5.2 Моделирование графиков работ методом pert

Стохастические модели календарного планирования учитывают случайные процессы и ситуации, при которых продолжительности работ определяются не детерминированными, а вероятностными величинами. Метод, получивший название PERT (англ. Program Evaluation and Review Technique - Техника Обзора и Оценки Программы), является одним из подходов, используемых при стохастическом планировании календарных планов в программах управления проектами. Данный метод предназначен для оценки продолжительности критического пути тех проектов, в которых высока степень неопределенности. В таких случаях вместо одной классической оценки продолжительности работы методика предлагает пользователю для каждой работы дать сразу три оценки продолжительности.

• Минимальную или оптимистическую – t₁.

• Наиболее вероятную, определяющую моду распределения - t₂.

• Максимальную или пессимистическую оценку работы - t₃.

В основу метода PERT положена гипотеза о том, что в общем случае продолжительность выполнения любой работы распределена по закону, определяемому бета-распределением. Эту гипотезу до настоящего времени никто не смог ни подтвердить, ни опровергнуть, хотя многие специалисты считают ее вполне логичной. Двух параметрическое бета-распределение

(10)

где в, а – это максимальное и минимальное значения продолжительности.

В программе МР математическое ожидание продолжительности работы t рассчитывают исходя из трехпараметрического бета-распределения:

(11)

где w₁, w₂ и w₃ – это весовые множители, сумма которых в программе типа

МР считается равной 6.

Фактически же весовыми коэффициентами можно рассчитать среднюю продолжительность для любого распределения. Например, принимая w₁=1, w₂ =0 и w₃ =3, по формуле (11) рассчитывается средняя продолжительность, соответствующая равномерному распределению. И только по умолчанию значения этих весов заданы равными w₁=1, w₂ =4 и w₃ =1, что соответствует исходному бета-распределению.

Определение весовых множителей и различных значений продолжительностей для всех работ в программе МР осуществляется на основании обработки статистических данных или с помощью метода экспертных оценок. В результате программа МР формирует как маргинальные календарные графики, так и обобщающий усредненный календарный график. Пример формирования календарных графиков по методу PERT в программе МР показан на рис.8.

Рис.8 календарных графиков по методу PERT в программе МР

На рис.8 красным цветом показан календарный график, сформированный при оптимистичных продолжительностях, синим – при пессимистических продолжительностях, зеленым – при усредненных длительностях.

5.3 Статистическое моделирование случайных календарных графиков

На практике при определении статистических характеристик риска несвоевременного выполнения работ зачастую используют обобщенные (интегральные) характеристики. В частности, определяется, с какой вероятностью фактическая продолжительность работы будет превышать запланированную продолжительность. Для наиболее полного статистического описания используются различные функции распределения плотности вероятности f(t), показывающие вероятность выполнения работы, продолжительность которой находится в промежутке времени от t до t + t. Выведем искомую функцию распределения плотности вероятности исходя из следующих утверждений:

а) согласно закону Паркинсона, если работа выполнима за отведенное на нее плановое время -а, то ее выполнение заполнит все запланированное время. Из этого следует, что плотность вероятности досрочного выполнения работы будет равна нулю;

б) плотность вероятности выполнения работы за большее время меньше, чем плотность вероятности выполнения работы за меньшее время. Из этого утверждения следует, что кривая, описывающая плотность вероятности, является монотонно убывающей функцией;

в) считаем, что для монотонно убывающих функций уменьшение плотности вероятности во времени происходит за счет регулирующего воздействия исполнителя на прогнозируемое увеличение несвоевременности работы.

Для определения следствия из утверждения в) проанализируем первую производную плотности вероятности по времени df(t)/dt, которая определяется как изменение скорости уменьшения плотности вероятности. Положим, что изменение скорости уменьшения плотности вероятности пропорционально самой плотности вероятности. Физически это соответствует тому, что большей несвоевременности соответствует большая управленческая сила возврата к планируемому значению. Формализованным результатом данных предположений является следующее дифференциальное уравнение:

(12)

где  - это коэффициент пропорциональности.

Интегрируя уравнение (12), получаем экспоненциальную функцию распределения плотности вероятности, которую, при нормировке параметров, можно представить в следующем виде

(13)

г) считаем, что максимальное время несвоевременного выполнения работы является конечной величиной -в. Из этого следует, что плотность вероятности несвоевременного выполнения работы для продолжительности выше этого предела равна нулю;

Как видно из формулы (13), полученное распределение не ограничено максимальным значением. Поэтому для реализации предложения г) принимаем, что математическое ожидание составляет одну четвертую от условного размаха продолжительностей [a, b]. И тогда формула (13) трансформируется к следующему виду:

(14)

В результате получено, что экспоненциальное распределение разделено на квартили равные ширине стандартного отклонения, а математическое ожидание будет делить размах в отношении один к трем. В таком представлении экспоненциальное распределение будет обеспечивать корректную генерацию более 99% значений случайных продолжительностей работ в диапазоне от планового значения -а до значения максимальной несвоевременности -в.

Поскольку в программе МР используется равномерный генератор случайных чисел (от 0 до 1) Rnd, то формула перехода от равномерного генератора к экспоненциальному распределению имеет следующий вид

(15)

Пример, демонстрирующий статистическое моделирование случайных календарных графиков в программе МР, показан на рис.9.

Алгоритм реализации сводится к следующим основным процедурам.

1. Формируется календарный график, в котором все плановые характеристики детерминированного календарного графика определяются программой как базовые характеристики.

2. В любой из пользовательских столбцов, определенных программой как «Продолжительность1», «Продолжительность2», «Продолжительность3» и т.п., вводится следующая формула

(16)

где Ind – максимальный индекс несвоевременности работ, используемый

как константа для всех работ,

а – плановая продолжительность находится в столбце

«Базовая продолжительность».

3. Из пользовательского столбца, в который внесена формула (16) рассчитываются (в МР, нажатием клавиши F9) и копируются данные в стандартный столбец «Продолжительность»

Рис.9 Пример статистического моделирования календарных планов в программе МР.

4. МР автоматически (как правило) пересчитывает все расписание работ, которое после введения случайных работ является стохастическим, и отображает его в выбранной форме календарного графика, как правило, графика Ганта.

5. Для расчета чистого дисконтированного дохода (NPV) стохастического и детерминированного денежных потоков вводятся стоимости всех работ и параметры доходного периода.

6. Для вычисления NPV используется формула (6), которая вводится в любые пользовательские столбцы, с названиями «Затраты1», «Затраты2», «Затраты3» и т.п.

7. Для набора необходимой статистики расчет новых случайных продолжительностей и их копирование в столбец «Продолжительность» повторяется.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается основное отличие субъективных и объективных причин возникновения несвоевременности выполнения работ.

2. Почему принятие гипотезы о равномерности выполнения работы приводит к несвоевременности?

3. Какое распределение случайной продолжительности используется в методе PERT.

4. В чем Вы видите отличие метода от метода статистического моделирования?

5. С какими исходными положениями связано экспоненциальное распределение случайной продолжительности работы.

Лекция 6. Организация строительной площадки

Содержание лекции

6.1 Основы организации строительной площадки и роль заказчика

6.2 Роль подрядчика на строительной площадке

6.3 Временные здания, сооружения и инженерные сети

6.4 Проектирование строительной площадки в программах BIM моделирования