Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lin_Alg-BE

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2015

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

December 6, 2011 Курбатов В.Г.

2.5 Матричные уравнения

Прием, описанный в Ÿ 2.4, позволяет решать и более сложные матричные уравнения.

Задача 6. Решить матричное уравнение XA = B, ãäå

A =	02	1	41	;	B =	0 0	1	01	:
	1	1	1			¡1	3	1
	@1	1	3A			@¡2	0	4A

Решение. Умножая уравнение XA = B справа на A¡1, получаем формулу XAA¡1 = BA¡1 èëè X = BA¡1, по которой можно находить решение. Вычисляем:

	B = 0			1;	A =				0 11			¡1	1		1	;
		¡1 3	1							1		1	¡	3
		¡1 3	1							2		1	¡	2	A
		@¡2 0	4A				¡1		@¡2			0	2		A
		0 1	0				¡1						1
=		= 0		10	1	1	¡1		1	3	1	= 0			¡			1
		¡1 3		1	2	2		1 ¡		2			2 ¡4					5
X BA¡1		@¡2 0		4A@¡		2		0	2		A @¡3 ¡2							5A	:
X BA¡1		0 1		0	1				1				1				1	1	:

Задача 7. По какой формуле надо решать матричное уравнение AXB = F ?

Решение. Умножим уравнение слева на A¡1 и справа на B¡1. Получим

A¡1AXBB¡1 = A¡1F B¡1;

EXE = A¡1F B¡1;

X = A¡1F B¡1:

2.6 Метод Гаусса

Рассмотрим произвольную систему

>	a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1;
>	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :		(2.5)
>	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
>
<		+ a22x2 + : : : + a2nxn = b2;
8a21x1		+ a22x2 + : : : + a2nxn = b2;
>
>
:		+ am2x2 + : : : + amnxn = bm:
>am1x1		+ am2x2 + : : : + amnxn = bm:

На этот раз не будем предполагать, что число уравнений m обязательно совпадает с числом неизвестных n.

Две системы линейных уравнений называют эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют:

December 6, 2011 Курбатов В.Г.

1)перестановку двух уравнений местами;

2)умножение уравнения на ненулевое число или сокращение на общий множитель;

3)прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число;

4)отбрасывание нулевых1) уравнений.

Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в эквивалентную.
Элементарные преобразования системы аналогичны элементарным преобразова-
ниям матриц, поэтому для сокращения записи их обычно выполняют не с системой
уравнений, а с ее расширенной матрицей
D =	0 a21	a22 : : : a2n			¯	b2	1	:
D =	a11	a12 : : : a1n			¯	b1		:
	B .	.	...	.	¯	.	C
	B .	.		.	¯	.	C
	B am1	am2	: : : amn		¯	bm	C
	B				¯		C
	@				¯		A
					¯
					¯

Напомним, что матрицу называют ступенчатой, если каждая ее строка начинается со строго большего числа нулей, чем предыдущая. Первый ненулевой элемент в строке ступенчатой матрицы A называют началом ступеньки. Будем различать

ступеньки короткие и длинные.

Пример 23. Ступенчатой является матрица

	8	1	0	3	1	5		:
00		6	4	¡2	0	¡31		:
B							C
@	0	0	0	0	4	¡2	A
B0		0	0	0	0	0	C

Метод Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы D (èëè, ÷òî

эквивалентно, системы уравнений) с помощью элементарных преобразований сна- чала к ступенчатому виду (эту часть метода Гаусса называют прямым ходом), а затем по возможности к диагональному виду (эту часть метода Гаусса называют обратным ходом). Возникающая в результате преобразований система уравнений легко решается. В промежутке между прямым и обратным ходом обсуждают вопрос о существовании и единственности решения. Уточним некоторые детали.

Между прямым и обратным ходом применяют два правила.

Правило 1. Если в последней строке расширенной матрицы, получившейся после окончания прямого хода, до черты есть ненулевые числа, система совместна; если же в последней (ненулевой) строке до черты нет ненулевых чисел, то система несовместна.

Действительно, если последняя ненулевая строка имеет вид

¡	¯	br	¢;
	0 0 : : : 0 ¯

1)Нулевым называют уравнение, в котором все коэффициенты, а также свободный члены равны

íóëþ: 0 ¢ x1 + 0 ¢ x2 + : : : + 0 ¢ xn = 0.

December 6, 2011 Курбатов В.Г.

ãäå br =6 0, то решений нет (система несовместна), поскольку этой строке соответ-

ствует уравнение

0x1 + 0x2 + ¢ ¢ ¢ + 0xn = br;

удовлетворить которому невозможно. Если же последняя ненулевая строка имеет

ark = 0, òî, êàê ìû

âèä

0 0 : : : ar k ar k+1

: : :

;

ãäå

увидим, система совместна.

Если система оказалась совместной, то следует применить второе правило:2)

Правило 2. Если в расширенной матрице, получившейся после окончания пря-

мого хода, все ступеньки короткие, то система является определенной; если же есть

хотя бы одна длинная ступенька, то система является неопределенной.

Если система оказалась совместной, переходят к обратному ходу: используя эле-

ментарные преобразования, делают нули над началами ступенек, а числа, стоящие

на началах ступенек, по возможности превращают в +1. В результате возникает си-

стема, которая решается тривиальным образом.

Задача 8. Решить систему

x + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5;

x2 + 2x3 + 3x4 = 1;

>x1

+ 3x3 + 4x4 = 2;

>x1 + x2 + 5x3 + 6x4 = 1:

D =

0 1 2 3

Решение. Решение начинаем с выписывания расширенной¯

матрицы:

D =

0 1 2 3

После этого начинаем прямой ход. Его цель¯

сделать расширенную матрицу

ступенчатой.

В качестве первого этапа прямого хода приводим к ступенчатому виду 1-ый стол-

бец, а точнее столбец, соответствующий началу первой ступеньки.

Для этого первые две строки переписываем без изменений (поскольку они удовле-

творяют определению ступенчатой матрицы), к 3-ей строке прибавляем 1-ую, умно-

женную на ¡1 (иными словами, из 3-ей строки вычитаем 1-ую), и к 4-ой строке

прибавляем 1-ую, умноженную на ¡1:

0 0 1 2 3

1 1 0 0

1 2 3

1 1:

1 0 3 4

2 0 0

1 1 5 6

¡1 2 2

¡4

C B

Его объяснению посвящен Ÿ 2.8.

December 6, 2011 Курбатов В.Г.

В качестве второго этапа прямого хода приводим к ступенчатому виду 2-ой столбец. Для этого первые две строки переписываем без изменений, к 3-ей строке прибавляем 2-ую, умноженную на 2, а к 4-ой строке прибавляем 2-ую, умноженную на

1:	0	0	1	2	3 ¯		1 1			0	0	1	2	3 ¯		1 1:
		0	2	0	0 ¯		3				0	0	4	6 ¯		1
	B	1	2	3	4	¯	5				1	2	3	4	¯	5	C
		0	¡1	2	2	¯	¡4		»		0	0	4	5	¯	¡3
		0	¡1	2	2	¯	¡4	C B			0	0	4	5	¯	¡3
	B					¯		C		B					¯		C
	@		¡			¯	¡	A		@					¯	¡	A
	В качестве третьего этапа прямого¯								хода приводим						¯к ступенчатому виду 3-ий
						¯									¯

столбец. Для этого первые три строки переписываем без изменений, а к 4-ой строке прибавляем 3-ую, умноженную на ¡1:

0 0		1	2	3	¯	1 1				0 0		1	2	3		¯	1 1:
	0	0	4	6	¯	1					0	0	4	6		¯	1
B	1	2	3	4	¯	5		C		B	1	2	3	4		¯	5	C
	0 0		4	5	¯	¡3			»		0	0 0			1	¯	¡2
	0 0		4	5	¯	¡3					0	0 0			1	¯	¡2
B					¯	¡		C		B				¡		¯	¡	C
@					¯	¡		A		@				¡		¯	¡	A
					¯											¯
Поскольку получилась ступенчатая¯							матрица, прямой ход									¯метода Гаусса закончен.

После окончания прямого хода применяем два правила, см. с. 21 и 22. Вывод 1: поскольку в последней строке до черты есть ненулевые числа, система является совместной. Вывод 2: поскольку все ступеньки являются короткими, система является определенной.

Переходим к обратному ходу, см. с. 22. Его цель сформировать нули над нача- лами ступенек. Поскольку в нашем случае все ступеньки короткие, это означает, что надо сформировать до черты диагональную (а еще лучше единичную) матрицу.

В качестве первого этапа обратного хода приводим к единичному виду 4-ый столбец. Для этого последнюю строку умножаем на ¡1, 4-ую строку умножаем на ¡6 è

прибавляем к 3-ей, 4-ую строку умножаем на ¡3 и прибавляем к 2-ой, 4-ую строку умножаем на ¡4 и прибавляем к 1-ой:3)

0 0		1	2	3		¯	1 1			0 0		1	2	3	¯	1 1			0 0		1	2	0	¯	¡5 1		:
	0	0	4	6		¯	1				0	0	4	6	¯	1				0	0	4	0	¯	13
B	1	2	3	4		¯	5	C		B	1	2	3	4	¯	5	C		B	1	2	3	0	¯	¡3	C
	0	0 0			1	¯	¡2		»		0	0	0 1		¯	¡2		»		0	0 0		1	¯	¡ 2
	0	0 0			1	¯	¡2				0	0	0 1		¯	¡2				0	0 0		1	¯	¡ 2
B				¡		¯	¡	C		B					¯		C		B					¯		C
@				¡		¯	¡	A		@					¯		A		@					¯		A
						¯									¯									¯
						¯									¯									¯

На втором этапе обратного хода приводим к единичному виду 3-ий столбец. Для этого 4-ую строку оставляем без изменений, 3-ю строку умножаем на 1=4, 3-ю строку

умножаем на ¡2 и прибавляем к 2-ой, а 3-ю строку умножаем на ¡3 и прибавляем к 1-ой:

0 0		1	2	0	¯	¡5 1			0 0		1	2	0	¯		¡5 1			0 0		1	0	0	¯		3=2 1		:
	0	0	4	0	¯	13				0	0	1	0	¯		13=4				0	0	1	0	¯		13=4
B	1	2	3	0	¯	¡3	C		B	1	2	3	0	¯		¡3	C		B	1	2	0	0	¯		27=4	C
	0 0		0	1	¯	¡ 2		»		0 0		0	1	¯	¡	2		»		0 0		0	1	¯	¡	2
	0 0		0	1	¯	¡ 2				0 0		0	1	¯	¡	2				0 0		0	1	¯	¡	2
B					¯		C		B					¯			C		B					¯			C
@					¯		A		@					¯			A		@					¯			A
					¯									¯										¯
					¯									¯										¯

3)Термины прямой ход и обратный ход объясняются следующим обстоятельством. При прямом ходе движение идет сверху вниз и слева направо: верхние строки прибавляют к нижним, и на каждом шаге столбец, в котором формируют нули, передвигается вправо. При обратном ходе движение происходит в обратную сторону.

December 6, 2011 Курбатов В.Г.

На третьем этапе обратного хода приводим к единичному виду 2-ой столбец. Для этого 2-ую, 3-ю и 4-ую строки оставляем без изменения, а 2-ую строку умножаем на ¡2 и прибавляем к 1-ой:

0 0 1 0 0

3=2 1 0 0 1 0 0

3=2 1

0 0 1 0

13=4

0 0 1 0

13=4

1 2 0 0

27=4

1 0 0 0

15=4

0 0 0 1

C B

До черты образовалась единичная¯

матрица. Поэтому обратный¯

ход метода Гаус-

са закончен.

Возвращаясь от полученной расширенной матрицы к системе уравнений, получа-

åì

= 15=4;

8x2

= 3=2;

>x3 =

13=4;

что фактически является ответом.:

>x4

= 2;

Правило. Если до черты получилась единичная матрица, то после черты находится решение.

2.7 Несовместная система

Задача 9. Решить систему

>	+ x2	+ x3	= 1;
8x1
<

>x1 + x2 + 2x3 = 1; :x1 + x2 + 3x3 = 2:

Решение. Выполним элементарные преобразования прямого хода:

0	1	1	1	¯	1		1		0	1	1	1	¯	1	1		0	1	1	1	¯	1	1:
0	1	1	2	¯	1		1	»	0	0	0	1	¯	0	1	»	0	0	0	1	¯	0	1:
	1	1	3	¯	2			»		0	0	2	¯	1		»		0	0	0	¯	1
@				¯			A		@				¯		A		@				¯		A
@				¯			A		@				¯		A		@				¯		A
				¯									¯								¯
Поскольку ступенчатая¯						матрица получена,¯								применяем два правила,¯										ñì. ñ. 21 è 22.

Вывод 1: поскольку в последней строке до черты стоят только нули (а после черты есть ненулевой элемент), система несовместна, т. е. не имеет решений.

Вновь рассмотрим систему общего вида (2.5). Обозначим через A матрицу системы (2.5), а через D расширенную матрицу.

Теорема 6 (Теорема Кронекера Капелли). Åñëè

rang D > rang A, то система (2.5) несовместна, т. е. не имеет решений. Если же rang D = rang A, то система (2.5) совместна, т. е. имеет решения.

December 6, 2011 Курбатов В.Г.

Пример 24. Вернемся к системе уравнений, рассмотренной в задаче 9. После пре-
образований мы получили расширенную матрицу							:
0	0	0	1	¯	0	1	:
@	1	1	1	¯	1	A
@				¯		A
				¯
Видно, что rang D > rang A (см. теорему 1).¯Поэтому система несовместна.
	0	0	0	¯	1

Доказательство. Вернемся к ситуации, возникающей после окончания прямого
хода метода Гаусса.
Если последняя ненулевая строка (имеющая для определенности номер r) матри-
öû D имеет вид
	0 0	: : : 0	br ;
ãäå br = 0, то решений нет	(система несовместна). Но в этом случае по теореме 1
ãäå br = 0, то решений нет	¡	¯	¢
6		¯

rang D = r, à rang A = r ¡ 1. Таким образом, rang D > rang A.

Если же последняя ненулевая строка (имеющая для определенности номер r) матрицы D имеет вид

¡ 0 0 : : : ar k ar k+1 : : :	¯ br	¢;
ãäå ark = 0, то, как мы увидим ниже, решения есть	¯(система совместна). Но в этом
6

случае по теореме 1 rang D = r è rang A = r. Таким образом, rang D = rang A.

2.8 Неопределенная система

Обсудим подробнее второй возможный случай, возникший после окончания прямого хода метода Гаусса: имеются длинные ступеньки. Покажем, что в этом случае система совместна, т. е. имеет решения но является неопределенной. Мы сделаем это путем предъявления алгоритма нахождения решения.

Неизвестные, соответствующие столбцам, на которых расположены начала ступенек, называют базисными, а остальные неизвестные свободными. Вернемся от расширенной матрицы к системе уравнений. Свободные неизвестные обозначим произвольными буквами, например, C1, C2, . . . ; это означает, что им позволяется при-

нимать любые значения. Получится система относительно базисных неизвестных. Решая ее, получаем выражения базисных неизвестных через C1, C2, . . . .

Решение, в котором все C1, C2, . . . равны нулю, называют базисным.

Таким образом, в этом случае решений оказывается бесконечно много при каждом новом выборе C1, C2, : : : получается новое решение. Еще раз подчеркнем, что

свободные неизвестные, а с ними и бесконечное множество решений появляются только в том случае, когда есть длинные ступеньки.

Задача 10. Решить систему

>x + 2y + z = 1;

>x + 2y + 3z = 1;

:x + 2y ¡ z = 1:

December 6, 2011 Курбатов В.Г.

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы в соответствии с методом
Гаусса. Прямой ход:					¯		1 0							¯		1 0					¯	0 1:
0	1 2			3	¯	1	1 0			0 0			2	¯	0	1 0		0 0 2			¯	0 1:
	1 2			1	¯	1		»		0 0			2	¯	0	»		0 0 0			¯	0
	1	2		1	¯	1				1	2		1	¯	1			1	2	1	¯	1
@			¡		¯		A @					¡		¯		A @					¯	A
					¯									¯							¯
Обратный ход:					¯									¯							¯
	0	0 0 2			¯	0	1	»	µ	0 0 1 0					¶ » µ		0	0 1 0				:
		0 0 0			¯	0		»	µ				¯		¶ » µ					¯		¶
		1	2	1	¯	1				1	2	1	¯	1			1	2	0	¯	1
	@				¯		A						¯							¯
					¯								¯							¯
					¯

Поскольку в последней ненулевой строке есть ненулевое число до черты, система совместна. Но поскольку есть длинная ступенька, решений бесконечно много. В соответствии с видом полученной ступенчатой матрицы в качестве базисных неизвестных возьмем x è z, а в качестве свободной y.

Обозначая свободную неизвестную y через C и перенося ее вправо, приходим к системе уравнений

x		y	= 1;	x = 1		2C;
(	+ 2		z = 0;	(z = 0	¡

относительно x è z.

По сути это уже готовый ответ: x = 1 ¡ 2C, y = C, z = 0, ãäå C произвольное число. Подчеркнем, что при различных C будут получаться разные решения. Так, например, при C = 0 имеем x = 1, y = 1, z = 0. Ïðè C = 1 получаем x = ¡1, y = 1,

z = 0. À ïðè C = 3 имеем x = ¡5, y = 3, z = 0.

Задача 11. Решить систему

> x + 2y + z = 1;

> x + 2y + z = 1; :2x + 4y + 2z = 2:

Решение. У этой системы матрицы A è D имеют одинаковые 1-ю и 2-ю строки,

а 3-я строка пропорциональна 1-й. Поэтому после преобразований по методу Гаусса мы приходим к расширенной матрице, содержащей единственную ненулевую строку

¡ ¯ ¢

1 2 1 ¯ 1 ;

или, что эквивалентно, к единственному уравнению

x + 2y + z = 1:

Очевидно, оно имеет бесконечно много решений. Чтобы их найти, в соответствии с нашим правилом в качестве свободных неизвестных примем y è z, а в качестве

базисной x. Положим y = C1, z = C2 и перенесем их в правую часть уравнения. В результате получим x = 1 ¡ 2C1 ¡ C2. Таким образом, все решения задаются формулами x = 1 ¡ 2C1 ¡ C2, y = C1, z = C2, ãäå C1 è C2 произвольные числа.

Отметим базисное решение: x = 1, y = 0, z = 0.

December 6, 2011 Курбатов В.Г.

2.9 Система линейных однородных уравнений

Система линейных однородных уравнений

>	a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = 0;
>
<		+ a22x2 + : : : + a2nxn = 0;
8a21x1		+ a22x2 + : : : + a2nxn = 0;
>	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
>
>
:		+ am2x2 + : : : + amnxn = 0
>am1x1		+ am2x2 + : : : + amnxn = 0

(2.6)

всегда имеет нулевое решение x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0, называемое тривиальным.

Теорема 7. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы строго меньше сила неизвестных: rang A < n.

Если в системе уравнения линейно независимы, то условие rang A < n означает, что число уравнений строго меньше числа неизвестных.

Теорема 8. Если x = (x1; x2; : : : ; xn) решение однородной системы, то ®x = (®x1; ®x2; : : : ; ®xn) также решение.

Åñëè x = (x1; x2; : : : ; xn) è y = (y1; y2; : : : ; yn) решения однородной системы, то

их сумма x + y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn) также решение. Линейная комбинация решений снова решение.

Набор решений e1, e2, . . . , ek однородной системы называют фундаментальной

системой решений, если 1) они линейно независимы и 2) любое решение является их линейной комбинацией. Поэтому общее решение системы (2.6) имеет вид

C1e1 + C2e2 + ¢ ¢ ¢ + Ckek:

Теорема 9. Всякая фундаментальная система решений состоит из k = n ¡ r решений, где n число неизвестных, а r = rang A.

Задача 12. Решить однородную систему

8	x ¡ y +2 z ¡2 u = 0;
8	2 x	2 y +5 z	6 u = 0;
<	3 x	¡3 y +8 z	¡5 u = 0;
:		¡	¡

Решение. Составим расширенную матрицу:

			0	3	¡3	8	¡5 ¯		0
				1	1	2	2		0
				2	¡2	5	¡6 ¯		0 1
			@		¡		¡	¯	A
			@		¡		¡	¯	A
								¯
Выполним элементарные преобразования прямого¯										õîäà:	¯		1
0 2	¡2	5	¡6	¯	0 1 0 0				0 1 ¡2		¯	0	1	»
3	¡3	8	¡5	¯	0	»	0		0 2 1		¯	0		»
1	1	2	2	¯	0		1	¡1 2 ¡2			¯	0
@	¡		¡	¯	A		@				¯		A
				¯							¯
				¯							¯

December 6, 2011	Курбатов В.Г.										28
»	0 0 0 1 ¡2	¯	0	1 0			0 0 1 ¡2		¯	0 1
»	0 0 0 5	¯	0		»		0 0 0 1		¯	0
	1 ¡1 2 ¡2	¯	0				1 ¡1 2 ¡2		¯	0
	@	¯		A		@			¯	A	свободной y.
В качестве базисных неизвестных¯			возьмем x, z è u, а в качестве¯								свободной y.
Выполним обратный ход:		¯							¯
Выполним обратный ход:		¯		1 0				¯	0 1
	0 0 0 1 ¡2	¯	0	1 0			0 0 1 0	¯	0 1
	0 0 0 1	¯	0		»		0 0 0 1	¯	0
	1 ¡1 2 ¡2	¯	0				1 ¡1 0 0	¯	0
	@	¯		A		@		¯		A
		¯						¯
		¯						¯

Вернемся от расширенной матрицы к системе уравнений, одновременно обозна- чим свободную неизвестную y через C и перенесем ее вправо:

< x = C;

z = 0;

: u = 0;

Ответ: x = C, y = C, z = 0, u = 0.

2.10 Понятие о модели Леонтьева

Рассмотрим замкнутую экономику, состоящую из n отраслей. Продукция каждой

из отраслей расходуется на потребности производства ее самой и других отраслей, а также идет на конечное потребление. Необходимо сбалансировать производство так, чтобы производилось ровно столько, сколько нужно.

Введем обозначения:

xi общий (валовый) объем продукции i-ой отрасли,

yj необходимый объем конечного (для непроизводственного потребления) продукции j-îé отрасли,

aij затраты продукции j-ой отрасли на производство единицы продукции i-îé

отрасли.
Имеем следующую систему межотраслевого баланса:
>	x1 = a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn + y1;
>
<		+ a22x2 + : : : + a2nxn + y2;
8x2 = a21x1		+ a22x2 + : : : + a2nxn + y2;
>	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
>
>
:		+ an2x2 + : : : + annxn + yn:
>xn = an1x1		+ an2x2 + : : : + annxn + yn:

Глава 3 Векторы в трехмерном пространстве

3.1 Основные понятия

¡!

Вектором называют направленный отрезок AB с началом в точке A, называемой хвостом и концом в точке B, называемой головой. Вектор принято также обозначать

строчной латинской буквой a¯ с чертой вверху.

Нулевым называют вектор, хвост и голова которого совпадают. Понятие направ-
ления для нулевого вектора теряет смысл. Нулевой вектор принято обозначать сим-
0			¡!	= 0
волом ¯. Таким образом,			AA	¯.		¡!			j¡!j
	jABj		AA		a¯ =	¡!	j¯j		j¡!j
Длину отрезка		называют длиной вектора				AB и обозначают	a	èëè	AB	.

Очевидно, нулевой вектор имеет нулевую длину.
Единичным называют вектор, длина которого равна 1. Обычно единичный вектор
обозначают символом e¯. Таким образом, je¯j = 1.
Векторы, лежащие на		параллельных прямых (или на одной и той же прямой),
называют коллинеарными.
Два вектора a¯	è ¯
	b считают равными, если они коллинеарны, направлены в одну
сторону и их длины совпадают. Иными словами, два вектора a¯			è ¯
			b равны, если один

можно переместить в другой с помощью параллельного переноса. Таким образом, вектор можно передвигать параллельно самому себе. Когда это обстоятельство хотят подчеркнуть, такие векторы называют свободными.

Вектор ¯

b называют произведение числа ¸ на вектор a¯ и обозначают символом ¸¢a¯

èëè ¸a¯, åñëè:

1) вектор ¯

b коллинеарен вектору a¯,

2) jbj = j¸j ¢ ja¯j,

è¯

3)направления векторов a¯ b совпадают, если ¸ > 0, и противоположны, если

¸< 0.

Åñëè		, то уже из условия 2) следует, что ¯	¯.
	¸ = 0	b = 0

В качестве определения суммы векторов можно взять любое из двух эквивалент-
ных правил: а) треугольника (см. левый рис. 1); б) параллелограмма (см. правый
ðèñ. 1).
Для сложения большого числа векторов можно пользоваться правилом замкну-
той цепочки векторов (см. рис. 2).
Вычитанием называют действие, обратное к сложению.							¯
Легко видеть, что a	¯	a	1)	¯			¯
Легко видеть, что a	b	a	1)	b. Поэтому разность a¯		¡	b можно представить
¯ ¡		= ¯ + (¡	è	¢вектора		¡
¯					¯
в виде суммы a¯ + (¡1) ¢ b вектора a¯					b, умноженного на число (¡1).

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2015318.02 Кб37linalgebra.pdf
#
13.03.201596.2 Кб183LindaHoku.МПУР.С оглавлением.docx
#
13.03.2015561.15 Кб39lineynaya_algebra.pdf
#
25.09.20194.41 Mб15Lingvisticheskoe_obespechenie.docx
#
13.03.2015328.1 Кб34Linux part 2.pdf
#
13.03.20151.01 Mб17Lin_Alg-BE.pdf
#
13.03.201557.34 Кб18Logicheskie_zadania.doc
#
13.03.201547.31 Кб133Logika_-_kontrolnaya_TsVET (1).docx
#
21.11.20192.16 Mб4LR10-ITN-22-fevralya-2011-Got.doc
#
21.07.20191.2 Mб5Lvs Mitrohov S.docx
#
13.03.2015635.79 Кб26Lyubimtseva_S_N__Koreneva_V_N_L_93_Kurs_angli.PDF