Ежов - ТеорВер

Вступ

Теорiя ймовiрностей, випадковi процеси i математична статистика створюють великi роздiли математики та її застосувань. Їхнiй розвиток нерозривно пов’язаний iз загальним розвитком науки i технiки, де все бiльш позначається потреба давати вiдповiдну ймовiрнiсну iнтерпретацiю рiзним явищам i процесам. Теорiя ймовiрностей i випадкових процесiв пропонує рiзноманiтнi математичнi моделi для типових випадкових явищ та їх еволюцiйного розвитку. У рамках цих моделей вивчає притаманнi їм ймовiрнiснi закономiрностi, розробляє методи розв’язку таких важливих задач, як прогнозування, керування та iншi. Математична статистика розв’язує задачi оцiнювання окремих параметрiв i структури в цiлому тiєї чи iншої ймовiрнiсної моделi за статистичними даними, дає методи перевiрки рiзних гiпотез, рекомендує правила планування самого експерименту для отримання необхiдних статистичних даних.

Математична теорiя ймовiрностей набуває практичної цiнностi i наочний змiст у зв’язку з такими дiйсними або уявними дослiдами як, наприклад, пiдкидання монети сто разiв, пiдкидання гральних кубикiв, гра в рулетку, спостереження тривалостi життя радiоактивного ядра або життя людини, схрещення двох сортiв рослин. Сюди ж вiдносяться такi явища, як стать новонародженого, наявнiсть випадкових шумiв у системах зв’язку, контроль якостi промислової продукцiї, положення частинки при дифузiї, кiлькiсть подвiйних зiрок на рiзних дiлянках неба тощо. Всi цi явища характеризуються тим, що для них вiдсутня детермiнiстична регулярнiсть (тобто спостереження за ними не завжди приводять до однакових результатiв). У той же час вони мають деяку статистичну регулярнiсть. Це проявляється, наприклад, у статистичнiй сталостi частот.

Дiйсно, розглянемо пiдкидання правильної монети. Зрозумiло, що заздалегiдь неможливо абсолютно достовiрно передбачити результат кожного пiдкидання. Результати окремих експериментiв носять нерегулярний характер i здається, що це позбавляє нас можливостi встановити якi -небудь закономiрностi, що пов’язанi з цим експериментом. Проте, якщо провести велику кiлькiсть незалежних пiдкидань, то можна помiтити, що для правильної монети буде спостерiгатися цiлком визначена статистична регулярнiсть, коли частота випадання ”герба” буде близька до 0.5.

Статистична сталiсть частот робить цiлком правдоподiбною гiпотезу про можливiсть кiлькiсної оцiнки випадковостi того чи iншого явища, що здiйснюється у результатi експериментiв. Виходячи з цього, теорiя ймовiрностi постулює наявнiсть у подiї A деякої числової характеристики P (A), що називається ймовiрнiстю цiєї подiї, природна властивiсть якої повинна полягати в тому, що зi зростанням кiлькостi незалежних випробувань (експериментiв) частота появи подiї A має наближатися до P (A).

Вiдносно до розглянутого прикладу це означає, що ймовiрнiсть подiї A, яка полягає у випадiннi ”герба” при пiдкиданнi правильної монети, природно вважати рiвною 0.5. Кiлькiсть подiбних прикладiв, у яких iнтуїтивне уявлення про чисельне значення ймовiрностi тiєї чи iншої подiї складається досить легко, можна без зусиль примножити. При цьому всi вони будуть носити схожий характер i супроводжуватися невизначеними поняттями типу ”чесне” пiдкидання, ”правильна” монета, ”незалежнiсть” тощо.

Теорiя ймовiрностей, як i будь-яка точна наука, стала такою лише тодi, коли було чiтко сформульовано поняття ймовiрнiсної моделi, та утворено її аксiоматику. Виникнення тео-

3

Роздiл 1

Елементарна теорiя ймовiрностей

1.1.Простiр елементарних подiй

У загальнiй теоретико-ймовiрнiснiй схемi для кожного експерименту iз випадковим результатом повиннi бути вказанi всi можливi результати, якi вiдповiдають таким вимогам: у результатi експерименту неодмiнно вiдбувається один i тiльки iз цих результатiв. Для нас несуттєва реальна природа цих результатiв, важливим є лише те, що їх кiлькiсть N скiнчена. Кожний такий результат прийнято називати елементарною подiєю ω. Сукупнiсть елементарних подiй

будемо називати простором елементарних подiй. Елементарнi подiї є точками простору елементарних подiй.

Будь-який результат експерименту з випадковим результатом у теорiї ймовiрностей прийнято називати подiєю. Кожну подiю A можна ототожнювати з пiдмножиною A Ω, яка складається iз тих точок ω Ω, при яких вiдбувається A. З цiєї причини у подальшому ми не будемо робити рiзницi мiж подiєю A та вiдповiдною пiдмножиною A Ω.

1.2.Дослiд iз скiнченою кiлькiстю рiвноймовiрних результатiв

Розглянемо декiлька прикладiв структури простору елементарних подiй.

Приклад 1. При однократному пiдкиданнi монети простiр елементарних подiй складається з двох точок: Ω = {Γ, P }, де Γ - ”герб”, P - ”решта”.

Приклад 2. (Пiдкидання грального кубика.) Простiр елементарних подiй складається iз шести точок: Ω = {1, 2,

3, 4, 5, 6}. У цьому просторi можна, наприклад, видiлити пiдпростiр (подiю) A, який описує природно парних чисел, тобто A = {2, 4, 6} Ω.

5

У всiх цих прикладах жоднiй з елементарних подiй не можна вiддати перевагу перед iншими, вважати її бiльш ймовiрною, нiж iншi, i якщо N - загальна кiлькiсть елементарних подiй, то випадання вважати елементарнi подiї рiвноймовiрними i кожнiй подiї приписувати однакову ймовiрнiсть, що дорiвнює 1/N . Визначена таким чином ймовiрнiсть на практицi оцiнює частоту даної елементарної подiї у серiї великої кiлькостi незалежних повторень експерименту, якщо пiд частотою розумiти вiдношення числа появи даної елементарної подiї до загального числа повторень експерименту. Пiсля цього можна обчислити ймовiрнiсть будь-якого результату експерименту. А саме, якщо N (A) розмiрнiсть пiдпростору A Ω (кiлькiсть елементiв ω, з яких складається цей пiдпростiр), який визначає подiю A, то випадання визначити ймовiрнiсть P (A) подiї A як вiдношення числа елементарних подiй, з яких складається A, до числа всiх елементарних подiй:

Зокрема, ймовiрнiсть випадання парного числа при пiдкиданнi грального кубика дорiвнює

0.5.

1.3.Дослiд iз нескiнченною кiлькiстю елементарних подiй

Для багатьох експериментiв характерним є те, що можлива нескiнченна множина (навiть континуум) елементарних подiй. У таких випадках ймовiрнiсть зручно задавати за допомогою т. зв. густини ймовiрностi. При цьому вiд додавання ймовiрностей елементарних подiй переходять до iнтегрування густини ймовiрностi по множинi, що вiдповiдає деякiй подiї A, а ймовiрнiсть кожної елементарної подiї дорiвнює нулевi.

Приклад 3. Нехай на вiдрiзку [a, b] довжини l = b − a довiльно ставиться точка. Яка ймовiрнiсть того, що вона попаде на вiдрiзок [α, β], що мiститься в [a, b]?

Оскiльки ймовiрнiсть попасти в [α, β] не залежить вiд того, де саме на [a, b] розташований вiдрiзок [α, β], то шукана ймовiрнiсть P (A) дорiвнює βb −− aα , тобто вiдношенню довжин

вiдрiзкiв [α, β] i [a, b]. Вiдповiдь буде такою ж, якщо замiсть вiдрiзка [α, β] вибрати будь-яку пiдмножину вiдрiзка [a, b] i для неї можна визначити довжину, що дорiвнює (β − α).

Нехай Ω - скiнчений (або у бiльш загальному випадку нескiнчений) простiр елементарних подiй деякого випадкового експерименту. Припустимо, що структура експерименту така, що на Ω можна вказати n елементарних подiй ω1, . . . , ωn, якi мають такi властивостi:

1) подiї ωi, ωj попарно несумiснi, тобто нiякi двi з них не можуть вiдбутися одночасно

2) ω1, . . . , ωn утворюють повну групу подiй у тому розумiннi, що при будь-якому результатi експерименту хоча б одна з них неодмiнно вiдбувається, а це означає, що

3) подiї ω1, . . . , ωn рiвноймовiрнi, або, iншими словами, жоднiй iз них не можна вiддати перевагу. Це доматематична вимога, i її не можна намагатися сформулювати у термiнах яких-небудь бiльш елементарних властивостей.

У класичнiй схемi подiї ω1, . . . , ωn, що вiдповiдають умовам 1) - 3), називаються повною групою попарно несумiсних рiвноймовiрних подiй.

Допишемо кожнiй елементарнiй подiї ωi Ω деяку вагу, яку позначимо p(ωi) i назвемо ймовiрнiстю подiї ωi. Ця ймовiрнiсть задовольняє таким умовам:

1)0 ≤ p(ωi) ≤ 1 (невiд’ємнiсть );

2)p(ω1) + . . . + p(ωn) = 1 (нормованiсть ).

Ймовiрнiсть P (A) будь-якої подiї A F має вигляд

i: ωi A}

Тобто, в класичнiй схемi ймовiрнiсть визначається лише для тих результатiв експерименту, якi можуть бути представленi у виглядi об’єднання деяких iз елементарних подiй ωi.

3) Внаслiдок рiвноймовiрностi усiх ωi ймовiрнiсть подiї A визначається рiвнiстю

Вiдповiдно до свого класичного визначення знаходження ймовiрностi P (A) звичайно зводиться до комбiнаторних обчислень.