Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

и

C=14 Ф.

1.Анализ независимых начальных условий по схеме в докоммутационном установившемся режиме. Поскольку этот режим обусловлен источником постоянной ЭДС, то емкость равносильна разрыву,

аиндуктивность – короткому замыканию (рис. 4.80).

Ток в ветви с источником определяется по формуле

напряжение на емкости

uC (0− ) = i1 (0− )Rab = i1 (0− ) 2R = 2 B. 2

2. Эквивалентная операторная схема замещения представлена на рис. 4.81.

221

F3 ( p) = p2 + 7 p +8 – характеристическое уравнение, корни которого соответственно определяются как

F3 ( p) = 0 → p1 = −2; p2 = −5 ; F3′( p) = 2 p + 7 .

Таким образом,

В тех случаях, когда изображение искомой величины может получиться громоздким (например, при наличии в цепи источников гармонических напряжений), имеет смысл применять операторный метод только для определения свободных составляющих переходного процесса. Для этого при составлении эквивалентной операторной схемы для свободных составляющих следует придерживаться следующих рекомендаций. Необходимо:

– удалить источники питания (источники напряжения замкнуть накоротко, ветви с источниками тока разомкнуть);

– операторные ЭДС в индуктивности и емкости должны определяться начальными значениями только свободных составляющих

223

Проиллюстрируем эту идею на предыдущем примере, для чего сначалаопределимпринужденныесоставляющие iLпр и uCпр (рис. 4.82):

После преобразований получим

Воспользуемся теоремой разложения в форме (4.38), корни характеристического уравнения:

224

4.5.7. Задачи и вопросы

Типовая задача

Задача. В цепи (см. рис. 4.23) с параметрами: Е = 30 В, J = 2 А, R1 = 20 Ом, R2 = 10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн определить ток i1(t) операторным методом.

Решение. С учетом независимых начальных условий (индуктивный ток iL(0– ) = 0 А, емкостное напряжение uC(0– ) = 20 B) изобразим операторную схему замещения (рис. 4.84).

Рис. 4.84

Решение получается проще при использовании метода контурных токов. Контурные токи выберем так, как показано на рис. 4.84.

Определим собственные и общие сопротивления, а также контурные ЭДС, полученные выражения подставим в систему уравнений:

225

Решим систему уравнений при помощи метода определителей:

Изображение тока в первой ветви определится по формуле

226

Определим оригинал искомого тока с помощью теоремы разложения. Многочлен второй степени знаменателя приравняем нулю

и получим характеристическое уравнение цепи F3 ( p) = 0,1p2 + 70 p +

+3 104 = 0 , решением которого являются комплексные сопряженные корни

p1,2 = −350 ± j421,31 ,

которые совпадают с полученными при решении классическим методом.

Оригинал тока определяем по формуле (4.41). Вычислим производную F3′( p) и значение производной, а также значение много-

члена F1 ( p) при корне p1 = −350 + j421,31 , подставим в (4.41):

=1 + 0, 484e−350t cos(421,31t + 69,88o ) = 3

=1 + 0, 484e−350t sin(421,31t +159,88o ) = 3

=1 + 0, 484e−350t sin(421,31t + 2,79). 3

227

Данное решение совпадает с решением, полученным классическим методом (см. п. 4.2.7.8.).

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.В чем состоит различие в учете независимых начальных условий при расчете переходных процессов в линейных электрических цепях классическим и операторным методом?

2.Верно ли утверждение: в операторной схеме замещения:

а) индуктивность заменяется на резистор с величиной pL и содействующий источник тока;

б) емкость заменяется на резистор с величиной 1/pС и противодействующий источник ЭДС;

в) источник ЭДС заменяется на источник ЭДС величиной E/p; г) резистор заменяется сам на себя?

3. При выполнении какого условия:

а) входное операторное сопротивление Z(p) двухполюсника можно получить, заменяя величину jω на p в выражении его ком-

плексного входного сопротивления Z ( jω) , рассчитанного символи-

ческим методом; б) система уравнений Кирхгофа в операторной форме совпадает

с аналогичной системой уравнений, составленной для этой же цепи символическим методом при замене p на jω, операторных изображе-

ний электрических величин на их комплексные представления; в) можно сложить операторные изображения сопротивлений

(проводимостей) последовательных (параллельных) участков электрической цепи?

4. Можно ли определить:

а) корни характеристического уравнения электрической цепи, зная операторное сопротивление этой цепи;

б) наличие принужденной составляющей в выражении искомой величины в переходном режиме по виду операторного изображения этой величины;

в) независимые начальные условия цепи по виду операторного изображения тока (напряжения);

228

г) характер переходного процесса в цепи второго порядка по виду операторного изображения напряжения произвольного участка электрической цепи;

д) закон изменения искомого тока в переходном режиме по виду операторного изображения этого тока, не используя теорему разложения?

5. Заданы параметры элементов электрической цепи (рис. 4.85), известно, что uC (0− ) ≠ 0 . Определитьоператорноеизображение UC ( p) .

6. Для электрической цепи (рис. 4.86) задано: E = 100 В, R1 = R2 = 10 Ом, L = 0,1 Гн, С = 10 мкФ. Найти операторное изобра-

жение UC ( p) , U L ( p) , IC ( p) , IL ( p) .

7. Заданы параметры элементов электрической цепи (рис. 4.87), известно, что E, J = const. Найти операторное изображение UC ( p) ,

IC ( p) , IL ( p) .

8. Для электрической цепи (рис. 4.88) при помощи операторной схемы замещения определить:

а) ток i(t), если E = 100 В, R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, С1 = 60 мкФ, С2 = 20 мкФ;

б) начальное значение uC (0) и значение в новом стационарном режиме uCпр , если E1 = 120 В, E2 = 100 В R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом,

С = 100 мкФ;

в) ток iк(t), если E = 100 В, R1 = R2 = 10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн.

229