Ежов - ТеорВер

8.6. Точковi оцiнки

81

Визначимо математичне сподiвання Mθ i дисперсiю Dθ в розподiлi F (·, θ). Маємо

n

1

j

(8.27)

M µn =

M ξj = µ .

θ

6

n

θ

=1

Тодi, якщо як оцiнку математичного сподiвання µ = τ (θ) ми будемо використовувати µn

, ми

не будемо робити систематичної похибки в тому розумiннi, що

6

Mθ (µn − µ) = 0 .

Оцiнки, що мають властивiсть (8.27),

називаються незмiщеними.

6

Далi маємо

n

Mθ (µn − µ)2

1

j

Dθ ξj =

σ2

= Dθ µn = n2

n .

6

6

=1

σ2

(8.28)

P {|µ6n − µ| > ε|θ} ≤

nε2

−→ 0, n → ∞

1

1

1

k

=

Дослiдимо роль незмiщеностi. Нехай є k незалежних вибiрок ξ

= (ξ1

, . . ., ξn1), . . ., ξ

k

k

iз розподiлу

1

),

k

)

(ξ1

, . . . , ξnk )

F (x, θ). На основi цих вибiрок побудуємо оцiнки

t1(ξ

. . . , tk (ξ

значення τ (θ), причому

i

i

2

≤ σ

2

(8.29)

, i = 1, k .

Mθ ti(ξ

) = τ (θ) + εi

, Dθ ti(ξ

) = σi

Побудуємо статистику

k

1

j

j

(8.30)

Tk =

k

=1

tj (ξ

) ,

i знайдемо

k

k

1

j

1

j

(8.31)

M Tk =

M tj (ξ

) = τ (θ) +

εi

θ

k

θ

k

j=1

=1

82

Роздiл 8.

Математична статистика

та

k

1

j

σ2

(8.32)

Dθ Tk =

k2

=1

σj2

≤

k

→ 0, k → ∞ .

j

k

Якщо змiщення k1

=1 εi не прямує до нуля при k → ∞, то Tk при k → ∞ не збiгається до

τ (θ) + ε, що є небажаним. З iншого боку, якщо εj = 0, j = 1, k, то ми отримаємо додавання

iнформацiї про

j

)

(тобто зникає

τ (θ), що мiститься в незалежних незмiщених оцiнках

tj (ξ

iнформацiя про τ (θ)).

Разом з тим очевидно, що якщо ми маємо оцiнку t iз мiнiмальним вiдхиленням

˘

−

2

θ −

2

(8.33)

θ

=

t

M

˘

τ (θ)

min M

t

τ (θ) ,

t

n

i

1

Mθ t(ξ) = Cni θi(1 − θ)n−it(i) =

θ

=0

−

j

−

2

1

n

σ2

=

(ξ

j −

µ

)2 =

(I − Π1)ξ

,

(8.34)

n

n

1

=0

n

n

1

6

6

N (µ, σ

2

). Згiдно з (8.13) статистика (8.34) має розподiл

де ξ = (ξ1, . . . , ξn) є вибiркою iз

σ2

. Тодi

χ2

n − 1 n−1

M

σ2

=

σ2

M χ2

= σ2

,

n−1

θ

n

n−1

σ

2

σ4

2

2σ4

, n

.

=

(n−1)2 Dχn−1 = n−1 → 0

→ ∞

Dθ 6n

Таким чином,

σ

2

є

незмiщеною (слушною) оцiнкою σ

2

,

2

)

. У той же час

= τ (θ)

θ = (µ, σ

n

n

6

−

−

n2

−

−

−

6

θ

M

1

(I Π1)ξ

2

σ2

2

=

σ4

2(n 1) + (n 1)2

σ4

2

1

−2

(n−1) + σ4 = (

−

)σ4 < Dθ σ6n2 , n = 1, 2, . . .

n

n

n2

8.6. Точковi оцiнки

83

Тому для кожного n = 1, 2, . . . статистика

2

1

2

σ2

σ2

σn

=

n

(I − Π1)ξ

менше вiдхиляється вiд

, чим

,

хоча i має змiщення, оскiльки

n

=

6

M σn2

= σ2

σ2

.

− n

2

2

σ2

θ =

Внаслiдок того, що Mθ (σn

−2

σ

) =

0 при n

∞, i того, що

n

2

=

− 2

→ 2 2

σ4

→

2n 2

θ

(σ

n

−

θ

n

−

σ )

−

n2

=

n2

→

0, n

→ ∞

,

D

σ ) = M

(σ

−

оцiнка

σ2

за ймовiрнiстю до σ2, тобто є слушною. В даному випадку змiщенiй

n збiгається

=

=

оцiнцi дисперсiї σ2

треба вiддати перевагу перед незмiщеною σ2 .

n

n

Статистики µn

(8.26) i

σ2

(8.34) як оцiнки для математичного сподiвання i дисперсiї

=

n

властивостей i без припущення про нормальнiсть вибiрки. Дiйсно, нехай

зберiгають ряд =

6

ξ = (ξ1, . . . , ξn) є6вибiркою iз6довiльного розподiлу, причому

Тодi

σ2

M µn = µ, Dµn =

.

µn

n

Тобто

6

є незмiщеною i слушною

6

6

(I − Π1)ξ 2 = (ξ − m) − Π1(ξ − m) 2 = ξ − m 2−

n

2

i

n

1

− Π1(ξ − m) 2 = i=1(ξi − µ)2 − n .

n

=1

(ξi − µ)/ ,

де m = (µ, . . . , µ). Тодi

2

= nσ

2

− σ

2

= (n −

1)σ

2

,

M (I − Π1)ξ

i вiдповiдно до (8.34) маємо

M σn2 =

1

(n

− 1)σ2 = σ2 .

n − 1

Тобто, i

без припущення про

нормальнiсть розподiлу, статистика σ2

є незмiщеною оцiнкою

6

n

σ2

. Але без додаткових припущень про розподiл нiчого не можна сказати про слушнiсть

n

. Що стосується σn2 , то у цьому випадку вона втрачає свої6

переваги перед σn2 .

оцiнки σn2

1)

6

θ

=

6

Таким чином, важливими для нас є такi властивостi оцiнок:

Незмiщеннiсть:

M t(ξ) = τ (θ);

2

. Зокрема, для незмiщених оцiнок це

мiнiмальнiсть дисперсiї;

θ

−

τ (θ)

min

2)

Мiнiмальнiсть вiдхилення: M

t(ξ)

p

3) Слушнiсть: tn(ξ) −→ τ (θ), n → ∞.