Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

examples_of_typical_problems

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

x(x 1)3

(x 1)3 3x(x 1)2 (x 1)2 (x 1 3x) (x 1)2 (4x 1)

Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим: x = 1, x = ½.

Систематизируем полученную информацию в таблице:

	(- ; ¼)	1/4	( ¼ ; ½)	1/2	( ½ ; 1 )	1	(1 ; )
f (x)	+	+	+	0	-	0	+
f (x)	-	0	+	+	+	0	+
f(x)	убывает	min	возрастает	пере	возрастает	пере	возрастает
	вып.вниз		вып.вниз	гиб	вып.вверх	гиб	вып. вниз

6. Построим график функции.

0. 4

0. 2

- 0. 5

0. 5

1. 5

-0. 2

-0. 4

НЕЛОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример. Найти неопределенный интеграл sin x cos xdx .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

1 / 2

3 / 2

tdt

sin

Пример.

x(x2

1)3 / 2 dx.

Замена t

x 2

2xdx;

; Получаем:

3 / 2 dt

3 / 2

1 2

5 / 2

t 5 / 2

(x 2 1)

5 / 2

Пример.

x2 sin xdx

x2 ;

sin xdx;

cos x

cos x 2xdx

2xdx; v

cos x

cos xdx;

x 2 cos x 2 x sin x sin xdx

x 2 cos x

2x sin x 2 cos x C.

dx;

sin x

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример.	e2 x cos xdx		u e2 x ; du 2e2 x dx;			e2 x sin x sin x	2e2 x dx
			dv cos xdx;		v sin x

u e2 x ; du 2e2 x dx;			e	2 x sin x 2	e2 x cos x	cos x 2e2 x dx	e2 x sin x
dv sin xdx;	v	cos x;

2e2 x cos x 4	cos xe2 x dx

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

5 e2 x cos xdx		e2 x (sin x 2 cos x)
e2 x cos xdx	e2 x		(sin x 2 cos x) C.
	5

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

	20			20	1		1		21	1		t 21		(2x 1)	21
(2x 1)		dx 2x 1 t; dt 2dx;	t			dt		t			C		C			C
(2x 1)		dx 2x 1 t; dt 2dx;	t		2	dt	21	t		2	C	42	C	42		C
					2		21			2		42		42

Пример.

2 x 2

x 2

4 x 4

2 x 2

arcsin

Пример.

cos x

sin

3 / 2

x cos xdx

sin x

cos xdx

3 / 2 dt

1 / 2 C

sin 3

2sin

1/ 2

sin x

Пример.

x 2 ;

e5 x dx;

x 2 e5 x

5 x

2xdx

5 x

2xdx; v

5 ;

e5 x dx;

x 2 e5 x

2 xe5 x

x 2 e5 x

2xe5 x

5 x

dx; v

5 e

;

x 2 e5 x

2xe5 x

2e5 x

e5 x

x 2

125

Пример.

d (x

x 2

2x 8

x 2

2x 1 9

9 (x 1)2

arcsin

t 2

Пример.

ln x;

dx;

ln x

dx;

;

2x 2

2 x3

2x 2

x 2

ln x

2x 2

4x 2

Пример.

ln x;

xdx;

x 2

ln x 1

x 2 ln x x 2

x ln xdx

x 2

ln x

xdx

dx;

;

x 2

(2 ln x 1)

Пример.

ecos2 x sin 2xdx

ecos2 x ;

ecos2 x

2 cosx sin x

sin 2x ecos2 x dx;

ecos2 x

Пример.

2tdt

2arctgt

2arctg

x C.

(t 2

1)t

t 2

Пример.

arctg

(x 3)2

6x 25

16 16

x 3

Пример.

84x 24

84x

6dx;

3x2

36x2

60x

(6x

5)2

;

14u

udu

ln(u 2

23)

arctg

u 2

3 u 2

23 3 u 2

23 6

3 23

36x2

60x

arctg

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

3; du

dx;

5u 15

udu

x2 6x 40

(x 3)2

x u 3;

u 2

u 2 49

u 2

6x 40

u 2

49 2

u 7

x 10

Пример.

dx;

udu

16 u

x 3

3 16

u 2

13arcsin

7 x 2

6x 13arcsin

Пример.

9x3

30x

28x

(x 2 6x

8)( x 2

Т.к. ( x2

8)(x2

2)(x 4)(x2

4) , то

9x3

30x 2

28x 88

Cx D

2)( x

4)( x 2

x 2

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

A(x

4)(x2

B(x

2)(x2

(Cx

D)(x2

9x3

30x2

28x

( A B C)x3 ( 4 A 2B 6C D)x2

(4 A 4B 8C 6D)x ( 16 A 8B 8D)

9x3

30x 2

28x 88.

4A 2B 6C D 30

D 30 4A 2B 54 6A 6B

4A 4B 8C 6D 28

2A 2B 4C 3D 14

16A 8B 8D 88

2A B D 11

D 24 2A 4B

2A 2B 36 4A 4B 72 6A 12B 14

4A 10B 50

2A B 24 2A 4B 11

4A 5B 35

D 24 2A 4B

B 3

4A 10B 50

10B

50 10B 5B 35

Итого:

5ln

3ln

x 2

x 4

ln(x2

arctg

5ln

3ln

Пример.

6x5 8x 4

25x3

20x 2

76x 7

3x3

4x2

17x

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7

3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2

2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

20x2

25x 25

dx 3dx 5

4x2

5x 5

3x3

3x3 4x2

4x2 17x 6

17x 6

4x2

3x3 4x2

17x 6

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3

знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
		3x3 – 4x2 – 17x + 6				x - 3
		3x3 – 4x2 – 17x + 6				x - 3
	3x3 – 9x2					3x2 + 5x - 2
			5x2 – 17x
			5x2 – 15x
				- 2x	+ 6
				-2x	+ 6
					0
					0

Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:

4x2

3)(x

2)(3x

x 3

2 3x

A(x

2)(3x

B(x

3)(3x

C(x

3)(x 2) 4x2 5x 5

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

40A

2 / 5

35B

3 / 5

C 1

Окончательно получаем:

6x5

8x 4

25x3

20x 2 76x 7

dx =

3x 3

3x3

4x2

17x 6

x 2

x 3

3x 1

3x 3ln

x 2

2 ln

x 3

3x 1

Пример.

3x 4

14x 2

7x 15

Bx C

Dx E

(x 3)( x 2

2)2

(x 2

2)2

Найдем неопределенные коэффициенты:

A(x2

2)2

(Bx

C)(x

(Dx

E)(x 3)(x2

3x4

14x2 7x 15

Ax4

4Ax2

Bx 2

3Bx

Dx 4

2Dx 2

3Dx 3

6Dx

Ex3

2Ex

3Ex2 6E

(D A)x4

(3D E)x3

( A B 2D 3E 4A)x2

(3B C 6D 2E)x (2A 3C 6E 4A)

B 2D 3E 4 A 14

B 6 2 A 27 9 A 4 A 14

3B C 6D 2E 7

3B C 18 6 A 18 6 A 7

3C 6E 4 A 15

3C 54 18A 4 A 15

B 11A

11A 35

3C 22 A 69

9B 70 2B

Тогда значение заданного интеграла:

dx 3

3ln

x 3

(x 2

2)2

x 3

(x 2

2)2

(x 2 2)2

x 2

arctg

4(x 2

Пример.

2dt

t 2

4 sin x

3cos x

t 2

3t 2

5t 2

2t 2 8t

1 t 2

t 2

2)2

t 2

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

			dx																2dt						2						dt		2					dt

9			8cos x			sin x						(1 t 2 ) 9							8(1	t 2 )		2t						t 2			2t 17				(t			1)2	16
												(1 t 2 ) 9							1	t 2	1		t 2
																			1	t 2	1		t 2
														tg		x			1
1				t		1			1
1		arctg		t		1	C		1		arctg				2					C.
	2	arctg			4		C			2	arctg				4					C.
			Пример.
sin 7x sin 2xdx								1		cos 5xdx							1		cos 9xdx				1	sin 5x					1		sin 9x C.
sin 7x sin 2xdx							2			cos 5xdx					2				cos 9xdx			10		sin 5x			18				sin 9x C.
							2								2							10					18
			Пример.
sin 10x cos 7x cos 4xdx													sin 10x[cos 7x cos 4x]dx													1	sin 10x cos11xdx										1	sin 10x cos 3xdx
sin 10x cos 7x cos 4xdx													sin 10x[cos 7x cos 4x]dx												2		sin 10x cos11xdx								2			sin 10x cos 3xdx
																									2										2
1			sin 21xdx				1		sin xdx				1					sin 13xdx			1		sin 7xdx								1	cos 21x		1		cos x			1	cos13x
			sin 21xdx						sin xdx									sin 13xdx					sin 7xdx									cos 21x				cos x				cos13x
4							4						4								4									84			4						52
	1		cos 7x			C.
28			cos 7x			C.
28

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

		dx					4dx					dctg2x			2					2ctg2x C

sin2 x cos2 x						sin2 2x						dx				sin2
sin2 x cos2 x						sin2 2x						dx				sin2		x
		Пример.
					1		1				2		1										1
sin 4 xdx					1		1	cos 2x			dx		1		(1 cos 2x)2 dx								1		(1 2 cos 2x cos 2 2x)dx
sin 4 xdx				2		2		cos 2x			dx		4		(1 cos 2x)2 dx						4				(1 2 cos 2x cos 2 2x)dx
				2		2							4								4
	1	dx	1	cos 2xdx						1	cos 2 2xdx						x	1	sin 2x			1			1	(1	cos 4x)dx			x		sin 2x
4		dx	2	cos 2xdx					4		cos 2 2xdx				4			4	sin 2x		4			2		(1	cos 4x)dx		4		4
4			2						4						4			4			4			2					4		4
1		dx		cos 4xdx					x		sin 2x			x			sin 4x 1 3x							sin 2x				sin 4x	C.

8									4		4		8		32			4			2						8
8									4		4		8		32			4			2						8

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

	Пример.
		u	ln x;		du	1	dx;
cos(ln x)dx		u	ln x;		du		dx;
cos(ln x)dx						x
		x	eu ;	dx eu du;
eu	sin udu	p	sin u;		dq		eu du;
eu	sin udu	dp	cos udu;			q eu ;
		dp	cos udu;			q eu ;
Итого	eu cos udu			eu (cos u			sin u)

Пример.

eu cos udu	p	cos u; dq	eu du;	eu cos u
	dp	sin udu;	q eu ;

eu cos u eu sin u		eu cos udu;
eu cos udu

2dx

2t 3 dt

t 2 dt

4 1 2x t; dt

;

2t 3

t 2

t 1

1 2x

4 1 2x

4 4

1 2x

2 t

2 tdt 2

t 2 2 1

t 2

2 ln

t 1

1 2x 24 1 2x 2 ln

4 1

2x 1

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

3 x 1

4 x 1

12 x 1 t; x 1 t12 ;

(t 4

t 3 )12t

11dt

t 3

t 2

t12

(1 t 2 )

t 2

(x 1) 1

6 x 1

dx 12t11dt;

t 3

t 2

tdt

t 2

t 2 1

t 2

6t 2

6 ln( t 2

12t

1) 12arctgt

66 x

1 1212 x

6 ln( 6 x

t 2

12arctg12 x

Пример.

3x3

7x2

dx ( Ax2

Bx C) x2

2x 5

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим

на

ax 2

сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

3x3

7x2

Ax2

Bx C

(x 1)

(2Ax B) x2

2x 5

(2Ax B)(x2

2x 5) (Ax2

Bx C)(x 1)

= 3x3

7x2

2Ax3

4Ax2

10Ax

Bx2

2Bx

Ax3

Bx2

Ax2

= 3x3

7x2

3Ax3

(5A

2B)x2

(10A

C)x

3x3

7x2

5A 2B 7

10A

3x3

7x 2

Итого

(x 2

13)

x 2

1)2

= (x2

x 13)

7 ln( x

Пример.

(4x2

6x)(x2

dx ( Ax3

(4x2

6x) x2

3dx

Bx2

Cx D) x2 3

4x4

6x3

12x2

18x

( Ax3

Bx2

Cx D)x

(3Ax2

2Bx

x2 3

4x4

6x3

12x2

18x (3Ax2

2Bx

C)(x2

Ax4

Bx3 Cx2

4x4

6x3

12x2

18x

3Ax4

2Bx3

Cx2

9Ax2

6Bx

Ax4

Bx3

Cx2

4x4

6x3

12x2

18x 4Ax4

3Bx3

(2C 9A)x2 (6B D)x 3C

3/ 2;

9 / 2;

(4x2

6x) x2

3dx

2x2

x 6

Пример.

;

v3 dv

v 2 dv

( Av

B) 1

1 v

v 2

( Av

B)v

A 1

v2 A

Av2

2Av2

1/ 2;

v2 dv

v 1 v2

arcsinv

1 x2

arcsin

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.2016356.48 Кб17ELSnabStroiPl_Kursovoi(1).pdf
#
12.03.2016690.29 Кб39EN 1990.2002 Basis of structural design.pdf
#
29.03.201563.65 Кб118energetika__33__33__33_-_kopia.docx
#
29.03.2015431.06 Кб9english.docx
#
07.09.2019372.19 Кб2Erica Lawson - Possessing Morgan.docx
#
29.03.20151.92 Mб9examples_of_typical_problems.pdf
#
28.03.2015159.74 Кб25ExceLab1.doc
#
29.03.2015241.66 Кб21ExceLab1.doc
#
28.03.201563.49 Кб17ExceLab2.doc
#
29.03.2015248.83 Кб16ExceLab2.doc
#
29.03.2015492.03 Кб29ExceLab3.doc