Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы

Х кездейсоқ шама дискретті болса оның үлестірім заңы кесте түрінде жазылады. Ал үзіліссіз кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері шексіз болғандықтан ондай үлестірім заң жазылмайды. Сондықтан үлестірім функциясы ұғымын енгіземіз.

Анықтама. Х кездейсоқ шаманың х нақты саннан кіші мән қабылдау ықтималдығын кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы деп атайды және Ғ(х) деп белгілейді:

F(х) = Р(Х < x).

Кейде үлестірім функциясын «интегралдық функция» деп те атайды.

Үлестірім функциясының қасиеттері:

1-қасиет. (анықтама бойынша үлестірім функциясы ықтималдық болып табылады).

2-қасиет. Үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни болса(оқиғасыоқиғасын қамтиды).

3-қасиет. (оқиғасы жалған оқиға болғандықтан,оқиғасы ақиқат оқиға болғандықтан).

4-қасиет. .

Анықтама. Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясынан алынған туынды кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы деп аталады және f(x) деп белгіленеді:

Кейде үлестірім тығыздығын «дифференциалдық функция» деп те атайды. Дифференциалдық функция Х кездейсоқ шаманың мәндері тәжірибені қайталап жасағанда х нақты санының маңайында қаншалықты жиі пайда болатындығын көрсетеді.

Дифференциалдық функция белгілі болғанда кездейсоқ шаманың үлестірім функциясын табу қиын емес:

.

Дифференциалдық функция қасиеттері:

1-қасиет. (кемімейтін функция туындысы теріс болмайды).

2-қасиет. , себебі,

.

3-қасиет. .

Мысал. Х кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген

.

Табу керек: 1) белгісіз а-ны; 2) ; 3) Интегралдық функцияны; 4) Дифференциалдық және интегралдық функция графиктерін салу.

Шешуі. 1) Дифференциалдық функцияның қасиеті бойынша . Біздің жағдайымызда тығыздық үш интервалда және әр интервалда тығыздық түрлі формулалармен берілген, сондықтан:

.

Сонда, осыдан.

2)

.

3) Интегралдық функцияны табайық.

.

4) Дифференциалдық және интегралдық функция графиктері суретте көрсетілген.

Үзіліссіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары

Анықтама. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның х мәні мен үлестірім тығыздығы көбейтіндісінен алынған анықталған интегралы айтады

.

Мұндағы меншіксіз интегралды жинақталады деп қарастырамыз (егер жинақталмаса кездейсоқ шаманың математикалық үміті жоқ болады).

Егер үзіліссіз кездейсоқ шаманың М(х) математикалық үміті бар болып, оның f(x) үлестірім тығыздығы жұп функция болса, онда

М(х) = 0

болады. Жалпы, егер кездейсоқ шаманың f(x) үлестірім тығыздығы қандай да бір х=а нүктесіне қарағанда симметриялы болса, онда

М(х) = а

болады.

Анықтама. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп оның х мәнінің математикалық үміттен ауытқуының квадраты мен үлестірім тығыздығы көбейтіндісінен алынған анықталған интегралы айтады

.

Әдетте дисперсия оңай есептелiнетiн мынадай формула қолданылады:

Үзіліссіз кездейсоқ шама дисперсиясынан алынған квадрат түбiр орта квадраттық ауытқу болады:

.

Есептер мен тапсырмалар

1. Ойын сүйегi бiр рет лақтырылды. 5 ұпайдың түсу саны кездейсоқ шама бола ала ма ? Егер болса, оның қабылдайтын мәндерi қандай ?

2. Қойылған нысананы дәл көздеп түсiргенге дейiн мерген ата бередi. Атылған оқтар саны кездейсоқ шама бола ала ма ? Егер болса, оның қабылдайтын мәндерi қандай ?

3. Х және У кездейсоқ шамалары мынадай мәндер қабылдайды

а) Х: 0, 1, 2; У: 1, 2, 3. б) Х: 5, 10; У: 20.

в) Х: 7; У: 3. г) Х: 1, 2, 3, 4; У: -3

Х+У , ХУ, Х² кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерiн анықта.

4. Теңге бiр рет лақтырылды. Елтаңба жағы түсу санының үлестiрiм заңын жазу керек.

5. Мерген нысананы екi рет көздедi. Әр жолы нысанаға тию ықтималдығы 0,7 болса, нысанаға тию санының үлестiрiм заңын жазу керек.

6. Х кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы мынадай:

Х	0	1	2
p	0,25	р2	0,25

р₂ қандай мән қабылдайтынын табу керек.

7. Екi ойын сүйегi лақтырылды. Түскен ұпайлар санының қосындысының үлестiрiм заңын жазу керек.

8. Х кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы белгiлi

Х	1	2	3	4
p	0,4	0,3	0,2	0,1

Математикалық үмiтiн, дисперсиясын табу керек.

9. Х және У кездейсоқ шамаларының математикалық үмiттерi сәйкес 5-ке және 25-ке тең. Х+У кездейсоқ шамасының математикалық үмiтiн, дисперсиясын табу керек.

10. Х кездейсоқ шамасының үлестiрiм заңы белгiлi.

Х	-3	-1	0	1	2
p	0,45	0,1	0,05	0,1	0,3

Х² кездейсоқ шамасының математикалық үмiтiн табу керек.

11. Үзіліссіз кездейсоқ шама үлестірім функциясымен берілген

.

Табу керек: 1) үлестірім тығыздығын; 2) математикалық үмiтiн, дисперсиясын; 3) .

12. Х кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген

.

Табу керек: 1) белгісіз С-ны; 2) ; 3) Интегралдық функцияны;

______________________________________________________

13. Мерген нысананы екi рет көздедi. Нысанаға тию саны кездейсоқ шама бола ала ма ? Егер болса, оның қабылдайтын мәндерi қандай ?

14. Қораптағы 10 шардың 5 боялған. Алынған үш шардың iшiндегi боялған шарлар саны - кездейсоқ шама. Осы шаманың қабылдайтын мүмкiн мәндерi қандай ?

15. Ойын сүйегi бiр рет лақтырылды. 5 ұпайдың түсу санының үлестiрiм заңын жазу керек.

16. Лақтырылған екi ойын сүйегiндегi тақ сандар түсу санының үлестiрiм заңын жазу керек.

17. Х кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы белгiлi.

Х	1	2
p	0,5	0,5

10Х кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табу керек.

18. Тәуелсiз Х және У кездейсоқ шамаларының математикалық үмiттерi сәйкес 10-ке және 15-ке тең. ХУ кездейсоқ шамасының математикалық үмiтiн, дисперсиясын табу керек.

19. Х және У кездейсоқ шамаларының математикалық үмiттерi сәйкес 2-ке және 5-ке тең. Математикалық үмiттiң қасиеттерiн пайдаланып а) Х+3У, б) 2Х+4У кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табу керек.

20. Үзіліссіз кездейсоқ шама үлестірім функциясымен берілген

а); б)

Табу керек: 1) үлестірім тығыздығын; 2) .

21. Х кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген

а); б).

Математикалық үмiтiн, дисперсиясын табу керек.