Он бесінші лекция пирсонның келісімділік

ХИ-КВАДРАТ КРИТЕРИЙІ

Қандай да бір бас жиын зерттеу негізінде ол жиын қандай да бір нақты заң бойынша үлестірілген деген ой негізге алынады. Басқаша айтсақ, зерттеуші «бас жинақ нақты бір заңмен үлестірілген» деген болжам ұсынады. Ал бұл болжамды тексеру керек. Осы тексерулерді келісімділік критерийлері деп аталатын критерийлер көмегімен іске асырады.

Экономикалық есептердегі статистикалық зерттеулерде жиі қолданылатын Пирсонның келісімділік критерийін «бас жинақ қалыпты үлестірілген» деген болжауды тексеруге қатысты қарастырайық.

Критерий негізіне тәжрибе нәтижесінде алынған эмпирикалық жиілік пентеориялық жиілікті (бас жиын қалыпты үлестірілген деп есептегендегі жиілік) салыстыру жатады.

Сонымен, һ қадаммен біркелкі орналасқан таңдама берілсін

xi	x1	x2	x3	…	xm
ni	n1	n2	n3	…	nm

Ал теориялық жиіліктерді мынадай формулалар көмегімен табады:

мұндағы, ,

немесе ,.

Осыдан мына кесте анықталады

Эмпирикалық жиіліктер	n1	n2	n3	…	nm
Теориялық жиіліктер				…

Пирсонның критерийі мынадай мәселені шешеді: теориялық және эмпирикалық жиіліктердің бір-бірінен ауытқуы кездейсоқ па, бақылаулар саны жеткілікті ме, әлде «бас жинақ қалыпты үлестіріммен берілген» деген болжам дұрыс емес пе.

Тексеру схемасы:

1. Тексеру критерийі ретінде мынадай кездейсоқ шама алынады

Бұл шама – еркіндік дәрежесі k = s – 1 – r болатын, хи-квадрат үлестіріммен таралған кездейсоқ шама. Мұндағы s – таңдамадағы топтар (интервалдар) саны, r - үлестірім параметрлерінің саны. Қалыпты үлестірімде екі параметр (а және ) бар, сондықтан r = 2. Олай болса кездейсоқ шаманың еркіндік дәрежесі

k = s – 1 – r = s – 1 – 2 = s – 3.

2. Берілген деректерге сүйеніп, критерийдің бақыланатын мәнін анықтайды .

3. Берілген маңыздылық деңгейінде («маңыздылық деңгейі» дегеніміз ұсынылып отырған болжам дұрыс болған кезде ол болжамды қабылдамай тастау ықтималдығы) хи-квадрат үлестірімнің сын нүктелері кестесі арқылыкритерийдің сындық мәні анықталады.

4. Егер <болса, онда бастапқыдағы болжамды жоққа шығаруға негіз жоқ, ол болжамықтималдықпен қабылданады. Ал егер>болса, онда болжам қабылданбайды.

1-мысал. Эмпирикалық және теориялық жиіліктер берілген

Эмпирикалық жиіліктер	5	13	39	75	105	83	32	14
Теориялық жиіліктер	3	15	41	80	101	77	38	13

Берілген =0,05 маңыздылық деңгейінде бас жинақтың қалыпты үлестірілгендігі туралы болжамды тексеру керек.

Шешуі. Критерийдің бағаланатын мәнін анықтау үшін төмендегі кестені құрамыз

			-
1	5	3	2	4	1,333
2	13	15	-2	4	0,267
3	39	41	-2	4	0,097
4	75	80	-2	25	0,3125
5	105	101	4	16	0,158
6	83	77	6	36	0,468
7	32	38	-6	36	0,947
8	14	13	1	1	0,077
					3,66

Сонымен, =3,66, ал критерийдің еркіндік дәрежесі,

k = s – 1 – r = 5,

себебі s = 8, r = 2. Онда оқулықтарда берілетін дайын кестеден =11,1 екенін аламыз.

Алынған екі мәнді салыстырамыз: <.

«=0,05 маңыздылық деңгейінде бас жинақ қалыпты үлестірілген» деген болжамды жоққа шығаруға негіз жоқ.

Енді тек эмпирикалық жиіліктер белгілі болғанда теориялық жиіліктерді қалай есептеуге болатындығын көрсетейік.

2-мысал. Интервалдық вариациялық қатар берілген

xi	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25
ni	10	21	35	22	12

Пирсон критерийін пайдаланып =0,05 маңыздылық деңгейінде берілген мәндерді пайдаланып «бас жинын қалыпты үлестірілген» деген болжамды тексеру керек.

Шешуі. 1. Бас жинақтың үлестірім заңы туралы болжам жасау үшін, біріншіден, полигон және гистограмманың түріне қараймыз. Мысалы, «бас жинақ қалыпты үлестірілген» деген болжам жасау үшін 1) гистограмманың түрі Гаусс қисығына ұқсас болуы керек; 2) эмпирикалық ассиметрия мен эксцесс мына теңсіздіктерді қанағаттандыруы керек:

және ,

мұндағы, ,.

Қарастырып отырған мысал үшін (алдыңғы лекцияның есептеріндегі 5-7 тапсырмадан алынды)

= - 0,018; = 0,8733; 0,2377;0,4547.

Олай болса, және.

Гистограммасы да Гаусс қисығына ұқсас, демек «бас жинақ қалыпты үлестірілген» деген болжам жасауға негіз бар.

2. Енді осы болжамды тексеру үшін Пирсон критерийін қолданамыз. Ол үшін ,

= -

формулаларын қолданып теориялық жиіліктерді есетейміз.

Белгілеу енгізейік: , .

Есептеу кестесін құрамыз

Интер валдар
0-5	10	-2,23	-1,35	-0,4870	-0,4115	0,0755	8
5-10	21	-1,35	-0,48	-0,4115	-0,1844	0,2277	23
10-15	35	-0,48	0,39	-0,1844	0,1517	0,3361	34
15-20	22	0,39	1,27	0,1517	0,3980	0,2463	25
20-25	12	1,27	2,14	0,3980	0,4838	0,0858	9
	100						99

есептеу үшін де кесте құрған тиімді

i			-
1	10	8	2	4	0,5
2	21	23	-2	4	0,17
3	35	34	1	4	0,03
4	22	25	-3	9	0,36
5	12	9	3	9	1
					1,7

Сонда =1,7.

Енді =0,05 маңыздылық деңгейіндеk = 5 – 1 – 2 = 2 еркіндік дәрежесі бойынша оқулықтарда берілетін дайын кестеден =6 екенін аламыз. Алынған екі мәнді салыстырамыз:

<.

«=0,05 маңыздылық деңгейінде бас жинақ қалыпты үлестірілген» деген болжамды жоққа шығаруға негіз жоқ.