Он екінші лекция кездейсоқ шамалар

Бiз, кездейсоқ оқиға түрлерiмен (үйлесiмсiз және үйлесiмдi оқиғалар, тәуелдi және тәуелсiз оқиғалар) танысып, олардың ықтималдықтары қандай деген мәселемен айналыстық. Бiр сөзбен айтар болсақ, тәжiрибе нәтижесiнде пайда болатын оқиғаның сапалық сипаттамасы - кездейсоқ оқиғамен - жұмыс жасадық.

Ендi бiз оқиғалардың сандық сипаттамасымен танысамыз. Сандық болғандықтан оқиға қандай да бiр сандық шамалармен сипатталуы керек. Мысалы, бiр күннiң сандық сипаттамасы ретiнде оның ұзақтығын алуға болады. Бiр күнде 24 сағат бар. Ол өзгермейдi, яғни тұрақты шама. Ал осы бiр күн iшiнде адамның жұмыс iстеу уақытын алатын болсақ, ол өзгередi, яғни кездейсоқ шама болады. Адам бiр күнде 7-8 сағат, 3-4 сағат, тiптен мүлде жұмыс iстемеуi де мүмкiн.

1.1. Кездейсоқ шама. Бiрнеше мысал қарастырудан бастайық.

1-мысал. Теңгенi үш рет лақтырғанда елтаңба жағымен түсу санын қарастырайық.

Жасалатын тәжiрибе: теңгенi үш рет лақтыру.

Iзделiндi шама: осы үш ретте елтаңба жағымен түсу саны. Теңгенi үш рет лақтырғанда бiрде-бiр рет елтаңба жағымен түспеуi мүмкiн, немесе 1, 2 рет не тiптi 3 ретте де елтаңба жағымен түсуi мүмкiн. Тәжiрибе алдында iзделiндi шама өзiнiң мүмкiн 4 мәнiнiң қайсысын қабылдайтыны белгiсiз, тек мiндеттi түрде осы төрт мәннiң бiреуiне тең болады.

2-мысал. Қандай да бiр қалада бiр айда дүниеге келген сәбилер санын қарастырайық.

Жүргiзiлетiн бақылау: Бiр айда дүниеге келген сәбилердi бақылау.

Iзделiндi шама: Осы дүниеге келген сәбилер саны. Ол қалада бiр айда дүниеге бiрде-бiр сәби дүниеге келмеуi мүмкiн, немесе бiреу, екеу, т.с.с. сәбилер дүниеге келуi мүмкiн. Тәжiрибе алдында iзделiндi шама өзiнiң мүмкiн мәндерiнiң (0, 1, 2, ...) қайсысын қабылдайтыны белгiсiз, тек мiндеттi түрде осы мәндердiң бiреуiне ғана тең болады.

3-мысал. Мерген центрi белгiленген, радиусы R-ге тең нысананы көздеп атты дейiк. Тиген оқтың центрден қаншалықты ауытқығанын табайық.

Жүргiзiлген сынақ: мергеннiң нысананы көздеуi.

Iзделiндi шама: оқтың центрден қаншалықты ауытқығаны. Мерген дәл центрге тигiзуi мүмкiн, ол кезде ауытқу нөлге тең. Ал егер центрден өзге жерге тисе, сол жерден бастап центрге дейiнгi ара-қашықтықты керектi дәлдiкке дейiн әруақытта өлшеп алуға болады. Сонда iзделiндi шама 0 мен R-дiң арасында жатқан кез келген санды қабылдай алады. Тәжiрибе алдында iзделiндi шама өзiнiң мүмкiн мәндерiнiң (0, R кесiндiсiне тиiстi кез келген сан) қайсысын қабылдайтыны белгiсiз, тек мiндеттi түрде осы мәндердiң бiреуiне ғана тең болады.

Анықтама. Тәжiрибе нәтижесiнде алдын-ала белгiсiз, бiрақ нақтылы бiр мән ғана қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деймiз.

Кездейсоқ шамаларды латын алфабитiнiң үлкен әрiптерiмен (Х, У, Z), ал олардың қабылдайтын мүмкiн мәндерiн кiшi әрiптерiмен (х₁, х₂,..., х_п ,у₁,у₂,..., z₁, z₂,...) белгiлейдi.

Қарастырған мысалдардағы шамамалардың бәрi де кездейсоқ шамалар екен: Х - теңгенi үш рет лақтырғанда елтаңба жағымен түсу саны; У - бiр айда дүниеге келген сәбилер саны; Z - оқтың центрден ауытқу саны.

Бастапқы екi мысалда, бiз кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерiн нақтылы санай аламыз. 1-мысалда ол мәндер: 0 (бiре-бiр рет елтаңба жағымен түспедi), 1 (елтаңба жағымен 1 рет түстi), 2 (елтаңба жағымен 2 рет түстi), 3 (елтаңба жағымен 3 рет түстi).

Ал 2-мысалда, ол мәндер: 0 (бiрде-бiр сәби дүниеге келмедi), 1 (бiр сәби дүниеге келдi), 2 (екi сәби дүниеге келдi), т.с.с.

Анықтама. Ақырлы немесе ақырсыз саналатын мәндер қабылдайтын кездейсоқ шаманы дискреттi кездейсоқ шама деп атайды.

Сонда, 1,2-мысалдардағы шамалар дискреттi кездейсоқ шамалар болады. Х дискреттi кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi:

X: х₁=0, х₂=1,x₃=2,x₄=3;

ал У дискреттi кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi:

У: у₁=0, у₂=1,у₃=2,у₄=3, ... ;

Ал 3-мысалдағы кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерiн бiз олай санай алмаймыз, себебi кесiндiде барынша жақын орналасқан екi санның арсынан қалауымызша көп сан ала аламыз. Ол кездейсоқ шама кесiндiдегi кез-келген мәндi қабылдай алады.

Анықтама. Ақырлы немесе ақырсыз аралықтағы кез келген мәндi қабылдай алатын кездейсоқ шаманы үзiлiссiз кездейсоқ шама деп атайды.

Сонда, 3-мысалдағы кездейсоқ шама - үзiлiссiз кездейсоқ шама болады екен. Z үзiлiссiз кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi 0, R кесiндiсiндегi кез келген сан:

Z: z_i0, R, i=1,2,...