Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

examples_of_typical_problems

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Второй способ решения того же самого примера.

tgt

sin t

; dx

dt;

sin t cos 4 t

cos

2 t

cos t

cos

tdt

cos

t sin t

x 2

tgt;

tgt

cos3 t

cos 2t dt

sin 2t

2 sin t cos t

x 2 1

arccos

x 2

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением

arcsin

arccos

а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а

также сложностью вычислений и преобразований.

Пример.

sin t;

cos tdt

cos tdt;

tgt C

(1 x 2 )3 / 2

cos3 t

cos 2

1 x2

cos t

1 x2

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример.

1		x sint;		/ 2		/ 2	1	/ 2

1	x2 dx	0;	/ 2		1 sin2 t costdt	cos2 tdt		(1 cos2t)dt
							2
0				0		0		0

1	t	1	sin 2t
2		2

/ 2			1
				sin		.
	4	4			4
0

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

tgx t

sin 2

x cos 2 x

cos 2

x(1 tg 2 x)

1 t 2

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из -за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пример.

b	b

cos xdx

lim cos xdx

lim sin x

lim (sin b sin 0) lim sin b - не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример.

lim

1 - интеграл сходится

x b

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:			yy	2x

				cosy
				cosy
y cos y	dy	2x
y cos y	dx	2x
	dx

y cos ydy 2xdx y cos ydy 2xdx

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

y cos ydy	u	y; dv	cos ydy;		y sin y	sin ydy y sin y cos y
	du	dy; v	sin	y

		y sin y		cos y	x2	C

y sin y cos y x2 C 0

-это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

y sin y yy cos y y sin y 2x 0

yy cos y - верно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения	y	ln y при условии у(2)

	y
	y

= 1.

ydx ln y dy

dx	ln ydy

		y

dx		ln ydy

		y

x C ln yd (ln y)

x C

ln 2 y

при у(2) = 1 получаем 2

ln 2 1

;

Итого: 2(x 2)

ln2

или y e

2 x 4

- частное решение;

Проверка:

2 x

, итого

2 x 4 (

2x 4

ln y - верно.

2 x 4

Пример. Решить уравнение y

y 2 3 .

y 23 dy

y 2 3 dy

3y 13

27y

C)3 - общий интеграл

C)3 - общее решение

Пример. Решить уравнение y

x( y2

1).

dx;

y 2

arctgy

C ;

Пример. Решить уравнение

e y

0 при условии у(1) = 0.

ydy

xe y

ydy

xey dx

xdx;

e y

eyy dy xdx;

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ).

ye y dy

y; e y dy

dv;

e y y

e y dy

e y y

e y

e y ( y 1);

dy; v

e y ;

e y ( y

x 2

;

2e y ( y

1) x2

Если у(1) = 0, то 2e0 (0 1) 1 C;

1 C;

Итого, частный интеграл: 2e y ( y 1) x2 1.

Пример. Решить уравнение y

sin(x

y) sin(x y) .

y sin(x

sin(x

y 2 sin

cos

y x

2sin(

y) cosx

2sin y cosx

2 cos xdx;

cos xdx;

sin y

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

ln	tg	y	2sin x C

	2

Пример. Решить уравнение 2xe x

Преобразуем заданное уравнение:

2xe x

ydx

2xe x

e x2

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Пример. Решить уравнение y

x( y2

1) .

x( y

xdx

y 2

xdx;

arctgy

x 2

;

y 2

y tg

x 2

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

arctgy

;

arctgy

;

Получаем частное решение y

arctgy

x02

Пример. Решить уравнение (x

3)dy

(2x

1)dx

Получаем (x 2 y 3)

;

2 y

Находим значение определителя

0 .

Решаем систему уравнений

;

1/ 5;

x 2 y 3 0

x 2 4x 3 0

y 7 / 5

Применяем подстановку x

1/ 5;

7 / 5; в исходное уравнение:

(u 1/ 5 2v

14/ 5 3)dv (2u

2 / 5

7 / 5

1)du 0;

(u 2v)dv (2u

v)du

2 v / u

;

2v / u

Заменяем переменную

t; v

ut;

t u

при

подстановке в выражение,

записанное выше, имеем:

t u

Разделяем переменные:

2t 2

2(1

t 2 )

;

dt;

(1 2t)dt

;

2 1 t t 2

t 2

ln C

t 2

2 ln

C u

; 1 t t 2

1 t t 2

;

u 2

Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.

y 7 / 5 5 y 7

; u x 1/ 5;

1/ 5

5y 7

25C2

;

5x 1

(5x 1)2

(5x

1)2

(5y

7)(5x

1) (5y

25C

25x2

10x

1 25xy

35x

25y2

70y

49 25C

25x2

25x

25xy

75y

25y2

25C

x 2

x xy 3y y 2

Итого, выражение

является

общим

интегралом исходного

дифференциального уравнения.

В случае если

в исходном

уравнении

вида

определитель

a1 x

b1 y

a b

0, то переменные могут быть разделены подстановкой

a1 b1

ax by t.

Пример. Решить уравнение 2(x

y)dy

(3x

1)dx

Получаем 2(x

3x 3y 1

;

2 y

Находим значение определителя

Применяем подстановку 3x

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

3(t

; 2t(t

9; 2tt

3t 9;

Разделяем переменные:

dx;

t 3

t 3ln

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.

2x 2 y 2 ln

3(x y 1)

x C2 ;

3x 2 y 2 ln 3 2 ln x y 1 C2 ; 3x 2 y 2 ln x y 1 C;

таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение xy

xy2 ln x.

Разделим уравнение на xy2:

ln x.

y 2

Полагаем z

;

y 2

z ln x;

ln x .

Полагаем P

ln x.

eln x

ln xe ln x dx C ;

z e

ln xe

x dx

C ;

ln x

C ;

ln xd(ln x) C ;

ln 2 x

Произведя обратную подстановку, получаем:

1	x	ln 2 x	C .
y		2

x 2

Пример. Решить уравнение xy

4 y

Разделим обе части уравнения на x

y dx

Полагаем z

y; z

y ; y

y z ;

z x;

dz 2z

2 y z

;

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

dz	2z	0;	dz	2z	;	dz	2dx	;
dx	x		dx	x		z	x

dz	2	dx	C ; ln z 2 ln x

z		x	1

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный уравнение, с учетом того, что:

ln C; z Cx 2 ;

результат в линейное неоднородное

2xC(x) x

dC(x)

;

2xC(x) x

2 dC(x) 2x2C(x)

;

dC(x)

;

C(x)

ln x C2 ;

Получаем: z x2 C		1	ln x ;
Получаем: z x2 C	2	2	ln x ;
	2

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

		2
y x4 C		1	ln x ;
y x4 C	2	2	ln x ;
	2

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

y	y	x 1; y(1) 0.

	x
	x

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

;

ln y

ln x

ln C;

Cx;

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид: y C(x)x;

Дифференцируя, получаем: y C (x)x C(x);

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

C (x)x C(x) C(x) x 1

xC (x) x

C (x) 1

;

C(x)

dx C;

C(x)

x ln x

Итого, общее решение:

x(x

ln x

C).

C учетом начального условия

y(1)

0 определяем постоянный коэффициент C.

ln1 C;

Окончательно получаем:

x ln x

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение:

2x ln x x	1	1 x ln x 1 x 1; верно
	x

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

1.5

0. 5

1. 5

- 0.

Пример. Найти общий интеграл уравнения x( y2

1)dx

y(x2 1)dy 0 .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

xdx

ydy

xdx

ydy

;

1 y 2 1

x2 1

y 2

ln C;

Общий интеграл имеет вид:

(x2

1)(y2

1) C.

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.

С = - 0,5

С = -0,02

С = -1

С = -2

1. 5

0. 5

- 2

- 1

- 0. 5

- 1

- 1. 5

- 2

С = 0,02

С = 0,5

С = 1

С = 2

Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее

заданным начальным условиям.

y cosx

( y

1)sin x;

y(0)

Это уравнение с разделяющимися переменными.

sin x ;

tgxdx;

cos x

tgxdx;

ln y

ln cos x

ln C;

ln ( y

1) cos x

ln C;

( y

1) cos x

Общее решение имеет вид:

cos x

Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.

0	С	1; C 1.

	1
	1

Окончательно получаем: y 1. cos x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.2016356.48 Кб17ELSnabStroiPl_Kursovoi(1).pdf
#
12.03.2016690.29 Кб39EN 1990.2002 Basis of structural design.pdf
#
29.03.201563.65 Кб118energetika__33__33__33_-_kopia.docx
#
29.03.2015431.06 Кб9english.docx
#
07.09.2019372.19 Кб2Erica Lawson - Possessing Morgan.docx
#
29.03.20151.92 Mб9examples_of_typical_problems.pdf
#
28.03.2015159.74 Кб25ExceLab1.doc
#
29.03.2015241.66 Кб21ExceLab1.doc
#
28.03.201563.49 Кб17ExceLab2.doc
#
29.03.2015248.83 Кб16ExceLab2.doc
#
29.03.2015492.03 Кб29ExceLab3.doc