Лабораторная работа № 1-1 Исследование распределения результатов физических измерений

Цель работы: определение параметров распределения результатов измерений и получение приближенного вида функции распределения.

Оборудование: микрометр, штангенциркуль, набор цилиндров.

Введение

Набор цилиндров (100 … 200 шт.), используемый в данной лабораторной работе – это совокупность одинаковых объектов, изготовленных в одинаковых условиях. Поэтому при измерении высоты (или диаметра) цилиндров, казалось бы, должна получаться одна и та же физическая величина. Однако в силу влияния большого количества причин, действующих случайно, совокупность высот цилиндров представляет собой набор случайных величин, моделирующих разброс результатов отдельных измерений в физическом эксперименте.

Это распределение характеризуется параметрами:

1) среднее арифметическое значение высоты ;

2) дисперсия ;

3) среднеквадратичная погрешность (где n – число измерений).

Если бы число измерений было бесконечно большим, то <h> совпадало бы с истинным значением высоты цилиндра, а S_n c . График распределения отдельных значений h_i относительно <h> имел бы вид, подобный рис. 1. на с. 8. Число измерений ограничено, но и в этом случае удается получить приближенный вид функции распределения результатов измерений, построив гистограмму (столбчатую диаграмму).

Для построения гистограммы необходимо отрезок h_max – h_min (где h_max – максимальное из измеренных значений высот цилиндра, h_min – минимальное из измеренных значений высот цилиндра) разбить на N равных интервалов величины h, подсчитать число “попаданий” n_i значений высот цилиндров в каждый интервал и относительную частоту попаданий в каждый интервал f_i = n_i / n.

Если значение высоты цилиндра попадает на границу интервалов, то этот цилиндр учитывается в правом интервале. Для количественного сравнения кривой Гаусса с гистограммой в последней по оси ординат необходимо отложить величину оценки плотности вероятности каждого интервала . Проделанные разбиения и расчеты в табличной форме имеют вид:

Число интервалов	Интервал	ni		ni/(n·Δh)
1	hmin  h1	n1	f1	f1/Δh
2	h1  h2	n2	f2	f2/Δh
.	………….	…	…	…
№	hN-1  hmax	nN	fN	fN/Δh

По значениям, представленным в таблице, строится гистограмма (см. рисунок). Как видно из рисунка, гистограмма – это совокупность прямоугольников, у которых одна сторона у всех равна ширине интервала Δh, а вторая – частоте попадания значений высот цилиндров в соответствующий интервал.

Порядок выполнения работы

1. Измерить высоты 100 … 200 цилиндров и результаты внести в отчет.

2. Определить по полученным значениям высот цилиндров: максимальное из измеренных значений высот цилиндров, минимальное из измеренных значений высот цилиндров, среднее значение высоты цилиндров, дисперсию распределения, среднеквадратичную погрешность распределения.

3. Разбить отрезок h_max – h_min на 6  8 интервалов. Определить число попаданий и относительную частоту попаданий для каждого интервала. Полученные значения представить в табличной форме подобно таблице выше.

4. Построить гистограмму для распределения относительной частоты попаданий f_i на миллиметровой бумаге.

5. Построить гистограмму оценки плотности вероятности n_i/(n·Δh). Изобразить пунктиром там же Гауссову кривую по рассчитанным в п.2 значениям <h> и ², воспользовавшись формулой .

6. Сравнить Гауссову кривую с гистограммой оценки плотности вероятности и проанализировать полученные результаты.