Тема 2_ Арифметические и логические основы ЭВМ

Кафедра

Кафедра

Тема 2

информатики ЛЕКЦИИ ПО ИНФОРМАТИКЕ

УГАТУ

информатики

УГАТУ

Для студентов факультетов АП, АТС

Основы построения ЭВМ

групп МХ, ММ, СМ, ФМ, АТП, ТМ, ВТ

Арифметические основы ЭВМ

•

Системы счисления

Составители:

•

Представление числовой информации

доценты Кафедры Информатика

Логические основы ЭВМ

Ахметсафина Римма Закиевна

•

Алгебра логики

Карчевская Маргарита Петровна

•

Логические схемы

Рамбургер Ольга Леонардовна

Машина Тьюринга и автомат Неймана

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

1

Кафедра

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Кафедра

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Система счисления (СС) – принятый способ

В современном мире наиболее распространенной является

наименования и записи чисел с помощью

десятичная система счисления, происхождение которой

символов, имеющих определенные

связано с пальцевым счетом. Она возникла в Индии и в

количественные значения.

XIII веке была перенесена в Европу арабами. Поэтому ее

и стали называть арабской.

В любой системе счисления выбирается алфавит,

На Древнем Востоке довольно широко была

распространена двенадцатеричная система. Многие

(совокупность некоторых символов – слов или

предметы до сих пор считают дюжинами – столовые

знаков), с помощью которого можно представить

предметы; в году – 12 месяцев, английская система мер –

1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов.

любое количество чего-либо.

Изображение любого количества называется

В Древнем Вавилоне существовала шестидесятиричная

система. Она сохранилась до наших дней в системе

числом, а символы алфавита – цифрами.

измерения времени.

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

3

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

4

Кафедра

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Кафедра

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Все системы счисления можно разделить на

В позиционной системе счисления количественное

два класса: непозиционные и позиционные.

значение каждой цифры зависит от ее места

Самый известный пример непозиционной СС – римская,

(позиции) в числе.

в которой используется 7 знаков:

2 3 , 4 3 1 0

число единиц

число сотых долей единицы

Например,

III (три), LIX (59), DLV (555)

В непозиционных системах счисления значение цифры

не зависит от места, которое он занимает в числе.

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

5

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

6

Кафедра

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Кафедра

информатики

УГАТУ

информатики Позиционные системы счисления

УГАТУ

Количество используемых знаков в позиционной

В позиционной системе счисления любое число может

системе счисления называется основанием

быть представлено в виде суммы произведений

системы счисления.

коэффициентов на степени основания системы

Алфавиты некоторых систем счисления

счисления.

692

= 6*102 + 9*101 + 2*100

10

1101

= 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20

2

112

= 1*32 + 1*31 + 2*30

3

341,5

= 3*82 + 4*81 + 1*80 + 5*8-1

8

A1F,4

= A*162 + 1*161 + F*160 + 4*16-1

16

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

7

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

8

Кафедра

Позиционные системы счисления

Кафедра

Правило перевода чисел

информатики

информатики

из любой СС в десятичную СС

УГАТУ

УГАТУ

В общем виде в позиционной СС с основанием p любое число

Ap = an an−1 Ka0

, a−1a− ...a−m

Перевод в десятичную систему числа A, записанного

в р-ичной системе счисления

14243 14243

целая часть числа

дробная часть числа

может быть представлено в развернутой форме:

Ap

= an an−1 Ka0

, a−1a− ...a−m

Ap = an p n + an−1 p n−1

+ ... + a1 p + a0 + a−1 p −1 + a−2 p −2

+ ... + a−m p −m

14243 14243

,

целая часть числа

дробная часть числа

1444442444443

1444442444443

целая часть числа

дробная часть числа

сводится к вычислению значения многочлена

здесь n+1 – число разрядов, необходимое для записи целой части числа,

m – число разрядов, необходимое для записи дробной части числа Z,

Ap = an p

n

+ an−1 p

n−1

+ ... + a1 p + a0 + a−1 p

−1

+ a−2 p

−2

+ ... + a−m p

−m

,

ai – веса разрядов.

1444442444443 1444442444443

целая часть числа

дробная часть числа

На этой формуле основан способ перевода чисел из любой системы

счисления в десятичную СС. Для этого достаточно выполнить

средствами десятичной арифметики.

указанные операции в десятичной системе счисления.

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1,

семестр 1,

2009 г.

9

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1, семестр 1,

2009 г.

10

Кафедра

Использование схемы Горнера

Кафедра

Использование схемы Горнера

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Для упрощения и автоматизации вычислений при переводе

Перевод целой части числа

Ap = an an−1 Ka0 , a−1a−

...a−m

14243 14243

рационально использовать схему Горнера, согласно

целая часть числа

дробная часть числа

которой значение многочлена A(x) n – ой степени

в десятичную СС сводится к последовательности

действий, заданных схемой Горнера:

A( x) = a

xn + a

n−1

xn−1 + L+ a x + a

n

1

0

(K(((an p + an−1 ) p + an−2 ) p + L+ a1 ) p + a0

может быть вычислено по формуле

Для перевода дробной части числа Ap в десятичную СС

схема Горнера примет вид:

A( x) = (K(((an x + an−1 ) x + an−2 ) x + L+ a1) x + a0

(K(((a−m p

−1

+ a−m+1 ) p

−1

+ a−m+2 ) p

−1

+ L+ a−1 ) p

−1

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1,

семестр 1,

2009 г.

11

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1, семестр 1,

2009 г.

12

Кафедра

Использование схемы Горнера

Кафедра

Правило перевода целой части числа

информатики

УГАТУ

информатики

из десятичной СС в любую СС

УГАТУ

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной

системы в систему с основанием p, необходимо

разделить ее на основание p. Остаток даст младший

разряд числа. Полученное при этом частное

необходимо вновь разделить на p – остаток даст

следующий разряд числа и т.д. пока частное от

деления не станет равным 0.

Пример

200 : 8 = 25

(0),

25 : 8 = 3

(1),

3 : 8 = 0

(3)

Ответ: 20010=3108

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

13

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

14

Кафедра

Правило перевода целой части числа

КафедраПравило перевода дробной части числа

информатики

информатики

из десятичной СС в любую СС

УГАТУ

из десятичной СС в любую СС

УГАТУ

Пример

Для перевода дробной части ее необходимо умножить на основание

системы p.

2638 : 16 = 164

(14),

Целая часть, полученного произведения будет первым (после запятой,

отделяющей целую часть от дробной) знаком.

164

: 16 = 10

(4),

Дробную часть произведения необходимо вновь умножить на p. Целая

10

: 16 = 0

(10)

часть полученного числа будет следующим знаком и т.д. пока дробная

часть не станет равной 0 или, пока не будет достигнута нужная точность,

т.к.конечная дробь вполне может оказаться бесконечной (периодической).

Полученные остатки от делений при переводе в p-ричную

Полученные целые части произведений необходимо на каждом шаге

СС необходимо на каждом шаге привести в соответствие

привести в соответствие с алфавитом новой СС

с алфавитом новой СС.

0,65 * 16 = 10,40 (целая часть 10)

Ответ: 263810 = A4E16

0,40 * 16 =

6,40

(целая часть 6)

0,40 * 16 =

6,40

(целая часть 6) и т.д.

(число 14 заменили

шестестнадцатеричной цифрой E,

10 – цифрой A)

0,6510 = 0,A6(6)16

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

15

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

16

Кафедра

Соответствие чисел в различных СС

Кафедра

информатики

УГАТУ

информатикиАрифметические операции с двоичными числами

УГАТУ

Десятичная

Шестнадцатеричная

Восьмеричная

Двоичная

Таблицы сложения, умножения и вычитания

0

0

0

0

в двоичной СС

1

1

1

1

2

2

2

10

3

3

3

11

4

4

4

100

5

5

5

101

6

6

6

110

7

7

7

111

8

8

10

1000

9

9

11

1001

10

A

12

1010

11

B

13

1011

12

C

14

1100

13

D

15

1101

14

E

16

1110

15

F

17

1111

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1, семестр 1,

2009 г.

17

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

18

Кафедра

Арифметические операции с двоичными числами

Кафедра

Арифметические операции с двоичными числами

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

При двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос 1 в

При двоичном вычитании необходимо помнить, что занятая

в ближайшем разряде 1, дает две единицы младшего

старший разряд, как и в десятичной арифметике.

разряда. Если в соседних старших разрядах стоят нули, то 1

Например,

занимается через несколько разрядов. При этом единица,

занятая в ближайшем значащем старшем разряде, дает две

единицы младшего разряда и единицы во всех нулевых

разрядах, стоящих между младшим и тем старшим

разрядом, у которого бралась единица.

2

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

19

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

20

Кафедра

Арифметические операции в разных СС

Кафедра Правило перевода целой части двоичного числа

информатики

УГАТУ

информатики

в восьмеричную (шестнадцатеричную) СС

УГАТУ

Правила сложения, вычитания, умножения «столбиком»

и

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное

деления «углом» применимы в любой системе счисления.

(шестнадцатеричное) необходимо:

Как и в десятичной СС при сложении чисел единица переноса в

- разбить это число справа налево на группы по 3 (4)

старший разряд появляется тогда, когда сумма цифр равна или

цифры – двоичные триады (тетрады). При этом самая

больше основания системы счисления, в которой выполняются

левая группа может содержать менее трех (четырех)

арифметические операции.

двоичных цифр.

При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры

- каждой группе поставить в соответствие ее

восьмеричный (шестнадцатеричный) эквивалент.

вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица

основания.

11011001 = 011 011 001 = 331(8)

11 + 14 = 25; 25 - 16 = 9; 9 пишем, 1 – в уме; 15 + 7 = 22;

1100011011001 = 0001 1000 1101 1001 = 18D9(16)

22 + 1 = 23; 23 – 16 = 7; 7 пишем, 1 – в уме;

т.к. B < E, занимаем 16 единиц в старшем разряде.

Тогда 16 + 11 – 14 = D; 15 - 1 - 7 = 7;

011 = 2 + 1 = 3

1101 = 8 + 4 + 1 = 13

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

21

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

22

Кафедра

Правило перевода дробной части двоичного числа

Кафедра

Правило перевода восьмеричных (шестнадцатиричных)

информатики

в восьмеричную (шестнадцатеричную) СС

информатики

чисел в двоичную СС

УГАТУ

УГАТУ

Для перевода дробных частей двоичных чисел

Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных)

чисел в двоичные производится обратным

в восьмеричную или шестнадцатеричную

путем – сопоставлением каждому знаку числа

системы аналогичное разбиение на триады

соответствующей тройки (четверки) двоичных

или тетрады производится от запятой вправо

цифр.

(с дополнением недостающих последних

цифр нулями)

А1F(16) = 1010 0001 1111(2)

А

1

F

0,1100011101(2) = 0,110 001 110 100 = 0,6164(8)

127

(8)

= 001 010 111

(2)

0,1100011101(2) = 0,1100 0111 0100 = С74(16)

1

2

7

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

23

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

24

Кафедра

Кафедра

информатики

информатики

Представление числовой информации

УГАТУ

Представление числовой информации

УГАТУ

Информация в памяти ЭВМ записывается в форме

Большинство из ячеек памяти имеет одинаковую длину

цифрового двоичного кода.

Для этого в компьютере содержится большое количество

n, т.е. они используются для хранения n бит

двоичной информации (бит – один двоичный разряд).

ячеек памяти и регистров (от лат. regestum – внесенное,

записанное).

Информация, хранимая в такой ячейке, называется

Ячейки памяти и регистры состоят из элементов памяти. Каждый

словом.

из таких электрических элементов может находиться в одном

из двух устойчивых состояний: конденсатор заряжен или

В большинстве случаев, словом называют группу из

разряжен, транзистор находится в проводящем или

четырех соседних байт, группу из двух соседних байт

непроводящем состоянии и т.п.

– полусловом, группу из восьми соседних байт –

Одно из таких физических состояний создает высокий уровень

двойным словом.

выходного напряжения элемента памяти, а другое – низкий.

Обычно это электрическое напряжение порядка 4-5В, его

принимают за двоичную единицу, и 0В – его принимают за

двоичный ноль.

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

25

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

26

Кафедра

Представление числовой информации

Кафедра

информатики

информатики

УГАТУ

Представление числовой информации

УГАТУ

В вычислительных машинах применяются две

формы представления двоичных чисел:

- естественная форма, или форма с фиксированной

запятой (точкой);

- нормальная форма, или форма с плавающей

запятой (точкой).

Память ЭВМ состоит из конечной последовательности

В формате с фиксированной запятой все числа

изображаются в виде последовательности цифр с

слов, а слова – из конечной последовательности битов,

постоянным положением запятой, отделяющей

поэтому объем представляемой в ЭВМ информации

целую часть от дробной.

ограничен емкостью памяти, а числовая информация

может быть представлена только с определенной

Режим с фиксированной точкой в современных компьютерах фактически

степенью точности.

применяется только для целых чисел и условно запятая как бы

зафиксирована после младшего разряда.

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

27

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

28

Кафедра

Кафедра

информатики

информатики

Представление числовой информации

УГАТУ

Представление числовой информации

УГАТУ

В формате с плавающей запятой число представляется в виде двух

Диапазон представления чисел по модулю для

групп цифр, называемых мантиссой и порядком.

такой формы:

Для однозначности представления чисел с плавающей запятой

используется нормализованная (нормальная) форма, при которой:

2−r ≤ N ≤ 2n − 2−r

• абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, и первая ее

цифра после запятой не равна нулю,

где n – общее число разрядов;

• порядок должен быть целым числом положительным или

отрицательным.

r – число разрядов, отведенных под дробную часть.

В общем виде число в нормальной форме (в любой СС)

записывается в виде:

Если в результате какой-либо операции получится число,

N = ± M S ± р

выходящее за допустимый диапазон, произойдет

где M – мантисса, 0.1 <= |M| < 1 (Целая часть мантиссы = 0, первая цифра

переполнение разрядной сетки и результат будет неверен.

после точки не равна нулю)

р– порядок числа;

S – основание системы счисления

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

29

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

30

Кафедра

Кафедра

информатики

информатики

Представление числовой информации

УГАТУ

Представление числовой информации

УГАТУ

Примеры представления десятичных чисел в

нормализованном виде:

0,123*10-02

0,567*105

Диапазон представления чисел в компьютере при такой

форме:

0,1*10-5

0,1*108

Примеры представления двоичных чисел в

2−n × 2−(2r −1) ≤ N ≤ (1 − 2−n )× 2(2r −1)

нормализованном виде :

где n – число разрядов отведенных под мантиссу;

Первая цифра двоичной мантиссы после точки всегда 1

r – число разрядов, отведенных под порядок

Внутреннее представление вещественных чисел в

компьютере всегда нормализовано

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

31

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

32

Кафедра

Кафедра

информатики

информатики

Представление целых чисел без знака

УГАТУ

Представление целых чисел без знака

УГАТУ

Целые числа без знака могут занимать в памяти компьютера 1, 2, 4

байта, при этом самый младший двоичный разряд записывается в

В таблице приведены максимальные значения десятичных

крайний правый бит разрядной сетки. Все разряды должны быть

чисел без знака и соответствующее им число разрядов:

обязательно заполнены, даже если в этом разряде будет храниться

«незначащий ноль».

Например, десятичное число 1910=100112 в 1-байтовом формате

запишется так:

Номера разрядов

Биты числа

При такой форме представления целых чисел без знака

диапазон их возможных значений находится в пределах

от 0 до 2n-1, где n – количество разрядов, отведенных

для числа.

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

33

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

34

Кафедра

Кафедра

информатики

информатики

Представление целых чисел со знаком

УГАТУ

Представление целых чисел со знаком

УГАТУ

Для представления целых чисел со знаком один разряд, как правило,

старший отводится под знак числа. Знак положительного числа

Форма представления целых чисел со знаком,

кодируется нулем, а знак отрицательного – единицей в этом разряде:

когда крайний левый бит разрядной сетки

отводится под знак, а остальные биты – под

цифры числа, называется прямым кодом.

Максимальное значение целого числа со знаком, которое можно

представить в n-разрядном регистре, равно 2n-1-1, а минимальное

Форма представления двоичных чисел в виде прямого

равно -2n-1 , т.е. отрицательных чисел можно закодировать на одно

кода используется в компьютере для хранения только

больше, чем положительных.

целых положительных чисел

Код числа -215 (-32768) в 16-разрядном регистре имеет вид:

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

35

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

36

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

37

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

38

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Примеры представления однобайтовых целых

Пример. Десятичное число с обратным кодом

чисел со знаком

11001111 равно…

Десятичное

Прямой код

Обратный код

Дополнительный

число

код

1 1001111 – обратный код

12

0 000 1100

0 000 1100

0 000 1100

-12

1 000 1100

1 111 0011

1 111 0100

1 0110000 – прямой код

121

0 111 1001

0 111 1001

0 111 1001

110000

2

= 1×25 + 1×24 = 48

10

-121

1 111 1001

1 000 0110

1 000 0111

Ответ: -48

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1,

2009 г.

39

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1,

семестр 1, 2009 г.

40