Тема 2_Арифметические и логические основы ЭВМ

Кафедра

ЛЕКЦИИ ПО ИНФОРМАТИКЕ

Кафедра

Тема 2

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Для студентов факультета АТС

Основы построения ЭВМ

групп МХ, ММ, СМ, ФМ, АТП, ТМ, ВТ

Арифметические основы ЭВМ

•

Системы счисления

Составители:

•

Представление числовой информации

доценты Кафедры Информатика

Логические основы ЭВМ

Карчевская Маргарита Петровна

•

Алгебра логики

Рамбургер Ольга Леонардовна

•

Логические схемы

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

1

Кафедра

Системы счисления

Кафедра

Системы счисления

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Система счисления (СС) – принятый способ наименования

В современном мире наиболее распространенной является

и записи чисел с помощью символов, имеющих

десятичная система счисления, происхождение которой

определенные количественные значения.

связано с пальцевым счетом. Она возникла в Индии и в

XIII веке была перенесена в Европу арабами. Поэтому ее

В любой системе счисления выбирается алфавит,

и стали называть арабской.

(совокупность некоторых символов – слов или знаков), с

На Древнем Востоке довольно широко была

помощью которого можно представить любое количество

распространена двенадцатеричная система. Многие

чего-либо.

предметы до сих пор считают дюжинами – столовые

предметы; в году – 12 месяцев, английская система мер –

Изображение любого количества называется числом, а

1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов.

символы алфавита – цифрами.

В Древнем Вавилоне существовала шестидесятиричная

система. Она сохранилась до наших дней в системе

измерения времени.

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

3

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

4

Кафедра

Системы счисления

Кафедра

Системы счисления

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Все системы счисления можно разделить на два

В позиционной системе счисления количественное

класса: непозиционные и позиционные.

значение каждой цифры зависит от ее места (позиции)

в числе.

Самый известный пример непозиционной СС – римская,

в которой используется 7 знаков:

2 3 , 4 3 1 0

число единиц

число сотых долей единицы

Например,

III (три), LIX (59), DLV (555)

В непозиционных системах счисления значение цифры

не зависит от места, которое он занимает в числе.

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

5

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

6

Кафедра

Системы счисления

Кафедра

Позиционные системы счисления

информатики

УГАТУ

информатики

УГАТУ

Количество используемых знаков в позиционной системе

В позиционной системе счисления любое число может

счисления называется основанием системы счисления.

быть представлено в виде суммы произведений

коэффициентов на степени основания системы

Алфавиты некоторых систем счисления

счисления.

692

= 6*102 + 9*101 + 2*100

10

1101

= 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20

2

112

= 1*32 + 1*31 + 2*30

3

341,5

= 3*82 + 4*81 + 1*80 + 5*8-1

8

A1F,4

= A*162 + 1*161 + F*160 + 4*16-1

16

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

7

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

8

Кафедра

Позиционные системы счисления

Кафедра

Правило перевода чисел

информатики

информатики

из любой СС в десятичную СС

УГАТУ

УГАТУ

В общем виде в позиционной СС с основанием p любое число

Перевод в десятичную систему числа A, записанного

Ap

= an an−1 Ka0 , a−1a−

...a−m

в р-ичной системе счисления

14243 14243

целая часть числа дробная часть числа

может быть представлено в развернутой форме:

Ap

= an an−1 Ka0 , a−1a−

...a−m

Ap = an p n + an−1 p n−1 + ... + a1 p + a0

+ a−1 p −1 + a−2 p −2 +

... + a−m p −m

14243 14243

,

целая часть числа дробная часть числа

1444442444443

1444442444443

целая часть числа

дробная часть числа

сводится к вычислению значения многочлена

здесь n+1 – число разрядов, необходимое для записи целой части числа,

m – число разрядов, необходимое для записи дробной части числа Z,

Ap = an p

n

+ an−1 p

n−1

+ ...

+ a1 p + a0 + a−1 p

−1

+ a−2 p

−2

+ ... + a−m p

−m

,

ai – веса разрядов.

1444442444443 1444442444443

целая часть числа

дробная часть числа

На этой формуле основан способ перевода чисел из любой системы

счисления в десятичную СС. Для этого достаточно выполнить

средствами десятичной арифметики.

указанные операции в десятичной системе счисления.

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники

семестр 1, 2010 г.

9

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники

семестр 1,

2010 г.

10

Кафедра

Правило перевода целой части числа

Кафедра

Правило перевода целой части числа

информатики

из десятичной СС в любую СС

информатики

из десятичной СС в любую СС

УГАТУ

УГАТУ

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной

Пример

системы в систему с основанием p, необходимо

разделить ее на основание p.

2638 : 16 = 164

(14),

Остаток даст младший разряд числа.

164

: 16 = 10

(4),

Полученное при этом частное необходимо вновь

10

: 16 = 0

(10)

разделить на p – остаток даст следующий разряд числа

и т.д. пока частное от деления не станет равным 0.

Полученные остатки от делений при переводе в p-ричную

Пример

СС необходимо на каждом шаге привести в соответствие

с алфавитом новой СС.

200 : 8 = 25

(0),

25 : 8 = 3

(1),

Ответ: 263810 = A4E16

3 : 8 = 0

(3)

(число 14 заменили

шестнадцатеричной цифрой E,

Ответ: 20010=3108

10 – цифрой A)

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники

семестр 1, 2010 г.

11

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники

семестр 1,

2010 г.

12

Кафедра

Правило перевода дробной части числа

Кафедра

Соответствие чисел в различных СС

информатики

из десятичной СС в любую СС

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Для перевода дробной части ее необходимо умножить на основание

Десятичная

Шестнадцатеричная

Восьмеричная

Двоичная

0

0

0

0

системы p.

1

1

1

1

Целая часть, полученного произведения будет первым (после запятой,

2

2

2

10

отделяющей целую часть от дробной) знаком.

Дробную часть произведения необходимо вновь умножить на p. Целая

3

3

3

11

4

4

4

100

часть полученного числа будет следующим знаком и т.д. пока дробна

часть не станет равной 0 или, пока не будет достигнута нужная

5

5

5

101

точность, т.к.конечная дробь вполне может оказаться бесконечной

6

6

6

110

(периодической).

7

7

7

111

Полученные целые части произведений необходимо на каждом шаге

8

8

10

1000

привести в соответствие с алфавитом новой СС.

9

9

11

1001

0,65 * 16 = 10,40 (целая часть 10)

10

A

12

1010

11

B

13

1011

0,40 * 16 =

6,40

(целая часть 6)

12

C

14

1100

0,40 * 16 =

6,40

(целая часть 6) и т.д.

13

D

15

1101

0,6510 = 0,A6(6)16

14

E

16

1110

15

F

17

1111

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010

13

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1,

2010 г.

14

Кафедра

Арифметические операции с двоичными

Кафедра

Арифметические операции

информатики

числами

информатики

с двоичными числами

УГАТУ

УГАТУ

Таблицы сложения, умножения и вычитания в

При двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос 1 в

двоичной СС

старший разряд, как и в десятичной арифметике.

Например,

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

15

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

16

Кафедра

Арифметические операции

Кафедра

Правило перевода целой части двоичного числа в

информатики

с двоичными числами

информатики

восьмеричную (шестнадцатеричную) СС

УГАТУ

УГАТУ

При двоичном вычитании необходимо помнить, что занятая в

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное

ближайшем разряде 1, дает две единицы младшего разряда.

(шестнадцатеричное) необходимо:

Если в соседних старших разрядах стоят нули, то 1 занимается

- разбить это число справа налево на группы по 3 (4) цифры –

двоичные триады (тетрады). При этом самая левая группа

через несколько разрядов. При этом единица, занятая в

может содержать менее трех (четырех) двоичных цифр.

ближайшем значащем старшем разряде, дает две единицы

- каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный

младшего разряда и единицы во всех нулевых разрядах,

(шестнадцатеричный) эквивалент.

стоящих между младшим и тем старшим разрядом, у

которого бралась единица.

11011001 = 011 011 001 = 331(8)

2

1100011011001 = 0001 1000 1101 1001 = 18D9(16)

011 = 2 + 1 = 3

1101 = 8 + 4 + 1 = 13

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

17

Информатика

ФАТС – 2, 3

курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

18

Кафедра

Правило перевода дробной части двоичного числа

Кафедра

Правило перевода восьмеричных (шестнадцатиричных)

информатики

в восьмеричную (шестнадцатеричную) СС

информатики

чисел в двоичную СС

УГАТУ

УГАТУ

Для перевода дробных частей двоичных чисел в

Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) чисел в

восьмеричную или шестнадцатеричную системы

двоичные производится обратным путем –

аналогичное разбиение на триады или тетрады

сопоставлением каждому знаку числа

производится от запятой вправо (с дополнением

соответствующей тройки (четверки) двоичных цифр.

недостающих последних цифр нулями)

А1F(16) = 1010 0001 1111(2)

А

1

F

0,1100011101(2) = 0,110 001 110 100 = 0,6164(8)

127(8) = 001 010 111(2)

0,1100011101(2) = 0,1100 0111 0100 = С74(16)

1

2

7

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

19

Информатика

ФАТС – 2, 3

курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

20

Кафедра

Представление числовой информации

Кафедра

Представление числовой информации

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Информация в памяти ЭВМ записывается в форме

цифрового двоичного кода.

Большинство из ячеек памяти имеет одинаковую длину n,

Для этого в компьютере содержится большое количество

т.е. они используются для хранения n бит двоичной

информации (бит – один двоичный разряд).

ячеек памяти и регистров (от лат. regestum – внесенное,

записанное).

Информация, хранимая в такой ячейке, называется словом.

Ячейки памяти и регистры состоят из элементов памяти. Каждый

из таких электрических элементов может находиться в одном

В большинстве случаев, словом называют группу из

из двух устойчивых состояний: конденсатор заряжен или

четырех соседних байт, группу из двух соседних байт –

разряжен, транзистор находится в проводящем или

полусловом, группу из восьми соседних байт – двойным

непроводящем состоянии и т.п.

словом.

Одно из таких физических состояний создает высокий уровень

выходного напряжения элемента памяти, а другое – низкий.

Обычно это электрическое напряжение порядка 4-5В, его

принимают за двоичную единицу, и 0В – его принимают за

двоичный ноль.

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

21

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

22

Кафедра

Представление числовой информации

Кафедра

Представление числовой информации

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

В вычислительных машинах применяются две формы

представления двоичных чисел:

- естественная форма, или форма с фиксированной

запятой (точкой);

- нормальная форма, или форма с плавающей запятой

(точкой).

В формате с фиксированной запятой все числа

Память ЭВМ состоит из конечной последовательности

изображаются в виде последовательности цифр с

постоянным положением запятой, отделяющей целую

слов, а слова – из конечной последовательности битов,

часть от дробной.

поэтому объем представляемой в ЭВМ информации

ограничен емкостью памяти, а числовая

Режим с фиксированной точкой в современных компьютерах

информация может быть представлена только с

фактически применяется только для целых чисел и условно

определенной степенью точности.

запятая как бы зафиксирована после младшего разряда.

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

23

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

24

Кафедра

Представление числовой информации

Кафедра

Представление числовой информации

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

В формате с плавающей запятой число представляется в виде двух

Примеры представления десятичных чисел в

групп цифр, называемых мантиссой и порядком.

нормализованном виде:

Для однозначности представления чисел с плавающей запятой

используется нормализованная (нормальная) форма, при которой:

0,123*10-02

0,567*105

• абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, и первая ее

0,1*10-5

0,1*108

цифра после запятой не равна нулю,

Примеры представления двоичных чисел в

• порядок должен быть целым числом положительным или

отрицательным.

нормализованном виде:

В общем виде число в нормальной форме (в любой СС)

записывается в виде:

N = ±M S ± р

Первая цифра двоичной мантиссы после точки всегда 1

где M – мантисса, 0.1 <= |M| < 1 (Целая часть мантиссы = 0, первая цифра

после точки не равна нулю)

Внутреннее представление вещественных чисел в

р– порядок числа;

компьютере всегда нормализовано

S – основание системы счисления

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

25

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

26

Кафедра

Представление целых чисел без знака

Кафедра

Представление целых чисел без знака

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Целые числа без знака могут занимать в памяти компьютера 1, 2, 4

байта, при этом самый младший двоичный разряд записывается в

В таблице приведены максимальные значения десятичных

крайний правый бит разрядной сетки. Все разряды должны быть

чисел без знака и соответствующее им число

обязательно заполнены, даже если в этом разряде будет храниться

«незначащий ноль».

разрядов:

Например, десятичное число 1910=100112 в 1-байтовом формате

запишется так:

Номера разрядов

Биты числа

При такой форме представления целых чисел без знака

диапазон их возможных значений находится в

пределах от 0 до 2n-1, где n – количество разрядов,

отведенных для числа.

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

27

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

28

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Для представления целых чисел со знаком один разряд, как правило,

старший отводится под знак числа. Знак положительного числа

Форма представления целых чисел со знаком, когда

кодируется нулем, а знак отрицательного – единицей в этом

крайний левый бит разрядной сетки отводится под

разряде:

знак, а остальные биты – под цифры числа,

называется прямым кодом.

Максимальное значение целого числа со знаком, которое можно

Форма представления двоичных чисел в виде прямого

кода используется в компьютере для хранения

представить в n-разрядном регистре, равно 2n-1-1, а

только целых положительных чисел

минимальное равно -2n-1 , т.е. отрицательных чисел можно

закодировать на одно больше, чем положительных.

Код числа -215 (-32768) в 16-разрядном регистре имеет вид:

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

29

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

30

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Отрицательные числа хранятся в дополнительном коде.

Правило формирования дополнительного кода:

- отрицательное двоичное число записывается в прямом

коде (в старшем бите – 1);

- все разряды прямого кода, кроме знакового

(старшего бита) инвертируются – получается

обратный код;

- к младшему разряду обратного кода прибавляется

единица по правилам сложения двоичных чисел –

получается дополнительный код.

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

31

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

32

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

Кафедра

Представление целых чисел со знаком

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Примеры представления однобайтовых целых чисел со

Дополнительный код используется для замены операции

вычитания простым сложением.

знаком

При этом операция сложения выполняется над всеми

Десятичное

Прямой код

Обратный код

Дополнительный

разрядами полученного дополнительного кода, т.е.

число

код

распространяется и на разряды знаков,

12

0 000 1100

0 000 1100

0 000 1100

рассматриваемых в данном случае как разряды

числа.

-12

1 000 1100

1 111 0011

1 111 0100

При возникновении переноса из знакового разряда

единица переноса отбрасывается, т.к. она вышла за

121

0 111 1001

0 111 1001

0 111 1001

пределы разрядной сетки. В результате получается

-121

1 111 1001

1 000 0110

1 000 0111

алгебраическая сумма в прямом коде, если она

положительна (в знаковом разряде оказался 0), или в

дополнительном коде, если эта сумма получилась

отрицательной (в знаковом разряде оказалась 1).

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1,

2010 г.

33

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

34

Кафедра

Представление числовой информации

Кафедра

Алгебра логики

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

При записи вещественного числа в память компьютера выделяются разряды для

Алгебра логики – раздел математики, изучающий

хранения знака мантиссы, порядка и мантиссы, например, для 4-х байтового

высказывания, рассматриваемые со стороны их

формата под мантиссу отводится 23 разряда, под порядок – 8 разрядов:

логических значений (истинности или ложности) и

логических операций над ними.

Аппарат алгебры логики (булевой алгебры) создан в 1854 г. Дж. Булем

как попытка изучения логики мышления человека математическими

методами.

Смещенный (машинный) порядок числа Pм находится по формуле:

Высказывание в алгебре логики – это повествовательное

предложение, в котором что-либо утверждается или

смещение

P = p + (2k-1-1)

отрицается. По поводу любого высказывания можно

м

однозначно сказать истинно оно или ложно.

Мантисса запоминается без первой единицы. Она считается скрытым

Примеры высказываний: «Трава зеленая»; «2≠5»; «Я – студент УГАТУ»; «10<5».

разрядом, но при выполнении арифметических операций, естественно,

«Коля дома и смотрит телевизор»; «Мама на работе или уже дома».

учитывается.

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

35

Информатика ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

36

Кафедра

Алгебра логики

Кафедра

Алгебра логики

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Простое высказывание – это повествовательное

Логические величины – понятия, выражаемые

предложение или некоторое математическое

соотношение, в котором что-либо утверждается или

словами ИСТИНА, ЛОЖЬ.

отрицается и в отношении которого можно сразу

Логические константы – ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

однозначно сказать, истинно оно или ложно. Простые

высказывания в математике строятся с помощью знаков

Логическая переменная – символически

отношений (<, >, =, ≠ , ≥ , ≤).

Сложное высказывание образуется из простых

обозначенная логическая величина, которая

высказываний с помощью логических операций.

может принимать значения ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Простому высказыванию ставят в соответствие логическую

переменную, а сложному – логическую (булеву) функцию

Y = F(X1,X2,…,Xn), где X1, X2,…,Xn – логические переменные,

соответствующие простым высказываниям.

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

37

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

38

Кафедра

Основные логические операции.

Кафедра

Основные логические операции.

информатики

Отрицание

информатики

Конъюнкция

УГАТУ

УГАТУ

Отрицание – логическая операция, которая исходному высказыванию ставит

в соответствие новое, значение которого противоположно исходному.

Описывается таблицей:

Описывается

Результатом операции будет:

таблицей:

- ЛОЖЬ, если хотя бы значение

одного из операндов будет ложно;

- ИСТИНА тогда и только тогда, когда

оба высказывания истинны.

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

39

Информатика

ФАТС – 2, 3 курс 1, заочники семестр 1, 2010 г.

40