Кездейсоқ шамаларға қолданылатын амалдар. (қосымша оқу үшін)

1. Екi кездейсоқ шаманы қалай қосуға болатынын қарастырайық.

Анықтама. Х және У кездейсоқ шамаларыныңқабылдайтын барлық мүмкiн мәндерiнiңпарланған әртүрлi қосындысын қабылдайтын кездейсоқ шаманы екi кездейсоқ шаманыңқосындысы деп атайды.

Екi кездейсоқ шаманыңқосындысын Х+У деп белгiлейдi. Айталық Х және У кездейсоқ шамалары сәйкес мынадай мәндер қабылдасын:

X: х₁, х₂; У: у₁, у₂.

Сонда, Х+У кездейсоқ шаманыңқабылдайтын мүмкiн мәндерi

Х+У: х₁+ у₁, х₂+ у₁, х₁+у₂, х₂+у₂

және бұл мүмкiн мәндердiң арасында өзара бiрдейлерi болса, оларды қайталап жазбай, бiр рет қана жазады.

Кездейсоқ шамалардыңқабылдайтын мүмкiн мәндерi екiден көп және әртүрлi болса да осы анықтама бойынша қосуға болады. Мысалы, Х және У кездейсоқ шамалары мынадай мәндер қабылдасын:

X: 0,1, 2; У: 2, 3.

Х+У кездейсоқ шаманыңқабылдайтын мүмкiн мәндерiн табайық. Ол үшiн мүмкiн мәндерiнi” парланған қосындысын құрайық:

0+2=2, 1+2=3, 2+2=4, 0+3=3, 1+3=4, 2+3=5.

Осы қосындылар арасындағы әртүрлi мәндер Х+У кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкiн мәндерi болады, яғни

Х+У: 2, 3, 4, 5.

2. Ендi екi кездейсоқ шаманы қалай көбейтуге болатынын қарастырайық.

Анықтама. Екi Х және У кездейсоқ шамаларыныңқабылдайтын барлық мүмкiн мәндерiнiңпарланған әртүрлi көбейтiндiсiн қабылдайтын кездейсоқ шаманы екi кездейсоқ шаманыңкөбейтiндiсi деп атайды.

Екi кездейсоқ шаманыңкөбейтiндiсiн ХУ деп белгiлейдi. Айталық Х және У кездейсоқ шамалары сәйкес мынадай мәндер қабылдасын:

X: х₁, х₂; У: у₁, у₂.

Сонда, ХУ кездейсоқ шаманыңқабылдайтын мүмкiн мәндерi

Х+У: х₁у₁, х₂у₁, х₁у₂, х₂у₂

және бұл мүмкiн мәндердiң арасында өзара бiрдейлерi болса, оларды қайталап жазбай, бiр рет қана жазады.

Кездейсоқ шамалардыңқабылдайтын мүмкiн мәндерi екiден көп және әртүрлi болса да осы анықтама бойынша көбейтуге болады. Мысалы, жоғарыдағы Х және У кездейсоқ шамаларыды көбейтейiк.

X: 0,1, 2; У: 2, 3.

Ол үшiн мүмкiн мәндерiнiңпарланған көбейтiндiсiн құрайық:

02=0, 12=2, 22=4, 03=0, 13=3, 23=6.

Осы көбейтiндiлер арасындағы әртүрлi мәндер ХУ кездейсоқ шаманыңқабылдайтын мүмкiн мәндерi болады, яғни

ХУ: 0, 2, 3, 4, 6.

3. Х кездейсоқ шаманы квадраттау ұғымымен танысайық.

Анықтама.Х кездейсоқ шаманыңбарлық мүмкiн мәндерiнiңквадраттарын қабылдайтын кездейсоқ шаманы Х квадрат шама деп атайды. Х квадрат шаманы Х²деп белгiлейдi.

Мысалы, Х кездейсоқ шамасы мынадай мәндер қабылдасын

X: -2, 0, 1, 2, 3.

Х²шаманыңқабылдайтын мүмкiн табайық.

Х кездейсоқ шаманыңмәндерiн квадраттайық:

(-2)²=4, 0²=0, 1²=1, 2²=4, 3²=9.

Осы квадраттар арасындағы әртүрлi мәндер Х² кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкiн мәндерi болады, яғни

Х²: 0, 1, 4, 9.

Кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы

Мысал қарастырайық. Ойын сүйегiн екi рет лақтырғанда, 6 ұпай неше рет түсуi мүмкiн екенiн табайық.

Жасалатын тәжiрибе: ойын сүйегiн екi рет лақтыру.

Iзделiндi шама: осы екi ретте 6 ұпайдың түсу саны. Ойын сүйегiн екi рет лақтырғанда бiрде-бiр рет 6 ұпай түспеуi мүмкiн, немесе бiр рет не тiптi екi ретте де 6 ұпай түсуi мүмкiн. Сонымен, iзделiндi шаманы” қабылдайтын мүмкiн мәндерi: 0, 1, 2. Тәжiрибе алдында iзделiндi шама өзiнiң мүмкiн 3 мәнiнiң қайсысын қабылдайтыны белгiсiз, тек мiндеттi түрде осы үш мәннiң бiреуiне тең болады, яғни бұл шама - дискреттi кездейсоқ шама болады. Оны Х деп белгiлейiк:

Х: х₁=0, х₂=1, x₃=2.

Кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерiн көрсетiп қойғаннан кейiн, мынадай сұрақ туындайды: кездейсоқ шаманың осы мәндердi қабылдау мүмкiндiгi бiрдей ме, әлде әр түрлi ме? Ойын сүйегiн екi рет лақтырғанда 6 ұпайдың түспеуi түсуiне қарағанда мүмкiндiгi жоғары. Олай болса, кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерiмен қатар олардың осы мәндердi қабылдау мүмкiндiктерiн де көрсетiп қойсақ кездейсоқ шама жөнiндегi ұғымымыз толығырақ болар едi.

Ойын сүйегiн екi рет лақтырғанда 6 ұпайдың бiрде-бiр рет түспеуi кездейсоқ оқиға, сол сияқты 6 ұпайдың бiр рет қана түсуi және екi ретте де түсуi кездейсоқ оқиғалар болады. Осы үш оқиғаны А, В, С деп белгiлейiк:

А=6 ұпайдың бiрде-бiр рет түспеуi немесе А=Х=0;

В=6 ұпайдың бiр рет түсуi немесе В=Х=1;

С=6 ұпайдың екi рет түсуiнемесе С=Х=2.

Кездейсоқ оқиғалар болса, олардың ықтималдықтарын табуға болады. А оқиғасының ықтималдығын табайық. Бiрiншi рет 6 ұпай түспеуiнiң ықтималдығы , екiншi ретте де 6 ұпай түспеудiң ықтималдығы . Олай болса,

.

Ендi В оқиғасының ықтималдығы. Бiрiншi рет 6 ұпай түссе, екiншi рет түспеуi керек немесе бiрiншi рет алты ұпай түспесе, екiншi рет түсуi керек. Олай болса,

.

Ендi С оқиғасының ықтималдығы. Бiрiншi рет 6 ұпай түсуiнiң ықтималдығы , екiншi ретте де 6 ұпай түсуiнiң ықтималдығы . Олай болса,

.

Сонымен, Х-кездейсоқ шамасының х₁=0 мәнiн қабылдау ықтималдығы , х₂=1 мәнiн қабылдау ықтималдығы және x₃=2 деген мән қабылдау ықтималдығы .

Сонымен кездейсоқ шаманың мәндер қабылдау мүмкiндiгiн олардың ықтималдықтарымен сипаттауға болады екен.

Анықтама. Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi мен олардың сәйкес ықтималдықтарын көрсетiп жазуды дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы деп атайды.

Дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы кездейсоқ шаманы толық сипаттайды. Бұл заңды кесте түрiнде жазып не графиктiк түрде салып көрсетедi.

Кесте түрiнде жазып көрсеткенде бiрiншi жолға кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкiн мәндерi жазылады да, екiншi жолда кездейсоқ шаманың сол мәндердi қабылдау ықтималдығы жазылады. Х кездейсоқ шаманың х₁ мәндi қабылдау ықтималдығын р₁ , х₂ мәндi қабылдау ықтималдығын р₂ , т.с.с., х_п мәндi қабылдау ықтималдығын р_п деп белгiлесек кесте мына түрде жазылàды:

Х	х1	х2	...	xn
р	р1	р2	...	рn

Осы кесте кездейсоқ шаманың үлестiрiм кестесi болады. Анықтаманы пайдаланып мысалдағы кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңын жазайық:

Х	0	1	2
р

А, В, С оқиғаларының бiреуiнiң орындалуы басқасын болдырмайды, яғни олар үйлесiмсiз. Және де тәжiрибе нәтижесiнде осы үш оқиғадан басқа мүмкiн оқиға жоқ, онда бұлар оқиғалардың толық тобын құрайды, және ықтималдығының қосындысы бiрге тең болатыны белгiлi. Сонда осы үш оқиғаның ықтималдықтарының қосындысы бiрге тең болуы керек қой. Тексерiп көрейiк:

.

Жалпы айтсақ, кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерiн қабылдау ықтималдықтарының қосындысы бiрге тең болады

р₁ + р₂+...+ р_п=1.