе-

ние F(p), т.е. f(t) •=• F(p), имеет вид

Поскольку это несобственный интеграл, то надо оговорить условия его сходимости:

♦функция f(t) должна отвечать условиям Дирихле;

♦функция f(t) ограничена, т.е. при t → ∞ она конечна или если и растет по модулю, то не быстрее некоторой экспоненциальной

функции Aeαt , где A и α – положительные числа, т.е. f (t) ≤ Aeαt .

211

В этом случае интеграл Лапласа сходится, т.е. имеет конечное значение при условии, что σ = Re( p) > α .

Итак, всегда можно выбрать достаточно большое σ = Re( p) , не уточняя какое именно, так что F(p) в полуплоскости σ > α является однозначной функцией, т.е. интеграл Лапласа существует в области σ > α .

Основным достоинством преобразования Лапласа является его простая связь с частотным спектром функции f(t), широко используемом в теории и современной технике. В преобразовании Лапласа обычно подразумевают, что интервал интегрирования начинается с момента возмущения t = 0+, так что оно не отражает особенностей функции в точке t = 0.

Преобразование Лапласа может учитывать изменение физической величины в точке t = 0, если его представить в форме

Выбор нижнего предела удобен, т.к. при этом учитываются особенности изменения воздействия и реакции в t = 0, когда они содержат импульсную составляющую, а также при использовании начальных условий (0– ), которые задаются формулировкой задачи.

4.5.1.2.Теоремы операторного метода

Книмотносятся:

1) теоремаободнозначномсоответствии: f(t) •=• F(p) иF(p) •=• f(t);

2) теорема о линейном преобразовании: f(t) •=• F(p) af(t) •=• aF(p);

5)теорема смещения параметра: f(t)eλt •=• F ( p −λ) ;

6)теорема о свертке: если f(t) •=• F(p) и g(t) •=• G(p), то

212

7) предельные соотношения:

Особо следует обратить внимание на ключевые теоремы операторного метода, позволяющие алгебраизировать систему дифференциальных уравнений и производить расчет переходных процессов

в цепях с ненулевыми начальными условиями:

8) теорема о производной: f(t) •=• F(p) f ′(t) •=• pF(p) – f(0);

4.5.1.3.Некоторые типовые преобразования Лапласа

Всправочниках табулировано большое число функций и их изменений, приведем некоторые из них:

4.5.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

213

Каждое слагаемое уравнения (4.32) заменим операторным изображением и выразим ток I(p):

Z ( p)

где Z ( p) = R + pL + 1 – операторное сопротивление; pC

Li(0) – операторная ЭДС, учитывающая ненулевой запас энергии магнитного поля Wм в индуктивности (по току iL(0));

uC (0) – операторная ЭДС, учитывающая ненулевой запас энергии p

электрического поля Wэл в емкости (по напряжению uC(0)).

При нулевых начальных условиях I ( p) = U ( p) , что аналогич-

I ( p)

но закону Ома для цепей постоянного тока.

По I закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю: ∑ik = 0 .

k

Применим преобразование Лапласа к этому уравнению и, воспользовавшись теоремой о сумме, получим

Уравнение (4.34), выражающее собой I закон Кирхгофа в операторной форме, аналогично выражению, справедливому для цепей постоянного тока.

Для любого замкнутого контура электрической цепи можно составить уравнение по II закону Кирхгофа ∑uk = 0 . Применим

k

преобразование Лапласа:

214

Уравнение (4.35) представляет собой математическую запись

II закона Кирхгофа в операторной форме. Произведя разделение сла-

гаемых, характеризующих падение напряжения на пассивных элементах, и параметры источников, получим уравнение (4.36), представляющее модификацию уравнения (4.35) в более употребляемой на практике форме:

Полученное выражение является аналогом записи II закона Кирхгофа для цепей постоянного тока ∑ Rk Ik = ∑ Ek .

Таким образом, при описании цепей при нулевых начальных условиях просматривается полная аналогия с цепями постоянного тока. При ненулевых начальных условиях появляются отличия, заключающиеся в необходимости введения операторных ЭДС, учитывающих и отображающих ненулевой запас энергии магнитного поля Wм в индуктивности и энергии электрического поля Wэл в емкости.

Отсюда следует важный вывод: весь изученный применительно к цепям постоянного тока расчетный аппарат работает и при анализе переходных процессов, только в операторной форме. При этом необходимо учесть, что задающие воздействия источников ЭДС и задающие токи источников тока также должны записываться в виде изображений по Лапласу.

4.5.3. Эквивалентные операторные схемы

При расчете переходных процессов операторным методом удобно составить предварительно операторную схему. В каждой ветви, содержащей накопители энергии (L и C), должны быть при ненулевых начальных условиях учтены две дополнительные внутренние ЭДС Li(0) и uC(0)/p. На рис. 4.77 показаны переходы от элементов с мгновенными значениями токов и напряжений к элементам операторной схемы.

215

4.5.4. Порядок расчета переходных процессов операторным методом

1.Анализ независимых начальных условий (для этого необходимо рассчитать режим работы докоммутационной цепи в момент времени t = 0– ).

2.Составление эквивалентной операторной схемы.

216

3.Расчет операторной схемы любым расчетным методом в операторной форме. Полученное изображение X(p) искомой величины привести к виду рациональной дроби.

4.Определение оригинала x(t) по X(p), т.е. обратный переход.

4.5.5. Нахождение оригинала по изображению

При расчете переходных процессов операторным методом необходимо не только находить изображение функций, их производных и интегралов, но и решать обратную задачу – находить функции (оригиналы) по их изображениям. Существуют следующие способы решения этой проблемы:

1. Использование обратного преобразования Лапласа

которое представляет собой решение интегрального уравнения (4.29) относительно неизвестной функции f(t) и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (4.37) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменного p, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции F(p). Такой способ в прикладных задачах электротехники не используется.

2.Табличный метод. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в математических и электротехнических справочниках. При использовании этого способа возникают трудности, связанные с распознаванием и сведением функций

ктабличному виду.

3.Использование теоремы о вычетах или теоремы разложения. Для каждой функции времени, входящей в уравнение Кирхгофа,

описывающего расчетную цепь, устанавливается в соответствие операторное изображение, после чего система линейных дифференциальных уравнений переписывается в виде системы алгебраических уравнений (также получаем операторную схему замещения). Система алгебраических уравнений рассчитывается относительно операторно-

217

го изображения искомой величины, по которому с помощью теоремы разложения находится оригинал.

Теорема разложения имеет две модификации в зависимости от операторного изображения искомой величины:

В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (4.39) позволяет определять оригиналы сигналов, имеющих принужденную составляющую.

Если уравнение F2(p) = 0 имеет комплексные сопряженные корни pi и pi* , то достаточно вычислить слагаемое сумм (4.38) или

(4.39) только для корня pi , а для корня pi* взять значение, сопряженное этому слагаемому, т.е.

218

Если среди корней многочлена F2(p) = 0 есть q простых корней (p1, p2, …, pq), корень pr кратности r и корень ps кратности s, то можно записать теорему разложения с двойной суммой в правой части (одна сумма – по числу корней, а вторая – для каждого корня по порядку его кратности):

Если нужно вычислить начальное (при t = 0+) и установившееся (при t = ∞) значения оригинала, т.е. f(0+) и f(∞), то можно воспользоваться формулами (4.38) и (4.39). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, если установившийся процесс непериодический, определяются достаточно просто по так называемым предельным соотношениям:

f (0+ ) = lim pF ( p) (4.43)

p→∞

и

Рассмотрим специфические особенности применения метода. Пример 1. Рассмотрим заряд конденсатора при подключении RC-цепи на постоянное напряжение (рис. 4.78, а). Определим закон

изменения uC (t) в переходном режиме.

Цепь с нулевыми начальными условиями. Соответствующая операторная схема замещения представлена на рис. 4.78, б.

Операторное изображение напряжения на конденсаторе определим по закону Ома:

UC ( p) = 1 I ( p). pC

219

Рис. 4.78

Изображение тока в операторной схеме замещения

Для отыскания uC (t) воспользуемся теоремой разложения в фор-

ме (4.39):

Используя предельные соотношения (4.43), (4.44), определим соответственно начальное и установившееся значения напряжения на конденсаторе:

Аналогичные значения будут получены по формуле, описывающей закон изменения uC (t) в переходном режиме

220