Ііі бөлім. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика негіздері он бірінші лекция оқиға ұғымы және оның түрлері

Адам күнделікті өмірінде дүниені таны білу барысында үнемі кездейсоқ жағдайларды байқайды. Бұл кездейсоқтықтар өмірдің даму заңдылығына кедергі келтірмейді керісінше кездейсоқтық пен заңдылық бір-біріне әсеретіп өмірдің дамуына себепші болады. Экономикадағы табылған заңдылықтардың теориялық құндылығымен қатар практикалық қолданысының да - жоспарлауда, басқаруда, болжауда – маңызы зор.

Бастағалы отырған “Ықтималдықтар теориясы” тарауы өмірдегі кездейсоқтықтарды зерттеп олардың заңдылықтарын ашады. Ықтималдықтар теориясы өз бастауын XVII ғасырдан алады. Алдымен азартты ойындар пайда болды. Араб тілінде “азар” деген сөз “қиын” деген мағына береді. Арабтар ойнағанда “азар” деп лақтырылған ойын сүйегінің екеуінде де алты ұпайдан түсуін айтады екен. Куб түріндегі ойын құралы ол кезде піл сүйегінен жасалатын болғандықтан “ойын сүйегі” деген атау сол заманнан қалыптасқан. Француздың атақты математиктері П.Ферма және Б. Паскальдың азартты ойындар жөніндегі зерттеулері ықтималдықтар теориясының негізі қалады.

Кездейсоқ оқиға. Ғылымның қандай саласы болмасын өз зрттеуінде қандай да бір ұғымдарды басшылыққа алады соған сүйенеді. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымы - оқиға.

Белгілі бір шарттар орындалғанда пайда болатын құбылысты оқиға дейміз. Осы шарттарды іске асыруды сынақ тәжірибе не бақылау жүргізу дейміз. Мысалы, лақтырылған металл теңгенің түсуін бақылайық. Теңгені қисық емес симметриялығы сақталған басқа бір жаққа дөңгелеп жоқ болып кетпейді қырымен тұрып қалмайды деп есептейміз. Осы шарттар орындалғанда біз теңгені лақтырып тәжірибені қалауымызша көп қайталай аламыз. Ал пайда болатын құбылыс – теңгенің сан жағымен немесе елтаңба жағымен түсуі - оқиға болады.

Анықтама. Сынақ нәтижесінде орындалуы да орындалмауыда мүмкін болатын оқиғаны кездейсоқ оқиға дейміз.

Кездейсоқ оқиғаларды латын алфавитінің А, В, С бас әріптерімен белгілейді

Анықтама. Сынақ нәтижесінде міндетті түрде болатын оқиға ақиқат оқиға деп, ал сынақ нәтижесінде ешқашан орын­далмайтын оқиға жалған оқиға деп аталады.

Әдетте ақиқат оқиғаны U, ал жалған оқиғаны V әріптерімен белгілеу қабылданған.

Оқиға ықтималдығы

Жоғары лақтырылған теңге не сан жағымен не елтаңба жағымен түседі. “Сан жағымен түсу” оқиғасы ”елтаңба жағымен түсу” оқиғасын болдырмайды. Осы екі оқиға бір-бірімен үйлесімсіз. Ойын сүйегі бір рет лақтырғанда түскен кез келген сан басқа санның түсуін болдырмайды. Орындалуы мүмкін алты оқиға өзара үйлесімсіз.

Анықтама. Кездейсоқ оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы басқасының пайда болуын жоққа шығарса олар өзара үйлесiмсiз деп аталады. Ал оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы басқасының пайда болуына әсер етпесе олар өзара үйлесiмдi деп аталады.

Тәжірибе нәтижесінде пайда болатын барлық мүмкін оқиғалар элементар оқиғалар жиынын құрайды. Элементар оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз болса, олар оқиғалардың толық тобын құрайды дейді.

Анықтама. Тәжірибедегі ізделінді оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар санының, барлық элементар оқиғалар санына қатынасы оқиға ықтималдығы деп аталады және Р әрпімен белгілейді:

мұндағы А – ізделінді оқиға, т - осы оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны, п - элементар оқиғалар саны. Осы анықтаманы ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.

Мысалы, ойын сүйегін бір рет лақтырғанда бестен кем емес ұпай түсуінің ықтималдығын есептейік.

Шешуі. Тәжірибе: ойын сүйегін бір рет лақтыру. Тәжірибе нәтижесінде пайда болатын 1, 2, 3, 4, 5, 6 ұпайлар элементар оқиғалар жиынын құрайды. Яғни, элементар оқиғалар саны n=6. Ал ізделінді оқиға: А - бестен кем емес ұпай түсуі. Осы оқиғаға қолайлы жағдайлар 5 немесе 6 ұпайлардың түсуі, яғни т=2. Сонымен, ықтималдықтың классикалық анықтамасы бойынша

.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады:

1. Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең:

.

Шынында да, ақиқат оқиға үшін m=n. Онда

.

2. Жалған оқиға ықтималдығы бірге тең:

.

Шынында да, ақиқат оқиға үшін m=0. Онда

.

3. Кездейсоқ оқиға ықтималдығы ноль мен бірдің арасында жататын нақты сан болады:

.

Шынында да, кездейсоқ оқиға үшін 0<m<n. Теңсіздіктің екі жағын n-ге бөліпсек, аламыз, олай болса:

.

Осы үш қасиеттен кез келген оқиға үшін мына теңсіздік орындалатыны шығады:

.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы оқиғалар саны шексіз болғанда қолданылмай қалады. Кейде оқиғалардың толық топ құратынын анықтау қиынға соғады. Сондай жағдайларда ықтималдықтың стаатистикалық анықтамасын қолданады.

Тәуелсіз п рет тәжірибе жасадық дейік. Әр жолы ізделінді А оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болсын. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасыт рет пайда болды дейік. Анықтама. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болған оқиғалар санының барлық тәжірибелер санына қатынасы оқиғаның салыстырмалы жиілігі деп аталады.

А оқиғасының салыстырмалы жиілігін W(A) деп белгілейді және ол мынаған тең:

,

мұндағы m - А оқиғасы пайда болған тәжірибелер саны, ал n - барлық тәжірибелер саны. Тәжрибелер саны артқан сайын оқиғаның салыстырмалы жиілігі қандай да бір тұрақты сан маңайына шоғырманған. Бұл заңдылық статистикалық тұрақтылық делінеді.

Статистикалық тұрақтылыққа көз жеткізу үшін Ж.Бюффон және К.Пирсон деген ғалымдар теңгені көп рет лақтырып тәжірибе жасаған. Тәжірибе нәтижесі кестеде келтірілген:

	Тәжірибелер саны (n)	елтаңба түсу саны (m)	Салыстырмалы жиілік
Ж.Бюффон	4040	2048	0,5080
К.Пирсон	12000	6019	0,5016
К.Пирсон	24000	12012	0,5005

Тәжірибелер саны артқан сайын елтаңба түсу саны 0,5 санына жақындайды екен. Ал елтаңбаның түсу ықтималдығы . Олай болса, салыстырмалы жиілік оқиға ықтималдығына жақындайды екен.

Анықтама. Статистикалық тұрақтылық пайда болған кездегі салыстырмалы жиілік оқиға ықтималдығы деп қабылданады

.

Бұл анықтаманы ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп атайды.