Тема 2_ Арифметические и логические основы ЭВМ

Кафедра

ЛЕКЦИИ ПО ИНФОРМАТИКЕ

информатики

Кафедра

Тема 2

УГАТУ

информатики

Кафедра

Раздел 1. Арифметические основы ЭВМ

информатики

УГАТУ

Системы счисления

Кафедра

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

информатики

УГАТУ

Система счисления (СС) – принятый способ

наименования и записи чисел с помощью

символов, имеющих определенные

количественные значения.

В любой системе счисления выбирается алфавит,

(совокупность некоторых символов – слов или

знаков), с помощью которого можно представить

любое количество чего-либо.

Изображение любого количества называется

числом, а символы алфавита – цифрами.

4

Кафедра

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

информатики

УГАТУ

В позиционной системе счисления количественное

значение каждой цифры зависит от ее места

(позиции) в числе.

2 3 , 4 3 1 0

число единиц

число сотых долей единицы

7

Кафедра

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

информатики

УГАТУ

Количество используемых знаков в позиционной

системе счисления называется основанием

системы счисления.

Алфавиты некоторых систем счисления

8

информатики

Позиционные системы счисления

Кафедра

69210

= 6*102 + 9*101 + 2*100

1101

2

= 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20

112

3

= 1*32 + 1*31 + 2*30

341,5

8

= 3*82 + 4*81 + 1*80 + 5*8-1

A1F,4

16

= A*162 + 1*161 + F*160

+ 4*16-1

информатики

Позиционные системы счисления

Кафедра

Ap = an an−1 Ka0

, a−1a− ...a−m

14243 14243

целая часть числа

дробная часть числа

A

p

= a

p n + a

n−1

p n−1 + ... + a p + a

+ a

−1

p

−1 + a

−2

p −2 + ... + a

−m

p −m

,

n

1 0

1444442444443

1444442444443

целая часть числа

дробная часть числа

Кафедра

Правило перевода чисел

информатики

из любой СС в десятичную СС

УГАТУ

Перевод в десятичную систему числа A, записанного

в р-ичной системе счисления

Ap

= an an−1 Ka0

, a−1a− ...a−m

14243 14243

целая часть числа

дробная часть числа

сводится к вычислению значения многочлена

A

p

= a

n

p n + a

n−1

p n−1 + ... + a p + a

0

+ a

−1

p −1 + a

−2

p−2 + ... + a

−m

p −m

,

1

1444442444443

1444442444443

целая часть числа

дробная часть числа

средствами десятичной арифметики.

11

Кафедра

Использование схемы Горнера

информатики

УГАТУ

Для упрощения и автоматизации вычислений при переводе

рационально использовать схему Горнера, согласно

которой значение многочлена A(x) n – ой степени

A( x) = a

xn + a

n−1

xn−1 + L+ a x + a

0

n

1

может быть вычислено по формуле

A( x) = (K(((an x + an−1 ) x + an−2 ) x + L+ a1) x + a0

12

Кафедра

Использование схемы Горнера

информатики

УГАТУ

Перевод целой части числа Ap = an an−1 Ka0 , a−1a− ...a−m

14243 14243

целая часть числа дробная часть числа

в десятичную СС сводится к последовательности

действий, заданных схемой Горнера:

(K(((an p + an−1 ) p + an−2 ) p + L+ a1 ) p + a0

Для перевода дробной части числа Ap в десятичную СС

схема Горнера примет вид:

(K(((a−m p −1 + a−m+1 ) p −1 + a−m+2 ) p −1 + L+ a−1 ) p −1

13

Кафедра

Использование схемы Горнера

информатики

УГАТУ

14

Кафедра

Правило перевода целой части числа

информатики

из десятичной СС в любую СС

УГАТУ

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной

системы в систему с основанием p, необходимо

разделить ее на основание p. Остаток даст младший

разряд числа. Полученное при этом частное

необходимо вновь разделить на p – остаток даст

следующий разряд числа и т.д. пока частное от

деления не станет равным 0.

Пример

200 : 8 = 25

(0),

25 : 8 = 3

(1),

3 : 8 = 0

(3)

Ответ: 20010=3108

15

Кафедра

Правило перевода целой части числа

информатики

из десятичной СС в любую СС

УГАТУ

Пример

2638 : 16 = 164

(14),

164

: 16 = 10

(4),

10

: 16 = 0

(10)

Полученные остатки от делений при переводе в p-ричную

СС необходимо на каждом шаге привести в соответствие

с алфавитом новой СС.

Ответ: 263810 = A4E16

(число 14 заменили

шестестнадцатеричной цифрой E,

10 – цифрой A)

16

КафедраПравило перевода дробной части числа

информатики

из десятичной СС в любую СС

УГАТУ

Для перевода дробной части ее необходимо умножить на основание

системы p.

Целая часть, полученного произведения будет первым (после запятой,

отделяющей целую часть от дробной) знаком.

Дробную часть произведения необходимо вновь умножить на p. Целая

часть полученного числа будет следующим знаком и т.д. пока дробная

часть не станет равной 0 или, пока не будет достигнута нужная точность,

т.к.конечная дробь вполне может оказаться бесконечной (периодической).

Полученные целые части произведений необходимо на каждом шаге

привести в соответствие с алфавитом новой СС

0,65 * 16 = 10,40 (целая часть 10)

0,40 * 16 =

6,40

(целая часть 6)

0,40 * 16 =

6,40

(целая часть 6) и т.д.

0,6510 = 0,A6(6)16

17

Кафедра

Соответствие чисел в различных СС

информатики

УГАТУ

10-ричная

16-ричная

8-ричная

2-ная

0

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

10

3

3

3

11

4

4

4

100

5

5

5

101

6

6

6

110

7

7

7

111

8

8

10

1000

9

9

11

1001

10

A

12

1010

11

B

13

1011

12

C

14

1100

13

D

15

1101

14

E

16

1110

15

F

17

1111

18

Кафедра

информатикиАрифметические операции с двоичными числами

УГАТУ

Таблицы сложения, умножения и вычитания

в двоичной СС

19

Кафедра

информатикиАрифметические операции с двоичными числами

УГАТУ

При двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос 1 в

старший разряд, как и в десятичной арифметике.

Например,

20