Электричество2_(семестр_зад)_дневн

СЕМЕСТРОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1. ЗАКОН КУЛОНА. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Вариант 1

1.1.Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии 60 см. Сила отталкивания шаров при этом равна 70 мкН. После того, как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной 160 мкН. Вычислить заряды, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметры шаров считать много меньшими рас- стояния между ними.

1.2.Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии 30 см друг от друга. Сила притяжения шаров равна 90 мкН. После того, как шары были приведены в соприкосновение и удалены друг от друга на прежнее расстояние, они стали отталки- ваться с силой 160 мкН. Определить заряды, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметры шаров считать много меньшими расстояния между ними.

1.4. Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии 50 см друг от друга. Один заряд вдвое больше друго-

Рис. 1.1 го. На прямой, их соединяющей, находит- ся в равновесии заряженный шарик. Найти расстояние от этого ша- рика до большего заряда.

1.5. Два одинаковых шарика с зарядами q1 и – q2 вследствие притяжения прикоснулись и вновь разошлись на расстояние r. Опре- делить заряд каждого шарика после соприкосновения и силу взаимо- действия между ними.

46

1.6.Электрон вращается по круговой орбите радиуса r вокруг ядра с зарядом Z · e. Каковы скорость и период вращения электрона?

1.7.Электрическое поле создано двумя точечными зарядами:

q1 = 30 нКл и q2 = –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии r1 = 15 см от первого и на расстоянии r2 = 10 см от второго зарядов.

1.8.Расстояние между двумя точечными зарядами 1 и –1 мкКл равно 10 см. Определить силу, действующую на точечный заряд 0,1 мкКл, удаленный на 6 см от первого и на 8 см от второго зарядов.

1.9.Два заряда в вакууме взаимодействуют с такой же силой на расстоянии 11 см, как в скипидаре на расстоянии 7,4 см. Опреде- лить электрическую проницаемость скипидара.

1.10.На расстоянии 4 мм от прямой проволоки длиной 150 см, на которой равномерно распределен заряд 2 · 10–7 Кл, находится пы- линка с зарядом –1,7 · 10–16 Кл. Определить силу, действующую на заряженную пылинку.

1.11.Напряженность электрического поля Земли около по- верхности в среднем равна 130 В/м. Какой заряд имела бы Земля, ес- ли бы напряженность около всей ее поверхности одновременно име- ла эту величину?

1.12.Два бесконечно длинных параллельных провода, распо- ложенных в вакууме, заряжены равномерно с линейной плотностью заряда 5 · 10–8 Кл/м. Расстояние меж- ду проводами равно 0,5 м. Опреде- лить силу, действующую на единицу длины провода.

1.13.В одной плоскости с

действующую на стержень, и ее предельные значения при α = 0 и

α= π / 2.

1.14.Найти силу, действующую на заряд 10–9 Кл, если заряд помещен на расстоянии 2 см от поверхности шара радиусом 2 см с поверхностной плотностью заряда 2 · 10–9 Кл/см2. Относительная ди- электрическая проницаемость среды равна 6.

1.15.Три одинаковых заряда величиной 0,7 · 10–8 Кл каждый помещены в вершинах равностороннего треугольника. Сила, дейст- вующая на каждый заряд, равна 0,01 Н. Определить длину стороны треугольника.

1.16. Четыре одинаковых положительных точечных заряда 3 · 10–9 Кл каждый закреплены в вершинах квадрата со стороной, рав- ной 10 см. Найти силу, действующую со стороны трех зарядов на четвертый.

1.17.Два точечных заряда q1 и q2 находятся на расстоянии l друг от друга. Если расстояние между ними уменьшается на 50 см, то сила взаимодействия увеличивается в два раза. Найти расстояние l.

1.18.Три одинаковых положительных точечных заряда 10–6 Кл каждый закреплены в вершинах квадрата со стороной, равной 10 см. Найти напряженность электрического поля в четвертой вершине квадрата.

1.19.Две бесконечно длинные заряженные плоскости (σ1 = σ2 =

=σ) скрещены под прямым углом друг к другу. Найти величину и

направление вектора напряженности Е в точке, удаленной от плос- костей на расстояние, равное а.

заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда 0,4

и0,1 мкКл/м2. Определить напряженность электрического поля, соз- данного заряженными плоскостями, вблизи этих плоскостей.

1.22.На пластинах плоского воздушного конденсатора нахо- дится заряд 10 нКл. Площадь каждой пластины конденсатора равна 100 см2. Определить силу, с которой притягиваются пластины.

1.23.Две бесконечные параллельные пластины равномерно за- ряжены с поверхностной плотностью заряда 1 ·10–2 и –3 ·10–2 мкКл/м2. Какова сила взаимодействия, приходящаяся на единицу площади пластины?

1.24.Две бесконечные плоскости, несущие одинаковые заряды, равномерно распределенные с поверхностной плотностью 0,1 мкКл/м2, пересекаются под углом 60º. Найти напряженность поля, создаваемого плоскостями.

1.25.По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл. Оп- ределить напряженность и потенциал электрического поля, создавае- мого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с цен- тром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/6 длины окружности

иравна 20 см.

1.26.Четыре одинаковых заряда q расположены в вершинах квадрата со стороной L и удерживаются в равновесии связываю- щими их попарно нитями. Сила отталкивания соседних зарядов F0 = 20 · 10–3 H. Чему равно натяжение каждой из нитей?

1.27.Два точечных заряда + Q каждый неподвижно закрепле- ны в противоположных вершинах ромба. Расстояние между ними равно длине сторон ромба. В оставшихся вершинах размещены два точечных заряда величиной – q каждый. Если заряды – q находятся в

равновесии, то чему равно отношение Qq ?

1.28. Три положительных заряда q1, q2 и q3 расположены на одной прямой и связаны невесомыми нерастяжимыми нитями длиной l каждая. Найти силы натяжения нитей.

1.29. На двух одинаковых каплях масла радиусами r = 8,22 × × 10–5 м находятся одноименные равные по величине заряды. Опреде- лить величину этих зарядов, если сила кулоновского отталкивания

49

уравновешивает силу гравитационного притяжения капель. Плот- ность масла ρ = 0,9 · 103 кг/м3.

1.30. Три одинаковых заряда величиной q = 10–6 Кл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Где и какой заряд Q нужно поместить, чтобы вся система находилась в равнове- сии?

Вариант 2

1.1.В центре квадрата, в вершинах которого находится по заряду 2 · 10–9 Кл каждый, помещен отрицательный заряд. Найти величину этого заряда, если результирующая сила, действующая на каждый заряд, равна нулю.

1.2.Два шарика одинакового радиуса и массы подвешены на двух нитях так, что их поверхности соприкасаются. После того как каждому шарику был сообщен заряд 4 · 10–7 Кл, шарики разошлись на угол 60º. Найти массу каждого шарика, если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 0,2 м.

1.3.Четыре одинаковых заряда q рас- положены на плоскости в вершинах квадрата

со стороной L и удерживаются в равновесии связывающими их попарно нитями (рис. 1.4). Сила отталкивания соседних зарядов F0 = 20 · 10–3 Н. Чему равно натяжение каж- дой из нитей?

1.4. Составлен прибор из двух одина- ковых маленьких проводящих шариков: один Рис. 1.4 шарик неподвижен, а другой привязан к кон-

цу вертикальной нити длиной 20 см. Масса каждого шарика равна 5 г. Шарики, находясь в соприкосновении, получают одинаковые элек- трические заряды, вследствие чего подвижный шарик отклоняет нить от вертикали на угол 60º. Определить заряд каждого шарика.

1.5. Тонкая шелковая нить выдерживает максимальное натя- жение 10–2 Н. Подвешенный на этой нити шарик массой 0,6 г имеет заряд 10–8 Кл. Снизу в направлении линии подвеса к нему подносят шарик, имеющий заряд –1,2 · 10–8 Кл. При каком расстоянии между зарядами нить разорвется?

50

1.6. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол α. Шарики погружаются в масло с плотностью 8 · 102 кг/м3. Какова ди- электрическая проницаемость масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остается неизменным? Плотность материала шариков равна 1,6 · 103 кг/м3.

1.7. В однородном электрическом поле с напряженностью 3 · 10+3 В/м, силовые линии которого составляют с вертикалью угол 30º, висит на нити шарик массой 2 г, имеющий электрический заряд 3 · 10–6 Кл. Определить силу натяжения нити Fн.

1.8.Три одинаковых заряда 10–9 Кл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный за- ряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов? Будет ли это равновесие устойчивым?

1.9.Два одинаковых заряженных шарика массой m подвешены

водной точке на нитях длиной l каждая. В точке подвеса находится третий шарик, заряженный так же, как и первые два. Вычислить за- ряд шариков, если угол между нитями в положении равновесия равен

α.

1.10.В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, расстояние между пластинами которого равно d, находится заряжен- ная капелька массой m. При отсутствии электрического поля капель- ка вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью. Если к пластинам конденсатора приложено напряжение U, то капелька падает вдвое медленнее. Найти заряд капельки.

1.11.Медный шар диаметром 1 см помещен в масло. Плот- ность масла равна 800 кг/м3, плотность меди – 8 600 кг/м3. Чему ра- вен заряд шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в масле? Электрическое поле направлено вертикально вверх и его напряженность равна 36 000 В/м.

1.12.В вершинах квадрата находятся одинаковые положитель- ные заряды 3 · 10–11 Кл каждый. Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре квадрата, чтобы система была в равновесии?

1.13.Бесконечная равномерно заряженная плоскость имеет по- верхностную плотность электрических зарядов 9 · 10–4 Кл/м2. Над ней

51

находится алюминиевый шарик, заряженный количеством электри- чества 3,68 · 10–7 Кл. Какой радиус должен иметь шарик, чтобы он не падал?

1.14.Тонкий стержень длиной 10 см равномерно заряжен заря- дом –3 · 10–9 Кл. Найти напряженность поля в точке С, лежащей на продолжении оси стержня на расстоянии 20 см от его конца.

1.15.Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линей- ной плотностью 10 мкКл/м. Какова сила, действующая на точечный заряд 10 мКл, находящийся на расстоянии 20 см от стержня, вблизи его середины?

1.16.Тонкая нить длиной 20 см равномерно заряжена с линей- ной плотностью 10 нКл/м. На расстоянии 10 см от нити, напротив ее середины, находится точечный заряд 1 нКл. Вычислить силу, дейст- вующую на этот заряд со стороны заряженной нити.

1.17.Очень длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью τ. Определить напряженность поля в точке А, лежащей против конца нити на расстоянии а от нее.

1.18.Очень длинный тонкий стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда 0,1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии 20 см от его конца находится точечный заряд 10–8 Кл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и то- чечного заряда.

1.19.Тонкое кольцо радиусом 10 см несет равномерно распре- деленный заряд 0,1 мкКл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его середины, находится точечный

заряд Q1 = 10 нКл. Определить силу, действующую на точечный заряд Q1 со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на расстояние 20 см.

1.20.Два одинаковых положительных точечных заряда q1 = q2 = q находятся на расстоянии 2l = 10 см друг от друга. Найти на пря-

мой MN, являющейся осью симметрии этих зарядов, точку, в которой напряженность электрического поля имеет максимум (рис.

1.5).

силу взаимодействия полукольца с точечным зарядом +q1, находя- щимся в центре кривизны, и напряженность поля в этой точке.

1.22.Тело массой m с зарядом q брошено под углом к горизон-

ту с начальной скоростью V0. Движение происходит одновременно в поле тяготения и однородном электрическом поле с напряженностью

Е, силовые линии которого направлены вертикально вниз. Найти время полета t, дальность полета l и максимальную высоту подъема тела Н.

1.23.Горизонтально расположенный диск, радиус которого ра- вен 0,5 м, заряжен с равномерной плотностью 3,33 · 10–4 Кл/м2. Ма- ленький шарик массой 3,14 г с зарядом 3,27 · 10–7 Кл находится над центром диска в состоянии равновесия. Определить его расстояние от центра диска.

1.24.Тонкий однородный диск радиуса R заряжен равномерно

споверхностной плотностью σ. Определить силу, действующую на

точечный заряд Q1 со стороны заряженного диска, если он удален от центра кольца на расстояние h.

1.25.Тонкий стержень длиной 30 см несет равномерно распре- деленный по длине заряд с линейной плотностью 1 мкКл/м. На рас- стоянии 20 см от стержня находится точечный заряд 10 нКл, равно- удаленный от концов стержня. Определить силу взаимодействия то- чечного заряда с заряженным стержнем.

1.26.Два одинаковых шарика подвешены на двух нитях равной длины в одной точке. После того как им сообщили одинаковый заряд,

они разошлись так, что угол между нитями составил 2α. Затем их опустили в непроводящую жидкость, и угол между нитями не изме- нился. Определить плотность ρ шарика, если плотность жидкости равна ρж, а ее диэлектрическая проницаемость равна ε.

1.28.Каркас в форме квадрата со стороной а состоит из четырех одинаковых невесомых непроводящих пружин жесткостью k каждая. Пружины соединены между собой попарно небольшими шариками. Ко- гда шарикам сообщили одинаковые заряды, площадь, ограниченная каркасом, увеличилась в два раза. Найти заряд каждого шарика.

1.29.В углах квадрата со стороной а расположены четыре оди- наковых точечных заряда q. Определить максимальное значение ве-

личины напряженности электрического поля Еmax на оси, проходя- щей через середину квадрата перпендикулярно его плоскости.

1.30. Два одинаковых точечных заряда q расположены на рас- стоянии 2а друг от друга. Определить максимальное значение вели- чины напряженности электрического поля этой системы зарядов на прямой, перпендикулярной линии, соединяющей заряды и проходя- щей через ее середину.

2. ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. СВЯЗЬ Е И Δϕ

Вариант 1

2.1. По наклонной плоскости, составляющей угол α с горизон- том, соскальзывает с высоты h небольшое тело массой m, заряженное

2.2. Шарик массой 1 г и зарядом 10–8 Кл перемещается из точки А, потенциал которой равен 600 В, в точку В, потенциал которой равен нулю. Чему была равна скорость шарика

вточке А, если в точке В она стала равной 20 см/с?

2.3.Расстояние между двумя металлическими шарами велико по сравнению с их размерами. Первый шар радиуса R1 заряжен до

потенциала ϕ1, второй шар радиуса R2 заряжен до потенциала ϕ2. Ка- ковы будут потенциалы у шаров, если их соединить проволокой?

54

2.4.Несколько маленьких капель ртути радиусом r и с зарядом q каждая сливаются в одну большую каплю. Найти потенциал по- следней и плотность заряда на ее поверхности, если в воде находи- лось n капель ртути.

2.5.Найти потенциал в центре сферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной плотностью σ. Построить график ϕ = f (r).

2.6.Два шарика с зарядами 1 · 10–8 и 1 · 10–9 Кл находятся на расстоянии 40 см. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния 25 см?

2.7.Электрическое поле создано то-

чечным зарядом q1 = 5 · 10–8 Кл (рис. 2.2). Вычислить работу внешних сил по переме- щению точечного заряда q2 = –2 · 10–9 Кл из точки А в точку В, если r1 = 10 см, r2 = 20 см. Определить также изменение W потенци-

ных в вершинах равностороннего треугольника со стороной 10 см.

сами 2 и 6 см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщен заряд 10–3 мкКл. Какова поверхностная плотность зарядов на шарах?

2.11. Изобразить графически изменение по координате x по- тенциала электрического поля двух шаров, заряженных положитель- но и имеющих поверхностную плотность заряда 80 мкКл/м2, если расстояние между центрами шаров равно 1 м, а радиус каждого шара

10 см.

55

2.12. Точечные заряды 1 и –1 мкКл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Определить потенциал поля в точке, удаленной на расстояние 6 см от первого заряда и 8 см от второго.

2.13. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы переместить за- ряд q0 из точки С в точку В в поле двух точечных зарядов q1 и q2 (рис. 2.4)? Рас-

стояния а, d, l известны.

Рис. 2.4

2.14. Мыльный пузырь с зарядом 22 · 10–10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора. Найти разность потенциалов между пластинами кон- денсатора, если масса пузыря равна 0,01 г и расстояние между пла- стинами 5 см.

2.15.Два шара с диаметрами 0,2 и 0,8 м находятся в сосуде с керосином на расстоянии 160 см. Первый шар заряжен до потенциала 250 В, второй – до потенциала –100 В. Шары соединяются проводни- ком, который затем удаляется. Найти напряженность и потенциал электрического поля в точке, находящейся посередине между цен- трами шаров. Относительная диэлектрическая проницаемость керо- сина равна 2.

2.16.Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, на нити висит бузиновый шарик, масса которого равна 0,1 г. После того как на пластины была подана разность потенциалов в 1 000 В, нить с шариком отклонилась на угол 10º. Найти заряд шарика.

2.17.Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобретает скорость 108 см/с. Расстояние меж- ду пластинами 5,3 мм. Найти: 1) разность потенциалов между пла- стинами; 2) напряженность электрического поля внутри конденсато- ра; 3) поверхностную плотность заряда на пластинах.

2.18.Разность потенциалов между пластинами плоского конден- сатора равна 90 В. Площадь каждой пластины 60 см2, заряд 10–9 Кл. На каком расстоянии друг от друга находятся пластины?

2.19.Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала 20 В каждая, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал образовавшейся капли?

56

2.20.Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд 10–9 Кл. Под действием поля заряд пере- мещается по силовой линии на расстояние 2 см, при этом совершает- ся работа 5 · 10–6 Дж. Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.

2.21.Две параллельные плоскости находятся на расстоянии 0,5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 0,2 и –0,3 мкКл/м2. Определить раз- ность потенциалов между пластинами.

2.22.Электрон, находящийся в однородном электрическом по- ле, получает ускорение, равное 10–14 см/с2. Найти: 1) напряженность электрического поля; 2) скорость, которую получит электрон за 10–6 с своего движения, если начальная скорость его была равна нулю; 3) разность потенциалов, пройденную при этом электроном.

2.23.Сплошная металлическая сфера радиусом 20 см несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью 10–9 Кл/м2. Определить потенциал электрического поля в точках на расстоянии 16 см от центра сферы; на поверхности сферы; на расстоя-

нии 36 см от центра сферы. Построить график зависимости ϕ = f (r).

2.24.Определить потенциал электрического поля точечного диполя, электрический момент которого равен 2 · 10–14 Кл · м, в точке, лежащей на оси диполя на расстоянии 10 см от его центра со стороны положительного заряда.

2.25.Электрон летит от одной пластины плоского конденсато- ра до другой. Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ, расстояние между пластинами 5 мм. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение электрона; 3) скорость, с которой электрон приходит ко второй пластине; 4) поверхност- ную плотность заряда на пластинах конденса- тора.

2.26.Точечный заряд q создает на рас-

Каков потенциал поля в точке А, отстоящей от центра сфер на расстоянии 2,5 R?

2.27. Четыре одноименных точечных заряда величиной q = 10–8 Кл были расположены вдоль одной прямой на расстоянии d = 5 см друг от друга. Какую работу нужно совершить, чтобы по- местить эти заряды по одному в вершинах тетраэдра с ребром, рав- ным d ?

2.28. Если два металлических шарика одинакового радиуса, на- ходящихся на большом расстоянии друг от друга и заряженных соот- ветственно до потенциалов j1 и j2, соединить тонким проводом, то каким будет общий потенциал на шариках?

2.29. Внутри шарового металлического слоя радиусом: внешний

2R и внутренний R – на расстоянии R от центра находится точечный

2

положительный заряд q. Определить потенциал в центре сферы.

2.30. Три проводящие концентрические сферы радиусами r, 2r и 3r имеют заряды соответственно q, 2q и –3 q. Определить потенциал каждой сферы.

Вариант 2

2.1.Два маленьких тела связаны нитью длиной l0 = 10 см, одно из которых неподвижно закреплено, лежат на горизонтальной шеро- ховатой поверхности. Заряд каждого тела q = 2 · 10–7 Кл. Нить пере- жигают, и тело массой m = 1 г приходит в движение. Если движущее-

ся тело достигает максимальной скорости на расстоянии l = 3 l0 от не- подвижного тела, то какова будет скорость его в этот момент?

2.2.По тонкому проволочному кольцу радиусом 60 см равно- мерно распределен заряд в 20 нКл. Приняв ось кольца за ось x, найти потенциал поля на оси кольца как функцию x. Начало координат по- местить в центр кольца.

2.3.Электрическое поле создано отрицательно заряженным металличе-

ским шаром. Определить работу A12 внешних сил по перемещению заряда Q

2.4.Определить разность потенциалов между двумя метали- ческими шарами радиусами 0,5 см каждый, находящимися на рас- стоянии 1 м друг от друга, если заряд одного шара 1,5 нКл, другого – 1,5 нКл. Нарисовать график зависимости потенциала от расстояния между шарами.

2.5.Сплошной парафиновый шар радиусом 10 см равномерно заряжен с объемной плотностью 1 мкКл/м3. Определить потенциал электрического поля в центре шара и на его поверхности. Построить

график зависимости j(r).

2.6. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R1 и R2 (R1 < R2) несут на себе заряды q1 и q2. Найти потенциал поля в точках, отстоящих от центра сферы на расстоянии: 1) r1 < R1; 2) R1 < r2 < R2; 3) r3 > R2. Построить график зависимости потенциала j = j (r).

2.7.Определить потенциал в центре кольца с внешним диамет- ром 0,8 м и внутренним диаметром 0,4 м, если на нем равномерно распределен заряд 6 · 10–7 Кл.

2.8.Сплошной шар из диэлектрика (e = 3) радиусом R = 10 см заряжен с объемной плотностью r = 50 нКл/м3. Напряженность элек- трического поля внутри и на поверхности такого шара выражается

которой вычисляется напряженность поля. Найти разность потенциа- лов Dj между центром шара и точками, лежащими на его поверхно- сти.

2.9. Сплошной цилиндр из диэлектрика радиусом R заряжен с объемной плотностью r. Радиус цилиндра во много раз меньше дли- ны образующей l. Напряженность электрического поля внутри и на

поверхности такого цилиндра выражается формулой Е = r× r , где r

2e0e

– расстояние от центра шара до точки, в которой вычисляется напря- женность поля. Найти разность потенциалов между точкой 1, находя- щейся на расстоянии r = R/2 от оси цилиндра, и точкой 2, находящейся на поверхности данного цилиндра.

2.10. Точечный заряд 0,15 нКл находится в центре сферической проводящей оболочки, внешний и внутренний радиусы которой соот-

59

ветственно равны 25 и 20 см. Определить разность потенциалов меж- ду точками 1 и 2, удаленными от заряда на расстояние 50 и 10 см.

2.11. На тонком стержне длиной 80 см равномерно распределен заряд –3 · 10–9 Кл. Найти потенциал в точке С, лежащей на оси стерж- ня. Расстояние от середины стержня до этой точки равно 1,2 м.

2.12. Положительный заряд равномерно распределен по тонко- му проволочному кольцу радиуса R с линейной плотностью t. Определить потенциал в точке С, лежащей на оси кольца на расстоя- нии а от его центра.

2.13. Внутри сферической металлической оболочки с радиусами 4 и 8 см находится металли- ческий шар радиусом 0,2 см и с зарядом 4 · 10–10 Кл. Найти потенциалы в точке, являющейся центром оболочки, и на внешней поверхности оболочки, если шар расположен концентрично оболочке.

2.14. Две тонкостенные металлические сфе- ры радиусами 20 и 40 см образуют сферический конденсатор (рис. 2.7). На внешней сфере находит- ся заряд 10–8 Кл. Внутренняя сфера не заряжена. Какой заряд протечет через гальванометр, если замкнуть ключ К?

2.15. Два шарика одинакового радиуса 1 см и Рис. 2.7 массой 4 · 10–5 г каждый подвешены на нитях оди-

наковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Когда шари- ки зарядили, нити разошлись на некоторый угол и натяжение нитей стало равным 4,9 · 10–4 H. Найти потенциалы заряженных шариков, если известно, что расстояние от точки подвеса до центра каждого шарика равно 10 см.

133 нКл/м. Какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд 6,7 нКл из центра полукольца в бесконечность?

2.18.По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиуса R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Оп- ределить потенциал электрического поля, создаваемого таким рас- пределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны ду- ги. Длина нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

2.19.Очень тонкая пластинка имеет форму кольца с внутрен- ним радиусом а и внешним радиусом b. По пластинке распределен заряд q. Найти потенциал электрического поля в центре кольца.

2.20.Металлический шар радиуса 10 см заряжен до потенциала 300 В. Каким станет потенциал этого шара после того, как его окру- жат сферической оболочкой радиусом 15 см и на короткое время соединят их проволокой?

2.21.Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет равномер- но распределенный по длине нити заряд с линейной плотностью 0,01 мкКл/м. Определить разность потенциалов двух точек поля, уда- ленных от нити на расстояние 2 и 4 см.

2.22.Тонкая круглая пластина несет равномерно распределен- ный по плоскости заряд 1 нКл. Радиус пластины равен 5 см. Опреде- лить потенциал электрического поля в центре пластины.

2.23.Металлический шар радиусом 10 см заряжен до потен- циала 300 В. Определить потенциал этого шара, если окружность сферической проводящей заземленной оболочкой радиусом 15 см.

2.24.Шар радиусом R из диэлектрика заряжен с объемной плотностью r. Напряженность электрического поля внутри и на по-

верхности такого шара выражается формулой Е = r× r , где r – рас- 3ee0

стояние от центра шара до точки, в которой вычисляется напряжен- ность поля. Чему равен потенциал в центре шара и на его поверх- ности?

2.25. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд 0,1 мкКл/м. Определить потенциал поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.

61

2.26.Частица массой m и зарядом q движется в вакууме вдоль оси закрепленного тонкого кольца радиусом R перпендикулярно его плоскости. Кольцо равномерно заряжено зарядом, равным по модулю

изнаку заряду частицы. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на очень большом расстоянии от кольца, чтобы двигаясь к кольцу, достичь его центра?

2.27.В вершинах равностороннего треугольника размещены

точечные заряды − q , +q и +2q. Если заряд +q удалить на очень

2

большое расстояние от остальных зарядов, то каково будет отноше- ние потенциальной энергии системы к потенциальной энергии сис- темы в начальном состоянии?

2.28.Два электрона из бесконечности движутся навстречу друг другу со скоростями V и 3V соответственно. Определить максималь- ное расстояние, на которое они сблизятся.

2.29.На горизонтальной плоскости на расстоянии d друг от друга удерживают два одинаковых тела массой m каждое, имеющие равные заряды q. Какое расстояние пройдет каждое из тел, если их освободить? Какую максимальную скорость Vmax приобретут тела в

процессе движения? Коэффициент трения тел о плоскость равен μ.

2.30. Две концентрические металлические сферы радиусами R1 = 15 см и R2 = 30 см имеют заряды соот- ветственно q1 = –2 · 10–8 Кл и q2 = 4 · 10–8 Кл. Вычислить потенциал электрического поля в точках 1, 2, и 3, удаленных от центра сфер на расстояния l1 = 10 см, l2 = 20 см и l3 = 40 см (рис. 2.9). Изобразить графически зависи- мость потенциала от расстояния до центра сфер.

Рис. 2.9

62

3. НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ГАУССА– ОСТРОГРАДСКОГО

Вариант 1

3.1. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R1 и R2 несут заряды q1 > 0 и q2 < 0. Построить график за- висимости напряженности E поля от расстояния r от центра сфер

( q2 > q1).

3.2. Точечный заряд 0,15 мКл находится в центре сферической проводящей оболочки, и внутренний радиусы которой соответствен- но равны 25 и 20 см. Определить напряженность поля в точках 1 и 2, удаленных от заряда соответственно на 50 и 10 см.

3.3.Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, рав- номерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плотность заряда, если напряженность поля на расстоянии 0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В/м.

3.4.Электрическое поле создано двумя бесконечными парал- лельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями 2 и –5 мКл/м2. Опре- делить напряженность поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпенди- кулярной пластинам.

3.5.Электрическое поле создано двумя бесконечными парал- лельными пластинами, несущими одинаковый равномерно распреде- ленный по площади заряд, равный 1 нКл/м2. Определить напряжен- ность поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пласти- нам.

3.6.На металлической сфере радиусом 10 см находится заряд 1 нКл. Определить напряженность электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности;

3)на расстоянии 15 см от центра сферы. Построить график зависимо- сти E = f (r).

3.7.Начертить график, показывающий, как изменяется напря- женность поля сферического конденсатора с радиусами R1 и R2 в за-

63

висимости от расстояния r от центра сфер. Внутренний шар заряжен положительно.

3.8. Электрическое поле создано двумя параллельными плос- костями, заряженными разноименно с равными по абсолютному зна- чению поверхностными плотностями зарядов ±σ. Построить график зависимости напряженности и потенциала поля от координаты. На- чало координат совместить с одной из плоскостей.

3.9.Электрическое поле создано двумя бесконечными парал- лельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями 1 и 3 нКл/м2. Опреде- лить напряженность поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. По- строить график изменения напряженности вдоль линии, перпендику- лярной пластинам.

3.10.Две прямоугольные одинаковые параллельные пластины, длины сторон которой равны 10 и 15 см, расположены на малом рас- стоянии друг от друга. На одной из пластин равномерно распределен заряд 50 нКл, на другой – заряд 150 нКл. Определить напряженность электрического поля между пластинами.

3.11.Две бесконечные параллельные пластины равномерно за- ряжены с поверхностной плотностью 10 нКл/м2и –30 нКл/м2. Опре- делить силу взаимодействия между пластинами, приходящуюся на площадь S, равную 1 м2.

3.12.Две параллельные пластины находятся на расстоянии 0,5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с по- верхностными плотностями 0,2 мкКл/м2 и –0,3 мкКл/м2. Определить разность потенциалов между пластинами.

3.13.Бесконечно длинная тонкая металлическая трубка радиуса R несет равномерно распределенный по поверхности заряд с поверх-

ностной плотностью σ. Построить график зависимости напряженно- сти поля заряженной трубки от расстояния до нее.

3.14.Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет распреде- ленный по длине нити заряд с линейной плотностью 0,01 мкКл/м. Вывести формулу для напряженности поля в точках, расположен- ных вне ее, и определить разность потенциалов для двух точек поля, удаленных от нити на расстояние 2 и 4 см.

3.15.Начертить график зависимости напряженности электриче- ского поля цилиндрического конденсатора с радиусом обкладок R1

64

и R2 от расстояния r от оси цилиндров, внутренний цилиндр заряжен положительно.

3.16.Две концентрические металлические заряженные сферы

радиусом R1 и R2 несут заряды q1 и q2. Найти зависимость напряжен- ности поля сфер от расстояния r от центра сфер. Построить график этой зависимости.

3.17.Радиус центральной жилы коаксиального кабеля равен 1,5 см, радиус оболочки – 3,5 см. Между центральной жилой и оболоч- кой приложена разность потенциалов 2 300 В. Вычислить напряжен- ность электрического поля на расстоянии 2 см от оси кабеля.

3.18.Три концентрические сферические поверхности радиусом 10, 20 и 30 см несут заряд 10–8 Кл каждая. Построить графики зави- симости напряженности поля от расстояния от центра сфер.

3.19.Металлический шар радиусом 10 см, заряженный до по- тенциала 300 В, окружают сферической проводящей оболочкой радиу- сом 20 см и на короткое время соединяют с ней проводником. Чему будет равна напряженность электрического поля в точках 1, 2 и 3, если они находятся на расстоянии 5, 10 и 25 см от центра системы?

3.20.Внутрь полой проводящей сферы радиусом R, имеющей заряд +q1, через маленькое отверстие внесли тело, имеющее заряд

–q2. Чему равен потенциал и напряженность поля в точке, находя- щейся на расстоянии r > R от центра сферы?

3.21.Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхно- стной плотностью σ > 0. Найти напряженность поля и потенциал по обе стороны плоскости, считая потенциал плоскости равным нулю.

Построить графики зависимостей E(x) и ϕ(x), ось x перпендикулярна плоскости, точка x = 0 лежит на плоскости.

3.22.Имеются две металлические концентрические сферы, ра- диусы которых 5 и 10 см и заряды 2 · 10–8 и –10 –8 Кл. Определить на- пряженность поля, созданного этими сферами, в точках, отстоящих от центров сфер на расстояниях 3, 8 и 14 см. Построить график Е(r), где r

–расстояние точки от центра сферы.

3.23.В центре тонкой металлической сферы помещен точеч-

ный заряд q1. Определить электрическое поле внутри и вне сферы в случае, если оболочка: 1) не заряжена; 2) заземлена.

65